Analysis 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im IRn und Anwendungen

321 Pages·2017·1.997 MB·German

by  Otto Forster (auth.)

Aufbaukurs Mathematik
Otto Forster
Analysis 3
Maß- und Integrationstheorie,
Integralsätze im IRn und Anwendungen
8. Auflage
Aufbaukurs Mathematik
Herausgegebenvon
MartinAigner,FreieUniversitätBerlin
PeterGritzmann,TechnischeUniversitätMünchen
VolkerMehrmann,TechnischeUniversitätBerlin
GisbertWüstholz,ETHZürich
In der Reihe „Aufbaukurs Mathematik“ werden Lehrbücher zu klassischen und moder-
nenTeilgebieten der Mathematik passend zu den StandardvorlesungendesMathematik-
studiums ab dem zweiten Studienjahr veröffentlicht. Die Lehrwerke sind didaktisch gut
aufbereitetundführenumfassendundsystematischindasmathematischeGebietein.Sie
stellendiemathematischenGrundlagenbereitundenthaltenvieleBeispieleundÜbungs-
aufgaben.
Zielgruppe sind Studierende der Mathematik aller Studiengänge, sowie Studierende der
Informatik, Naturwissenschaften und Technik. Auch für Studierende, die sich im Laufe
des Studiums in dem Gebiet weiter vertiefen und spezialisieren möchten, sind die Bü-
chergutgeeignet.DieReiheexistiertseit1980undenthältvieleerfolgreicheKlassikerin
aktualisierterNeuauflage.
WeitereBändedieserReihefindenSieunter
http://www.springer.com/series/12357
Otto Forster
Analysis 3
Maß- und Integrationstheorie,
Integralsätze im IRn und Anwendungen
8., verbesserte Auflage
OttoForster
MathematischesInstitut
Ludwig-Maximilians-UniversitätMünchen
München,Deutschland
AufbaukursMathematik
ISBN978-3-658-16745-5 ISBN978-3-658-16746-2(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-16746-2
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V
Vorwort zur 6. Auflage
DasvorliegendeBuchstelltdendrittenTeileinesAnalysis-Kursesfu¨rStudierendeder
Mathematik und Physik dar, und widmet sich der Maß- und Integrationstheorie, den
Integralsa¨tzenimRnundihrenAnwendungen.
VondererstenAuflage,die1981erschien,biszur5.AuflagebliebderText,bisaufklei-
nereKorrekturen,imWesentlichenunvera¨ndert.Fu¨rdiejetzigeNeuauflagewurdedas
Buch weitgehend umgearbeitet. Die wesentliche A¨nderung bezieht sich darauf, dass
das LebesguescheIntegral jetzt aufder Grundlagederabstrakten Maß- undIntegrati-
onstheoriedargestelltwird,wa¨hrendindenfru¨herenAuflagenderAusgangspunktdas
Integralfu¨rstetigeFunktionenmitkompaktemTra¨geraufdemRn war,dassukzessive
auf allgemeinere Funktionenklassen erweitert wurde. Ich habe mich auf mehrfachen
Wunsch zu dieser A¨nderung des Aufbaus entschlossen, da in den heutigen Studien-
pla¨nenfu¨rMathematikvonderVorlesungAnalysis3meisterwartetwird,dasssiedie
Grundlagen der Maß- und Integrationstheorie bereitstellt. Die Vorlesung Analysis 3
sollte nach meiner Meinung aber nicht zu einem Kurs u¨ber Maß- und Integrations-
theorieentarten.EinwesentlicherTeilbleibtdieIntegralrechnungimRn mitdenInte-
gralsa¨tzenundderenzahlreichenAnwendungen.
