Table Of ContentXIII Escuela Venezolana para la
Enseñanza de la Matemática
Cálculo Diferencial
y Aplicaciones
José Heber Nieto Said
Mérida, 2009
Prefacio
La importancia del Cálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia
y la tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de
la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus
derivadas,y el análisis de éstas ecuaciones se realiza mediante las herramientas
delcálculo.Por esarazónloscursosde esta disciplinaaparecenenlos planesde
estudio de todas las carreras científicas y técnicas.
Para la enseñanza del Cálculo existe una gran cantidad de libros de texto,
materiales audiovisuales y software educativo, todo lo cual se incrementa cada
año ya que su comercializaciónparece ser un buen negocio.Tambiénhay abun-
dantematerialdisponoblegratuitamenteenInternet.Sinembargolosresultados
alcanzadosenloscursosporlogeneralnosonsatisfactorios.Ungrannúmerode
aplazados,repitientescrónicosydeserciónescolarparecenserlascaracterísticas
constantes de estos cursos.
Estas notas se han escrito con el propósito de contribuir a la enseñanza
del Cálculo y lograr mejores rendimientos y logros académicos en los cursos.
Están dirigidas a profesores de enseñanza media y primeros años de educación
superior que estén dictando cursos de Cálculo o tengan proyectado hacerlo. La
concepción educativa que las anima es la siguiente:
1. No creemos que la función del profesor sea “transmitir conocimientos”, ni
que dicha “transmisión” sea posible. El conocimiento es algo que se cons-
truye em cada individuo a través de un complejo proceso que el profesor
debe estimular, proponiendo diversas experiencias educativas. En el caso
de lamatemática,laresoluciónde problemasporpartedelalumnoesuna
actividad insustituible que el profesor debe propiciar cuanto pueda.
2. Es imposible que alguien aprenda algo si no desea aprenderlo. Es por eso
que la motivación juega un papelsumamente importante enel procesode
enseñanza-aprendizaje.
3. El profesor de matemática debe poseer un conocimiento profundo de su
materia,aúncuandolaenseñanzadebaadaptarsealniveldesusalumnos.
Reconocemos,enalgunoscasos,lanecesidaddelatransposicióndidáctica,
pero ésta debe partir de una seria formación científica de los profesores.
4. Muchos conceptos matemáticos actuales son el resultado de la evolución
del pensamiento matemático durante siglos. El conocimiento del proceso
histórico puede en muchos casos contribuir a la comprensión de esos con-
ceptos, además de mostrar que la matemática es una actividad realizada
por los seres humanos y no una especie de verdad revelada e inmutable.
5. La tecnología moderna, bien usada, puede aportar mucho al proceso de
enseñanza-aprendizaje.
En base a las ideas anteriores se ha estructurado un curso con el énfasis
puesto en los siguientes aspectos, que lamentablemente se suelen descuidar:
1. La clarificación de los conceptos y resultados básicos.
2. Las aplicaciones, tanto dentro como fuera de la propia matemática.
3. El desarrollohistóricodela disciplina ylas implicacionesdelmismosobre
su enseñanza.
4. Las posibilidades didácticas de algunos recursos tecnológicos modernos.
Aunque se han hecho esfuerzos por escribir un texto autocontenido, no se
trata de un curso introductorio. Se da por supuesto que el lector está familiari-
zadoalmenos conelcálculo elementalde límites y las reglasde derivación.Por
razones de tiempo y espacio no se cubre el cálculo integral, aunque hay nume-
rosas referencias al mismo e incluso se tratan y resuelven por vías alternativas
algunos problemas que se consideran típicos del cálculo integral.
Como material de apoyo y para mostrar su potencial didáctico se han di-
señado algunas plantillas en GeoGebra que ilustran varios de los conceptos y
problemas estudiados. Las mismas se hallan disponibles en
http://mipagina.cantv.net/jhnieto/apcal/
(GeoGebra es un software libre y de plataformas múltiples que permite inter-
actuar dinámicamente con la matemática, en un ámbito en que se reúnen la
Geometría,elAlgebrayelCálculo.Susitiowebeshttp://www.geogebra.org)
Elsigno(cid:127)alcomienzodeunpárrafooenunejercicioadviertedeunacurva
peligrosa en el curso del pensamiento. El material así marcado puede pasarse
por alto en una primera lectura.
