Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1

167 Pages·2007·1.32 MB·German

by  Ina Kersten

Dieser Universitätsdruck wendet sich an Studierende des ersten Ina Kersten
Semesters, die einen Studienabschluss in Mathematik, Physik
oder für das Lehramt an Gymnasien mit Mathematik als einem Analytische Geometrie und
der Unterrichtsfächer anstreben. Er enthält mathematische Grund-
lagen aus linearer Algebra und Geometrie, die im gesamten
Lineare Algebra 1
weiteren Studium gebraucht werden. Insbesondere wird in die
Theorie von Vektorräumen, Matrizen, Determinanten, linearen
LAT X-Bearbeitung von Stefan Wiedmann
Gleichungssystemen, Eigenwertproblemen und Vektorräumen E
mit geometrischer Struktur eingeführt.
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ISBN 3-938616-26-1 Universitätsdrucke Göttingen Universitätsdrucke Göttingen

Ina Kersten
Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1

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erschienen in der Reihe der Universitätsdrucke
im Universitätsverlag Göttingen 2005
Ina Kersten
Analytische Geometrie und
Lineare Algebra 1
LATEX-Bearbeitung von
Stefan Wiedmann

Universitätsverlag Göttingen
2005
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet
über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.

Anschrift der Autorin
Prof. Dr. Ina Kersten
Bunsenstraße 3–5
37073 Göttingen
http://www.uni-math.gwdg.de/kersten/
[email protected]

Satz und Layout: Stefan Wiedmann und Ben Müller
Titelabbildung: Modellsammlung Mathematisches Institut, Universität
Göttingen
Fotos Jan-Philipp Hoffmann,
Bildbearbeitung Claudia Gabler und Christian Herrmann

