Analytische und numerische Untersuchungen - und (2) -symmetrischer

198 Pages·2012·1.19 MB·German

Z
Analytische und numerische Untersuchungen - und
2
O(2)-symmetrischer Modelle: Linked Cluster
Entwicklung, Renormierungsgruppe und kritische
Exponenten
Johannes G¨ottker-Schnetmann
2000

Analytische und numerische Untersuchungen Z - und
2
O(2)-symmetrischer Modelle: Linked Cluster Entwicklung,
Renormierungsgruppe und kritische Exponenten
Theoretische Physik

Theoretische Physik
Z
Analytische und numerische Untersuchungen - und
2
O(2)-symmetrischer Modelle: Linked Cluster
Entwicklung, Renormierungsgruppe und kritische
Exponenten
Inaugural-Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften im Fachbereich Physik
der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at
der Westf¨alischen Wilhelms-Universit¨at Mu¨nster
vorgelegt von
Johannes G¨ottker-Schnetmann
aus Mu¨nster
2000
Dekan: Prof. Dr. W. Lange
Erster Gutachter: Prof. Dr. G. Mu¨nster
Zweiter Gutachter: Priv.Doz. Dr. habil. C. Wieczerkowski
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fungen:
Tag der Promotion:

Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Statistische Physik und Euklidische QFT . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Renormierungsgruppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Kontinuumsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Kanonische Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Pfadintegralquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Gittermodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Ising-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Gitter-Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Interessierende Gr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Physikalische Kopplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ii Inhaltsverzeichnis
2.3.2 Suszeptibilit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 Kritische Ph¨anomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Physikalische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Die Cluster-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Die Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Linked Cluster Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 Die ultralokale Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.2 Linked Cluster Entwicklung: Beispiel . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Berechnung der Reihenkoeffizienten fu¨r die N-Komponenten-Theorie. 45
3.4.1 Regeln fu¨r die LCE fu¨r Modelle mit N Komponenten . . . . . 45
3.5 Renormierte Linked Cluster Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Linked Cluster Entwicklung der Suszeptibilit¨aten und der physikali-
schen Kopplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6.1 1PI-Suszeptibilit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4. Kombination mit der Renormierungsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Die zugrundeliegende Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Die Durchfu¨hrung: Vergleich mit der Monte-Carlo Renormierungs-
gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Definition der RG-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Skalenrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1 Skalenrelation der n-Punkt-Suszeptibilit¨aten χ . . . . . . . . 61
n
4.4.2 Skalenrelation von µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2
4.5 Homomorphe Interpolation der RG-Transformation . . . . . . . . . . 63
4.5.1 Interpolation fu¨r die ungewichteten Suszeptibilit¨aten . . . . . 64
4.5.2 Interpolation fu¨r µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2
4.6 Skalenrelationen der renormierten Kopplungen . . . . . . . . . . . . . 68
4.6.1 Fluß der nackten Kopplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68