El autor.
iii
Índice general
1. Perspectiva histórica 1
1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. El nacimiento del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Crecimiento y desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Rigor y Fundamentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Conceptos Básicos 11
2.1. Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2. Extremos, crecimiento y decrecimiento de funciones . . . 20
2.3. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1. Límites laterales e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2. Operaciones con límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3. Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.4. Límites de sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1. Operaciones con funciones continuas . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . 30
2.5. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.1. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.2. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.3. Interpretación cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.4. Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . 36
2.5.5. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.6. Infinitésimos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.7. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7. Teorema fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3. Máximos y mínimos 55
3.1. Crecimiento y decrecimiento de una función . . . . . . . . . . . . 55
3.2. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. Extremos globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iv
3.4. Algunos ejemplos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5. Ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6. Extremos sin cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4. Aplicaciones matemáticas 65
4.1. Gráficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2. Raíces de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5. Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.1. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5.2. Involutas y evolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5.3. Trayectoriasde una bicicleta . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5.4. Envolvente de una familia de rectas . . . . . . . . . . . . 84
4.5.5. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6.1. Desigualdad de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6.2. Desigualdad aritmético-geométrica . . . . . . . . . . . . . 90
4.6.3. Desigualdad entre medias generalizadas . . . . . . . . . . 91
4.6.4. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski . . . . . . . 93
5. Aplicaciones físicas 96
5.1. Movimiento en un campo constante. . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2. Desintegración radioactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.4. Ecuación de la catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5. El Teorema de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.6. La cicloide es tautócrona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.7. El problema de la braquistócrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.8. Las leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6. Aplicaciones a otras ciencias 116
6.1. Modelos Ecológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.1.1. Modelo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.1.2. Modelo logístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.1.3. Modelo predador-presa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2. Economía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2.1. Índice de precios e inflación . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.2. Precios, oferta y demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Soluciones a ejercicios seleccionados 123
Bibliografía 131
Índice alfabético 132
v
vi
Capítulo 1
Perspectiva histórica
La derivada fue primero usada; luego fue descubierta; luego
fue explorada y desarrollada y finalmente fue definida.
Judith V. Graviner[4]
El cálculo infinitesimal, o simplemente el Cálculo, como se le llama común-
mente, es sin duda alguna uno de los grandes logros intelectuales de la hu-
manidad. La amplitud y alcance de sus aplicaciones ha hecho que sea materia
obligadaenlosplanesdeestudiodecasitodaslascarrerascientíficasytécnicas.
A pesar de que existe una inmensa variedad de libros de texto y recursos de
todo tipo para su estudio, su enseñanza y aprendizaje no están libres de esco-
llos,sobretodo debido a la dificultad que presenta,paramuchosestudiantes,la
comprensión de algunos de sus conceptos fundamentales, como el de límite.
Ahorabien, resultainteresantecomprobarque la mayorparte deldesarrollo
delcálculoysusprimeroséxitosenlaresolucióndevariadosproblemasmatemá-
ticos y de otras disciplinas, durante los siglos XVII y XVIII, se realizó antes de
disponer de definiciones precisas de los conceptos fundamentales. Varios ejem-
plos particulares de lo que hoy llamamos derivadas fueron usadospor Fermat y
otrospararesolverdiversosproblemasdurantelaprimeramitaddelsigloXVII.
Durante la segunda mitad de ese siglo, Newton y Leibniz identificaron los con-
ceptos subyacentes a los ejemplos mencionados, dando así origen al nacimiento
delcálculo.DuranteelsigloXVIII elcálculocontinuódesarrollándosevigorosa-
mente, así como sus aplicaciones matemáticas y físicas. Y fue recién en el siglo
XIX cuando Cauchy y Weierstrass dieron definiciones precisas de los conceptos
básicos y convirtieron el cálculo en una teoría matemática rigurosa.
Enestecapítulonosocuparemosbrevementedeestosaspectoshistóricos,que
tienenimplicacionesdeinterésparalaenseñanzadelcálculo.Enefecto,conocer
la génesis de un concepto o resultado, puede ayudar a motivarlo. Conocer el
orden en el cual una disciplina se desarrolló (que, en el caso del Cálculo, es
prácticamente el inverso al que siguen los libros de texto) ayuda a entender el
porqué de las definiciones básicas. El orden expositivo es sin duda lo que le da
2 Perspectiva histórica
a la matemática su sólida estructura lógico-deductiva, pero no debe olvidarse
que el orden histórico es por lo común bastante diferente.
Sipensamosque desdeelnacimientodelcálculohastala primeraexposición
rigurosa del mismo, basada en nuestra actual definición de límite, pasaron más
de dos siglos, no debería extrañarnos que un alumno al que se le expone sin
preparación previa dicha definición por primera vez, quede completamente en
blanco. Las definiciones precisas son frecuentemente el final, y no el principio,
de un tema.
Además conocer el verdaderodesarrollohistórico de la matemática muestra
a los matemáticos en su labor de creación, que es en definitiva lo que hace a
esta disciplina tan interesante.
