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Otto Forster
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Analysis 3
wieweg stuclium
Aufbaukurs Mathematik
Herausgegeben von
Gerd Fischer
Wolfgang Fischer I I ngo Lieb
Funktionentheorie
Otto Forster
Analysis 3
Ernst Kunz
Einführung in die kommutative Algebra
und algebraische Geometrie
Grundkurs Mathematik
Gerd Fischer Ernst Kunz
Lineare Algebra Ebene Geometrie
Gerd Fischer Joseph Maurer
Analytische Geometrie Mathemecum
Otto Forster R. Mennicken I E. Wagenführer
Analysis 1 Numerische Mathematik 1
Otto Forster R. Mennicken I E. Wagenführer
Analysis 2 Numerische Mathematik 2
Otto Forster
Analysis 3
Integralrechnung im IR"
mit Anwendungen
2., überarbeitete Auflage
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
vieweg studium Band 52 CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Aufbaukurs Mathematik
Forster, Otto:
AnalysislOtto Forster. - Braunschweig;
Wiesbaden: Vieweg
Früher außerdem im Ver!. Rowohlt, Reinbek
bei Hamburg.-Teilw. Ver!. Vieweg mit
Erscheinungsort: Braunschweig
3. .... Forster, Otto: Integralrechnung im IR0 mit
Anwendungen
Forster, Otto:
Integralrechnung im IR0 mit Anwendungen/
Otto Forster. - 2. überarb. Aufl. - Braunschweig;
Wiesbaden: Vieweg, 1983.
(Analysis/Otto Forster; 3)
(Vieweg-Studium; 52: Aufbaukurs Mathematik)
ISBN 978-3-528-17252-7 ISBN 978-3-663-06814-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-06814-3
NE: 2. GT
1.-3. Tausend Oktober 1981
4.-6. Tausend Januar 1983
2., überarbeitete Auflage 1983
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1983
UrsprUnglieh erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1983
Die Vervielfältigung und Übertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch flir
Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher
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geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt flir die Vervielfältigung durch alle Verfahren ein
schließlich Speicherung und jede Übertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bänder, Platten und
andere Medien.
ISBN 978-3-528-17252-7
V
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ................................................... VI
§ 1 Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§ 2 Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 3 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§ 4 Integral für halbstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§ 5 Berechnung einiger Volurnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 6 Lebesgue-integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
§ 7 Nullmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§ 8 Rotationssymmetrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§ 9 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§ 10 Die Lp-Räume ........................................... 90
§11 Parameterabhängige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
§ 12 Fourier-Integrale ......................................... 104
§13 Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen ......... 120
§ 14 Integration auf Untermannigfaltigkeiten .......................... 128
§ 15 Der Gaußsehe Integralsatz ................................... 148
§ 16 Die Potentialgleichung ...................................... 161
§ 17 Distributionen ............................................ 175
§ 18 Pfaffsche Formen. Kurvenintegrale ............................. 192
§ 19 Differentialformen höherer Ordnung ............................ 216
§ 20 Integration von Differentialformen ............................. 234
§ 21 Der Stokessehe Integralsatz .................................. 255
Literaturhinweise ............................................. 280
Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 81
Namens-und Sachverzeichnis ..................................... 283
VI
Vorwort
Das vorliegende Buch stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathe
matik und Physik dar und umfaßt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen.
Die mehrdimensionale Integration ist wahrscheinlich innerhalb der mathematischen Grund
vorlesungen das unangenehmste Stoffgebiet. Das hat verschiedene Gründe. Einerseits bleibt
die Integrationstheorie unbefriedigend, wenn nicht das Lebesguesche Integral eingeführt
wird. Dessen Einführung verbraucht aber meist soviel Zeit, daß am Schluß der Vorlesung
der Student nicht in der Lage ist, die Oberfläche einer Kugel auszurechnen, ganz zu schwei
gen von der Kenntnis der Integralsätze. Will man aber andererseits die Integralsätze in ihrer
heutigen eleganten Form darstellen, so muß der ganze Differentialformenkalkill auf Mannig
faltigkeiten eingeführt werden, was wiederum kaum Zeit für die maßtheoretische Seite der
Integrationstheorie und flir Anwendungen läßt, von denen es vor allem in der klassischen
Analysis so viele gibt und die heute immer mehr in Vergessenheit geraten.
Für dieses Dilemma konnte auch im vorliegenden Buch keine Ideal-Lösung gefunden wer
den. Es wurde aber versucht, zu einem vernünftigen Kompromiß zu kommen. Insbesondere
wird der ermüdende systematische Aufbau der Theorie immer wieder durch Paragraphen
unterbrochen, in denen Beispielmaterial bereitgestellt oder Anwendungen besprochen
werden.