© Alle Rechte vorbehalten, Universitätsverlag Göttingen 2005

ISBN 10: 3-938616-26-1
ISBN 13: 978-3-938616-26-0
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Vorwort
Dieser Universit¨atsdruck enth¨alt den Stoff der Vorlesung Analytische Geo-
metrie und Lineare Algebra I (AGLA I), die ich im WS 1999/2000 an der
Universit¨at G¨ottingen gehalten habe. Es werden hier gegenu¨ber dem Vor-
lesungsmanuskripteinigeUmstellungenundVer¨anderungenvorgenommen,
die sich auch daraus ergeben, dass das Wintersemester nun zwei Wochen
ku¨rzer und dafu¨r das Sommersemester zwei Wochen l¨anger als damals ist.
Im Wintersemester 2005/06 starte ich einen neuen Lehrveranstaltungsszy-
klus beginnend mit der Vorlesung AGLA I und den zugeh¨origen U¨bungen.
Der neue Zyklus ist im Rahmen einer umfassenden Studienreform an der
Universit¨atG¨ottingenzusehen.DasbeinhaltetaucheineReformderLehre,
die ihren Schwerpunkt in dem Lernerfolg bei den Studierenden sieht.
Zum AGLA-Reformprojekt 05/06 geh¨ort eine elektronische Pr¨asentation
des Lernstoffs in den Vorlesungsstunden. Dabei dient dieser Universit¨ats-
druck als Begleittext zum Vor- und Nacharbeiten. Wesentliches Reform-
element ist die Restrukturierung des U¨bungsbetriebes. Es wird ein Aufga-
benpoolbereitgestelltmitverschiedenenAufgabentypenwieAnwendungs-,
Test-, Rechen- und Beweisaufgaben, von denen sich die Studierenden auf
elektronischem Wege Aufgaben aussuchen, um so einen Lernerfolg auch
durch die Methode “learning by doing” erzielen zu k¨onnen. Falls intensive
L¨osungsversuche nicht erfolgreich sind, k¨onnen Hinweise abgerufen werden
und schließlich auch L¨osungen.
Danken m¨ochte ich an dieser Stelle den Studierenden und der Assistentin
Charlotte Wahl, die an dem AGLA-Kurs 1999/2000 mit Interesse, vielen
Fragen und Diskussionsbeitr¨agen teilgenommen haben, dem wissenschaft-
lichen Mitarbeiter Stefan Wiedmann, der 2000 aus dem handgeschriebe-
nen Manuskript eine sch¨one LATEX-Version erstellt hat, dem wissenschaft-
lichenMitarbeiterBenMu¨ller,derdieelektronische Pr¨asentationvorberei-
tet und den Aufgabenpool erarbeitet, dem Ministerium fu¨r Wissenschaft
und Kultur des Landes Niedersachsen fu¨r die Unterstu¨tzung des AGLA-
Reformprojektes im Rahmen von ELAN (E-Learning Academic Network)
sowie dem Kollegen Detlev Buchholz von der Fakult¨at fu¨r Physik, der etli-
che inhaltliche Tipps fu¨r diesen Universit¨atsdruck gegeben hat.
September 2005 Ina Kersten
AnalytischeGeometrieundLineareAlgebraI,Universita¨tGo¨ttingen2005/2006
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Schreibweisen und Bezeichnungen
Abku¨rzende Schreibweisen
A:=B A ist definitionsgem¨aß gleich B
∃ es gibt
∀ fu¨r alle
=⇒ folgt
⇐⇒ genau dann, wenn
\ ohne
(cid:1) Ende des Beweises
|M| Anzahl der Elemente einer Menge M
m∈M m ist Element der Menge M
M ⊂N M ist Teilmenge von N (d.h. m∈M =⇒ m∈N)
a(cid:2)b a ist kleiner oder gleich b
a<b a ist kleiner als b
Standardbezeichnungen
(cid:0):={1,2,3,...} Menge der natu¨rlichen Zahlen
(cid:1):={0,±1,±2,±,...} Menge der ganzen Zahlen
(cid:2) Menge der rationalen Zahlen
(cid:3) Menge der reellen Zahlen
(cid:4) Menge der komplexen Zahlen
∅ Leere Menge (besitzt kein Element)
K bezeichne einen beliebigen K¨orper (sofern nichts anderes gesagt wird)
Das griechische Alphabet
A α Alpha, B β Beta, Γ γ Gamma, ∆ δ Delta, E ε Epsilon, Z ζ Zeta, H η
Eta, Θ θ Theta, I ι Jota, K κ Kappa, Λ λ Lambda, M µ My, N ν Ny, Ξ ξ
Xi, O o Omikron, Π π Pi, P (cid:15) Rho, Σ σ ς Sigma, T τ Tau, Υ υ Ypsilon, Φ
ϕ Phi, X χ Chi, Ψ ψ Psi, Ω ω Omega
AnalytischeGeometrieundLineareAlgebraI,Universita¨tGo¨ttingen2005/2006
Inhaltsverzeichnis
Voraussetzungen 11
1 Einige Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1 DiekomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Dern-dimensionaleRaum(cid:0)n . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 LineareGleichungssystemeinzweiUnbekannten . . . . . . . 16
1.4 K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 U¨bungsaufgaben1–6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Vektorraumtheorie 22
2 Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 DefinitionundRechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Beispielefu¨rVektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Untervektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 BeispieleundGegenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 DervoneinerTeilmengeaufgespannteTeilraum. . . . . . . . 28
2.6 Erzeugendensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 SummenvonVektorr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 U¨bungsaufgaben7–11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1 LineareUnabh¨angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Kriteriumfu¨rlineareAbh¨angigkeit . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 DefinitioneinerBasisundBeispiele . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 EindeutigkeitderBasisdarstellung . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 CharakterisierendeEigenschafteneinerBasis . . . . . . . . . 38
3.6 Existenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 Basiserg¨anzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 Austauschsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.9 FolgerungausdemAustauschsatz . . . . . . . . . . . . . . 42
3.10 DimensioneinesK-Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . 42
AnalytischeGeometrieundLineareAlgebraI,Universita¨tGo¨ttingen2005/2006
8 Inhaltsverzeichnis
3.11 WeitereFolgerungenausdemAustauschsatz . . . . . . . . . 43
3.12 DimensioneinesUntervektorraums . . . . . . . . . . . . . . 43
3.13 Dimensionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.14 U¨bungsaufgaben12–19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Existenz-undEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 EigenschaftenvonlinearenAbbildungen . . . . . . . . . . . 49
4.5 IsomorphismenvonK-Vektorr¨aumen . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Klassifikationssatzfu¨rendlichdimensionaleVektorr¨aume . . . 51
4.7 Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.8 FolgerungausderDimensionsformel . . . . . . . . . . . . . 53
4.9 Beispielefu¨runendlichdimensionaleVektorr¨aume. . . . . . . 53
4.10 Rechenregelnfu¨rlineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . 54
4.11 U¨bungsaufgaben20und21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Matrizenkalku¨l 56
5 Matrizen und lineare Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 ProduktvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 TransponierteMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 DieMatrixMC(f)einerlinearenAbbildungf . . . . . . . . 61
B
5.5 DieDimensionvonHomK(V,W). . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6 DieDarstellungsmatrixMC(f◦g) . . . . . . . . . . . . . . 63
A
5.7 InvertierbareMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.8 BasiswechselinV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.9 BasiswechselundDarstellungsmatrix . . . . . . . . . . . . . 67
5.10 EinegeschickteBasiswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.11 DieStandardabbildungzueinerMatrix. . . . . . . . . . . . 69
5.12 FaktorisierungeinerlinearenAbbildung . . . . . . . . . . . 71
5.13 RangeinerMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.14 RangundInvertierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.15 ZeilenrangeinerMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.16 U¨bungsaufgaben22–30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 L¨osbarkeitskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 DieMengederL¨osungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 ElementareUmformungeneinerMatrix. . . . . . . . . . . . 80
6.5 ElementareUmformungenunddieL¨osungsmenge . . . . . . . 81
6.6 GaußscherAlgorithmus(m =n =rangA) . . . . . . . . . . 81
AnalytischeGeometrieundLineareAlgebraI,Universita¨tGo¨ttingen2005/2006