1.1. Antecedentes
El Cálculo es la matemática del cambio y de lo continuo, y por lo tanto
para su desarrollo es imprescindible el conjunto de los números reales, también
conocidocomoelcontinuo.Losorígenesdelosnúmerosrealessepuedenrastrear
enlamatemáticababilónica,quedesarrollóunsistemadenumeraciónposicional
capaz, en principio, de representar la medida de una magnitud con la precisión
deseada.Los griegosfueronmucho más parcosen cuanto a lo que consideraban
números, y sólo designaban con este nombre a los enteros positivos a partir
del dos. El uno era la unidad, la mónada, y estaba en una clase aparte. Y
lo que nosotros llamamos fracciones eran para ellos razones de números, pero
no números propiamente dichos. Los pitagóricos creyeron, al principio, que la
razón de dos magnitudes del mismo tipo (como por ejemplo dos longitudes) se
podíaexpresarsiemprecomolarazóndedosnúmeros,peroeldescubrimientode
magnitudesinconmensurables(comoelladoyla diagonalde uncuadrado)echó
portierraesacreencia.Estehechosinembargodiólugaraunadelascreaciones
más profundas de la matemática griega: la teoría de las razones de magnitudes
de Eudoxo de Cnido, que aparece expuesta en el Libro V de los Elementos
de Euclides. Esta teoría permitió a los geómetras griegos comparar razones de
magnitudes, aunque éstas fuesen inconmensurables. Arquímedes mostró cómo
varias de esas razones inconmensurables podían ser aproximadas por números
racionales,pero debido a la carenciade un sistema de numeraciónapropiado la
matemática griega no avanzó mucho más en esa dirección.
Con el Renacimiento, que arrancó en Italia y luego se extendió por otras
partes de Europa, comenzó una revolución de ideas y una nueva actitud ante
la naturaleza, la sociedad y el hombre. A diferencia de lo que ocurrió en otras
áreasdelavidacultural,elRenacimientonoprodujograndesresultadosenma-
temáticas;sinembargoduranteeseperíodosesentaronlasbasesdelo quesería
la gran revolución científica que se realizó en el siglo XVII. Se extendió el uso
del sistema de numeración posicional indoarábigo y se aplicó la matemática a
la contabilidad, la cartografía, la agrimensura, la óptica y el arte (teoría de la
perspectiva). Los matemáticos europeos redescubrieron la matemática griega y
se familiarizaron con el álgebra islámica, a través de traducciones que se hicie-
1.1 Antecedentes 3
ron accesibles gracias al novedoso uso de la imprenta. Los algebristas italianos
continuarondesarrollandoelálgebrahastaobtenerlasolucióndelasecuaciones
de tercer y cuarto grado (Tartaglia y Cardano)y con el francés François Viète,
a fines del siglo XV el álgebra simbólica quedó definitivamente establecida.
La invención de la geometría analítica se sitúa generalmente alrededor de
1630, y se atribuye a Descartes (1596-1650) y a Fermat (1601-1665), indepen-
dientemente.Sinembargosusraícesaparecenyaenlageometríagriega.Fijados
unorigenO y un punto Aenuna recta,acadapunto B de la semirrecta−O→A se
le puede hacer corresponder la medida del segmento OB respecto a la unidad
OA, lo cual para los griegos era una razón de magnitudes y para los modernos
un número real. Los griegos no consideraron números negativos, pero si conve-
nimos en tomar como negativa la medida del segmento OB cuando B está en
la semirrecta opuesta a −O→A , entonces a cada punto de la recta le corresponde
unnúmerorealúnico,llamadoabscisa delpunto B.Recíprocamente,paracada
númerorealxexisteunúnicopuntoB enlarectaquetieneaxcomoabscisa.Si
se hace esto en dos rectas perpendiculares (ejes cartesianos) entonces se puede
establecer una correspondencia biyectiva entre los puntos del plano y los pares
ordenadosdenúmerosreales,haciéndolecorresponderacadapuntoelparorde-
nado(x,y)formadoporlasabscisasdelasproyeccionesdelpuntosobrelosejes.
Y a cada ecuación R(x,y) = 0 en las variables x e y le corresponde una figura
geométrica,asaberelconjuntodetodoslospuntosdelplanocuyascoordenadas
(x,y) satisfagan la ecuación.
Además de las rectas, las circunferencias y las có-
nicas, los griegos sólo habían considerado unas pocas
curvasmás (comolaespiralde Arquímedesy algunas
otras definidas como lugares geométricos), y fueron
capacesderesolvervariosproblemasrelacionadoscon
ellas, notablemente el trazado de tangentes. Pero la
geometría analítica provocó una explosión en el nú-
mero de curvas posibles. Los métodos sintéticos de
los griegos para el trazado de tangentes ya no eran
aplicables, y se requería algo más general. Lo mis-
mo ocurría con el cálculo de áreas y longitudes y los
problemas de máximos y mínimos. Fermat desarrolló
un método para hallar extremos de funciones polinó-
micas que hoy identificaríamos con hallar los puntos
donde se anula la derivada.Sin embargo,no define la Figura 1.1: Fermat
derivada ni nada parecido, ni justifica su método. A
pesar de ello, lo utilizó con indudable éxito para resolver algunos problemas no
triviales. Por ejemplo, formuló el principio óptico según el cual la luz viaja de
un punto a otro siguiendo la trayectoria que haga mínimo el tiempo empleado
(hoy conocido como Principio de Fermat) y de allí dedujo la ley de refracción
de Snell.
Fermattambiéntrabajóenelproblemadelastangentes.Enlageometríade
Euclides la definición de tangente no ofrecía problemas,ya que el único tipo de