Das Buch beginnt mit der Einführung des Integrals für stetige Funktionen mit kompaktem
Träger im IRn durch sukzessive Integration. Dieses Integral wird dann als das bis auf einen
konstanten Faktor eindeutig bestimmte Haarsehe Maß auf dem IRn charakterisiert. In § 2
wird die Transformationsformel für mehrfache Integrale bewiesen. In § 3 erfolgt die erste
Unterbrechung, wo die partielle Integration dazu benützt wird, die Adjunktion von linea
ren Differentialoperatoren zu definieren, und wo mit Hilfe der Integral-Transformations
formel die Darstellung des Laplace-Operators in krummlinigen Koordinaten abgeleitet wird.
In § 4 erfolgt dann die erste Erweiterung des Integralbegriffs auf halbstetige Funktionen.
Da die charakteristische Funktion eines Kompaktums von oben halbstetig ist, kann damit
bereits das Volumen von kompakten Körpern definiert werden, und in§ 5 berechnen wir
die Volumina verschiedener Körper, wie Zylinder, Kegel und Kugel. In den§§ 6-10 wird
dann das Wichtigste aus der Lebesgueschen Integrationstheorie abgehandelt, unterbrochen
von einem Paragraphen über die Integration rotationssymmetrischer Funktionen. Die Kon
vergenzsätze werden in§ 11 auf parameterabhängige Integrale angewandt, und in§ 12 er
folgt als Anwendung davon ein kurzer Abriß der Theorie der Fourier-Integrale.
Der nächste Teil des Buches ist dem Gaußsehen Integralsatz und seinen Anwendungen ge
widmet. Dabei haben wir aus didaktischen Gründen zunächst darauf verzichtet, diesen Satz
im Differentialformenkalkill zu formulieren, sondern beweisen ihn in seiner klassischen
Form, daß das Integral der Divergenz eines Vektorfelds über ein Gebiet gleich dem Rand
integral des Skalarprodukts des Vektorfeldes mit dem Einheits-Normalenfeld ist. In dieser
Vorwort VII
Form kann er auch gleich in§ 16 zur Behandlung der Potentialgleichung benützt werden.
Wir leiten dabei insbesondere die Poissonsche Integralformel zur Lösung des Dirichletpro
blems ftir die Kugel ab. In§ 17 erfolgt eine kurze Einflihrung in die Theorie der Distribu
tionen, in deren Rahmen wir die Fundamental-Lösungen ftir die Potentialgleichung, die
Helmholtzsche Schwingungsgleichung und die Wärmeleitungsgleichung bestimmen.
Die letzten vier Paragraphen(§§ 18-21) flihren schließlich in den Differentialformenkalkül
ein, mit deren Hilfe der allgemeine Stokessehe Integralsatz bewiesen wird. Dabei haben wir
uns, um die Abstraktion in Grenzen zu halten, auf den 1Rn und seine Untermannigfaltigkei
ten beschränkt. Neben dem Stokessehen Integralsatz werden als Anwendungen u.a. die
Cauchysche Integralformel sowie die Bochner-Martinellische Integralformel ftir holomorphe
Funktionen mehrerer Veränderlichen bewiesen.
Der Umfang des dargestellten Stoffes ist zuviel ftir eine einsemestrige Vorlesung. So muß
der Dozent eine Auswahl treffen. Als eine Möglichkeit bietet sich an, die Integrationstheo
rie ohne den Differentialformenkalkül bis zum Gaußsehen Integralsatz mit seinen Anwen
dungen zu bringen(§§ 1-16), wobei noch der eine oder andere nicht zum systematischen
Aufbau gehörende Gegenstand weggelassen werden kann (in der Hoffnung, daß der Stu
dent ihn aus eigenem Antrieb studiert). Eine andere Möglichkeit ist, auf die Lebesguesche
Integrationstheorie zu verzichten und nach den§§ 1-3 direkt zu den Differentialformen
(§§ 18, 19) überzugehen. Dann kann unter Benützung von Teilen des§ 4 der Integralbe
griff für stetige Funktionen auf kompakten Mengen wie im Anhang zu § 20 eingeführt wer
den. Für den§ 20 (Integration von Differentialformen) werden Teile von§ 14 benötigt.
Nach dem Stokessehen Integralsatz (§ 21) sollte dann noch die Rückübersetzung in die
klassische Form des Gaußsehen Integralsatzes erfolgen(§§ 14, 15) und möglichst noch
seine Anwendung auf die Potentialgleichung (§ 16) besprochen werden.
Ich danke den vielen Kollegen, die mich immer wieder dazu angespornt haben, das Buch
endlich fertigzustellen, sowie Frau G. Marschalleck für das Tippen des Manuskripts. Ich
hoffe, daß das Buch dazu beitragen kann, diesen wichtigen Teil der Analysis, wie ihn die
mehrdimensionale Integration darstellt, ftir Vorlesungen wieder populärer zum achen.
Otto Forster
1
§ 1. Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger
In diesem Paragraphen definieren wir das Integral ftir stetige Funktionen im IR n, die außerhalb eines
genügend großen Quaders verschwinden, durch sukzessive Integration über die einzelnen Variablen.
Dann zeigen wir, daß das Integral durch seine Eigenschaften Linearität, Monotonie und Translations
invarianz bis auf einen konstanten Faktor schon eindeutig bestimmt ist.