DasBuchbeginntmiteinerEinfu¨hrungindieMaßtheorie.Der 3behandeltdieFort-
§
setzung eines Pra¨maßes zu einem Maß. Insbesondere wird das Lebesgue-Maß auf
der s-Algebra der Borelschen Mengen im Rn konstruiert. Danach wird der Integral-
Begriff auf abstrakten Maßra¨umen entwickelt und in 5 werden die wichtigstenKon-
§
vergenzsa¨tze der Lebesgueschen Integrationstheoriebewiesen, na¨mlich die Sa¨tze von
der monotonen und von der majorisierten Konvergenz, sowie die Vollsta¨ndigkeit von
L1. Der 7 ist dem Satz von Fubini im Rn gewidmet, und es ko¨nnen jetzt die ersten
§
mehrdimensionalen Integrale und Volumina berechnet werden. Um die Durststrecke
bis dahin nicht zu verla¨ngern, beschra¨nken wir uns hier auf den Rn und verzichten
aufeineallgemeineTheoriederProdukt-Maße.Derna¨chsteParagraphu¨berrotations-
symmetrischeFunktionendientebensodemZiel,mo¨glichstbaldinteressanteIntegrale
zu berechnen und Beispiel-Material zur Verfu¨gung zu haben. In 9 beweisen wir die
§
Transformationsformelu¨berdasVerhalten vonIntegralenbei stetigdifferenzierbarem
Koordinatenwechsel,waswesentlichfu¨rdieIntegrationstheorieaufMannigfaltigkeiten
ist.ImParagraphenu¨berFourier-IntegralekommenfastallebisdahingelerntenSa¨tze
derIntegrations-TheoriezurAnwendung.
Derna¨chsteTeildesBuchesistdemGaußschenIntegralsatzundseinenAnwendungen
gewidmet.DabeihabenwirausdidaktischenGru¨ndenzuna¨chstdavonabgesehen,die-
sen Satz im Differentialformenkalku¨l zu formulieren, sondern beweisen ihn in seiner
klassischen Form. Der Gaußsche Satz wird dann in 16 zur Behandlung der Potenti-
§
algleichungbenutzt.WirleitendabeiinsbesonderediePoissonscheIntegralformelzur
VI
Lo¨sungdesDirichletschenRandwertproblemsfu¨rdieKugelab.In 17erfolgteinekur-
§
ze Einfu¨hrung in die Theorie der Distributionen, in deren Rahmen wir Fundamental-
Lo¨sungen fu¨r die Potentialgleichung, die Helmholtzsche Schwingungsgleichung und
dieWa¨rmeleitungsgleichungbestimmen.
Dieletzten vierParagraphen ( 18–21)fu¨hren schließlichden Kalku¨lderDifferenti-
§§
alformen ein, mit deren Hilfe der allgemeine Stokessche Integralsatz bewiesen wird.
Dabei haben wiruns,umdieAbstraktionin Grenzen zu halten,aufdenRn undseine
Untermannigfaltigkeiten beschra¨nkt. Als Anwendungen beweisen wir u.a. den Brou-
werschenFixpunktsatzsowieIntegralsa¨tzefu¨rholomorpheFunktioneneinerundmeh-
rererVera¨nderlichen.
Der Umfang des dargestellten Stoffes ist mehr, als in einer einsemestrigen Vorlesung
behandeltwerdenkann.AlseineAuswahl-Mo¨glichkeitbietetsichan,dieIntegrations-
theoriebiszumGaußschenIntegralsatzundseinenAnwendungenzubringen( 1–10
§
und 14 – 16). Falls ein mehrdimensionales Integral schon zur Verfu¨gung steht (nicht
notwendigdievolleLebesguescheIntegrationstheorie),kannmanauchbeimDifferen-
tialformenkalku¨l( 18und19)einsteigenundunterBenutzungvon 9und 14mit 20
§ § § §
und 21 zum Stokesschen Integralsatz gelangen. Dieser kann dann in die klassische
§
Form des Gaußschen Integralsatzes zuru¨cku¨bersetzt werden und steht so fu¨r Anwen-
dungenin 16und 17zurVerfu¨gung.
§ §
Im Zuge der Neubearbeitung erhielt das Buch durch TEX-Satz auch eine neue a¨ußere
Form.Hierfu¨rgehtmeinherzlicherDankanFrau YOSHIDA Kuniko,diedenGroßteil
desTextesmitLATEXgesetztunddieFiguren(mitpstricks)erstellthat.
Mu¨nchen,September2010
OttoForster
Vorwort zur 8. Auflage
Bei der U¨berarbeitung fu¨r die 7. und 8. Auflage wurde an einigen Stellen der Text
erga¨nztundeskamenneueAufgabenundAbbildungenhinzu.
Besonderer Dank gebu¨hrt einigen sorgfa¨ltigen Lesern der 6. und 7. Auflage, durch
derenHilfeeineganzeReihevonDruckfehlernbeseitigtwerdenkonnte.