Mehrfache Integrale
Sei Q ein achsenparalleler kompakter Quader im1R n, d.h.
Q=I1XI2X ... XIn,
wobei jedes h = [ab bk] C 1R ein beschränktes abgeschlossenes Intervall ist. Auf Q sei
eine stetige Funktion
f: Q---+1R
(Xt. ... ,Xn) ~ f(xl, ... ,Xn)
gegeben. Bei festgehaltenem (x2, ... ,Xn) EI2 X ... X In kann diese Funktion bzgl. x1
über das Intervall I integriert werden,
1
bt
S
F1(X2, ... ,Xn) := f(xt,X2, ... ,Xn)dxl.
al
Nach An. 2, § 9, Satz 1 ,-erhält man so eine stetige Funktion
F1:I2X ... XIn~1R.
Diese Funktion kann wiederum bei festgehaltenem (x3, •.. , Xn) E I3 X ... X In bzgl. der
Variablen x über I integriert werden,
2 2
b2 b2 bt
(f
S S
F2(x3, ... ,xn):= Fl(x2, ... ,xn)dx2= f(xt,X2, ... ,Xn)dxt)dx2.
F2 ist eine stetige Funktion auf I3 X ... X In, die bzgl. x3 über I3 integriert werden kann.
Nach n-maliger Wiederholung des Verfahrens erhält man schließlich nach Integration über
die letzte Variable Xn eine reelle Zahl, die Integral von f über Q heißt und mit
bn b2 bt
J
S( S
ft(xt. ... ,xn)dxt ... dxn = f(Xt.X2, ... ,Xn)dxt)dx2) ... dxn
Q an
bezeichnet wird.
2 § 1. Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger
J J
AbkürzeJnd schreibt man statt f(xt. ... , Xn)dx1 ••• dxn auch f(x)dnx oder
einfach f(x)dx. Q Q
Q
Träger einer Funktion
Unter dem Träger einer Funktion f: IR n ~ IR versteht man die abgeschlossene Hülle der
Menge aller Punkte, in denen die Funktion von Null verschieden ist. Der Träger von f
wird mit Supp (f) bezeichnet (von engl. und frz. support). Es gilt also
Supp(f) = {xEIRn:f(x):FO}.
Wir bezeichnen mit C€ (IRn) den Vektorraum aller stetigen Funktionen f: IR n ~IR und
mit
C€c (IRn) = {fE C€ (IRn): Supp (f) kompakt}
den Untervektorraum aller stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Zu jedem
fE C€c (IR n) gibt es also einen kompakten achsenparallelen Quader Q C IRn mit
Supp (f) C Q. Außerhalb von Q ist f identisch null.
Für Funktionen fE C€c (IRn) wird nun das Integral folgendermaßen definiert: Man wähle
einen kompakten achsenparallelen Quader Q C IR n mit Supp (f) C Q und setze
J J
f(x., ... ,Xn)dxl ... dxn := f(x., ... ,Xn)dxl ... dxn.
Rn Q
Offenbar ist diese Definition unabhängig von der Auswahl des Quaders Q.
Bezeichnung. Statt
J
f(x., ... ,Xn)dxl ... dxn
Rn
J J
schreibt man auch kürzer f(x)dnx oder f(x)dx.
Rn Rn
Natürlich kann man statt der Integrationsvariablen x auch andere Buchstaben
verwenden
J J
f(x., ... ,Xn)dxl···dxn= f(tt.···.tn)dtl···dtn= ....
Rn Rn
Beispiel: Seien '{J1, ••• , 'fln E C€c (IR) stetige Funktionen einer Veränderlichen mit kom
paktem Träger. Wir defmieren eine Funktion f: IR n ~IR von n Veränderlichen durch
f(x., ... ,Xn) := 'P1 (xl) · ... "'Pn (xn)·
§ 1. Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger 3
Es gilt /E ~'Ce (lR.n). Ist nämlich der Träger von 'Pk im kompakten Intervall Ik C IR ent
halten, so gilt
Supp(J) C Q :=/1 X ... X In·
Für das Integral erhält man
S S
=
f(x)dx 'PI(x1)· ... ·cpn(Xn)dx1 ... dxn
Rn Q
S. .. (J(J
=
'PI(Xt)· ... ·cpn(Xn)dxt)dx2) ... dxn
In h h
n
s
=
'Pk(xk)dxk.
k= 1 R
Eigenschaften des Integrals
Satz I (Linearität und Monotonie). Seien f, g E ~'Ce (IRn) und XE IR. Dann gilt
J
J J
a) {f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx,
Rn Rn Rn
J J
b) "'A.f(x)dx =X f(x)dx.
!Rn Rn
c) Gilt f.<:. g, d. h. f(x) <:. g (x) für alle x E IR n, so folgt
J J
f(x)dx <:. g(x)dx.
Rn Rn
Diese Aussagen folgen unmittelbar durch n-malige Anwendung der entsprechenden Aus
sagen für das Integral von Funktionen einer Veränderlichen.