Mu¨nchen,Oktober2016 O.F.
VII
Inhaltsverzeichnis
1 Mengenalgebren 1
2 Inhalte,Pra¨maße,Maße 13
3 FortsetzungeinesPra¨maßeszueinemMaß 23
4 IntegrationmessbarerFunktionen 39
5 Konvergenz-undApproximations-Sa¨tze 54
6 Bewegungs-InvarianzdesLebesgueschenMaßes 70
7 CavalierischesPrinzip,SatzvonFubini 79
8 RotationssymmetrischeFunktionen 95
9 DieTransformationsformel 101
10 PartielleIntegration 114
11 Parameterabha¨ngigeIntegrale 127
12 DieLp-Ra¨ume 133
13 Fourier-Integrale 142
14 IntegrationaufUntermannigfaltigkeiten 157
15 DerGaußscheIntegralsatz 177
16 DiePotentialgleichung 192
17 Distributionen 206
18 PfaffscheFormen,Kurvenintegrale 224
19 Differentialformenho¨hererOrdnung 248
20 IntegrationvonDifferentialformen 265
21 DerStokesscheIntegralsatz 283
Literaturhinweise 307
Symbolverzeichnis 308
Namens-undSachverzeichnis 309
VIII
Webseite
Fu¨rdieAnalysis3gibteseineWebseite,dieu¨berdieHomepagedesVerfassers
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster
erreichbarist.DortwirdeineListederbekanntgewordendenErrataabgelegt.
IchbinallenLeserinnenundLeserndankbar,diemirperEmailan
[email protected]
FehlermeldungenodersonstigeKommentarezusenden.
OttoForster
1
§ 1 Mengenalgebren
IndiesemParagraphenfu¨hrenwirMengenringe,Mengenalgebrenunds-Algebrenein,dassind
gewisseSystemevonTeilmengeneinerGrundmenge.SiedienenalsDefinitionsbereichvonIn-
haltenundMaßen,dieimna¨chstenParagrapheingefu¨hrt werden.Mengenalgebren sindabge-
schlossengegenu¨berKomplementbildungsowieendlichenVereinigungenundDurchschnitten.
Ins-AlgebrensindsogarVereinigungenundDurchschnittevonabza¨hlbarenFamilienmo¨glich.
Wichtigfu¨rdasLebesgue-MaßimRnistderMengenringderendlichenQuadersummensowie
diedavonerzeugtes-AlgebraderBorelschenTeilmengendesRn.
Operationen auf Mengen. Sei W eine beliebige Menge. Wir bezeichnen mit P(W)
die Potenzmenge von W, das ist die Menge aller Teilmengen A W. Fu¨r Elemente
⊂
A,B P(W) hat man die Verknu¨pfungen Vereinigung A B, Durchschnitt A B und
∈ ∪ ∩
mengentheoretischeDifferenz
ArB:= x A:x B .
{ ∈ 6∈ }
Manbeachte,dasshiernichtverlangtwird,dassBeineTeilmengevonAist.DieDif-
ferenz WrA heißt dasKomplementvon A und wird oft mit Ac abgeku¨rzt. Mit dieser
BezeichnunggiltArB=A Bc.VereinigungundDurchschnittsindauchfu¨rbeliebige
∩
FamilienAi P(W),i I,definiert:
∈ ∈
Ai:= x W: j I mitx Aj , Ai:= x W:x Aj fu¨ralle j I .
[ { ∈ ∃ ∈ ∈ } \ { ∈ ∈ ∈ }
i I i I
∈ ∈
DabeiistIeinebeliebigeIndexmenge,siekannendlichoderunendlich(abza¨hlbaroder
u¨berabza¨hlbar) sein. Fu¨r die leere Indexmenge vereinbart man (in U¨bereinstimmung
mitdenobigenFormeln)
Ai=0/, Ai=W.
[ \
i 0/ i 0/
∈ ∈
DiesymmetrischeDifferenzzweierTeilmengenA,B Wistdefiniertdurch
⊂
AMB:=(ArB) (BrA).
∪
AMB besteht aus allen Punkten x W, diein genau einerder Mengen A,B enthalten
∈
sind,sieheBild1.1.
A B
AMB AMB
Bild1.1
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O. Forster, Analysis 3, Aufbaukurs Mathematik, DOI 10.1007/978-3-658-16746-2_1