Analyse spectrale et application aux Equations aux dérivées partielles

173 Pages·2017·1.07 MB·French

Analyse spectrale et application aux
Equations aux d´eriv´ees partielles
Virginie Ehrlacher et Fr´ed´eric Legoll
Mars 2017

Table des mati`eres
Introduction v
1 Rappels 1
1.1 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Th´eor`emes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Orthogonal d’un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 D´efinitions principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 In´egalit´e de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Convergence faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 D´efinition de la convergence faible . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Propri´et´es de la convergence faible . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Probl`eme de l’´elasticit´e lin´earis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Le mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 In´egalit´e de Korn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 Probl`eme aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.5 Interpr´etation des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Introduction `a la th´eorie spectrale 21
2.1 Op´erateurs lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Domaine d’un op´erateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Op´erateurs born´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Inverse d’un op´erateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 Adjoint d’un op´erateur born´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Th´eorie spectrale des op´erateurs born´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Th´eorie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Cas des op´erateurs born´es autoadjoints . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Invariance par transformation unitaire . . . . . . . . . . . . . 39
i
`
ii TABLE DES MATIERES
2.3 Op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Le th´eor`eme de Rellich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.3 Th´eorie spectrale des op´erateurs autoadjoints compacts . . . . 47
2.3.4 Op´erateurs autoadjoints compacts d´efinis positifs . . . . . . . 51
3 Equations aux d´eriv´ees partielles et probl`emes aux valeurs propres 57
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Valeurs propres d’un probl`eme elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Probl`eme variationnel abstrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.2 Premi`ere application : valeurs propres du laplacien . . . . . . 64
3.2.3 Seconde application : l’´elasticit´e lin´earis´ee . . . . . . . . . . . 66
3.3 M´ethodes num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1 Discr´etisation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.2 Convergence et estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Algorithmes pour le calcul de valeurs et de vecteurs propres . . . . . 73
3.4.1 M´ethode de la puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.2 M´ethode de Lanczos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Probl`emes d’´evolution 83
4.1 Exemples d’´equations d’´evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.1 Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2 Espaces d´ependant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 L’´equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4 L’´equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.1 L’´equation de la chaleur dans tout l’espace . . . . . . . . . . . 93
4.4.2 L’´equation de la chaleur sur un ouvert born´e Ω . . . . . . . . 96
4.4.2.1 Solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.2.2 Propri´et´es qualitatives des solutions faibles . . . . . . 103
4.5 L’´equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5.1 L’´equation des ondes 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5.2 L’´equation des ondes dans un ouvert born´e Ω . . . . . . . . . 109
4.5.2.1 Solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5.2.2 Propri´et´es qualitatives des solutions faibles . . . . . . 117
4.6 Analyse num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6.1 L’´equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6.1.1 Semi-discr´etisation en espace . . . . . . . . . . . . . 119
4.6.1.2 Discr´etisation totale en espace-temps . . . . . . . . . 123
4.6.2 L’´equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6.2.1 Semi-discr´etisation en espace . . . . . . . . . . . . . 125
4.6.2.2 Discr´etisation totale en espace-temps . . . . . . . . . 127
`
TABLE DES MATIERES iii
5 Optimisation 129
5.1 Optimisation : th´eorie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1.2 Convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.1.3 Conditions de minimalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1.3.1 Diff´erentiabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1.3.2 Cas de contraintes convexes . . . . . . . . . . . . . . 136
5.1.3.3 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.1 Cas convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.1.1 Un cadre g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.1.2 Elasticit´e lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2.1.3 Le probl`eme de l’obstacle . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2.2 Cas non convexes, avec ou sans contrainte . . . . . . . . . . . 146
5.2.2.1 Quelques exemples simples en dimension un . . . . . 147
5.2.2.2 Un probl`eme non convexe sans contrainte . . . . . . 151
5.2.2.3 Un probl`eme non convexe avec contrainte . . . . . . 153
5.2.2.4 Un mod`ele microscopique : l’atome d’hydrog`ene . . . 155
`
iv TABLE DES MATIERES
Introduction
La th´eorie spectrale est un outil qui permet de d´ecomposer les op´erateurs (par
exemple le laplacien) selon leurs modes fondamentaux. Cette th´eorie math´ematique
a de nombreuses applications pour l’ing´enieur (par exemple, le calcul des modes
propres de vibration d’une structure du g´enie civil), parfois spectaculaires (ruine
de la structure par excitation trop importante de certains modes de vibration, cf.
l’exemple du pont de Tacoma).
Nous verrons dans un premier temps comment d´ecomposer une ´equation aux
d´eriv´eespartiellesensesmodespropresg´en´eralis´esparlebiaisdelath´eoriespectrale,
endimensioninfinie(cequin´ecessiteplusieursnotionsnouvellesparrapportaucadre
connu des ´el`eves de la dimension finie). On montrera ensuite comment discr´etiser le
probl`eme, afin d’approcher en pratique (par exemple par une m´ethode des ´el´ements
finis) les valeurs et les vecteurs propres d’un op´erateur.
Dans un second temps, nous utiliserons cet outil pour ´etudier des ´equations
d’´evolution (´equation de la chaleur, ´equation des ondes, ´equation de Schroedinger,
...),`alafoissurleplanth´eorique(propri´etesqualitativesdessolutions)etnum´erique
(discr´etisation spectrale, estimation d’erreur).
La troisi`eme partie du cours sera consacr´ee `a des probl`emes d’optimisation en
dimension infinie (minimisation d’une ´energie, ´eventuellement sous contraintes).
Apr`es avoir ´etudi´e dans un cadre g´en´eral le cas ou` la fonctionnelle est convexe,
on s’int´eressera `a des cas non convexes.
Ce cours s’appuie sur les connaissances acquises en premi`ere ann´ee de l’Ecole
des Ponts (cours “Analyse et Calcul Scientifique”, cf. [13], et cours “Equations aux
d´eriv´ees partielles et El´ements finis”, cf. [10]) et en seconde ann´ee. Ces notes de
cours sont cependant autonomes et rappellent les notions indispensables.
Ces notes de cours sont organis´ees de la fa¸con suivante. Apr`es des rappels et
compl´ements d’analyse (Chapitre 1), nous introduisons au Chapitre 2 quelques
´el´ements de th´eorie spectrale, en nous concentrant essentiellement sur le cas des
op´erateursauto-adjointscompacts(pourlesquels lasituationressembleleplusaucas
deladimensionfinie). Ceci nousconduitdirectement auChapitre3a`lar´esolutionde
probl`emes aux valeurs propres, en dimension infinie, et `a leur approximation par des
m´ethodes de Galerkin en dimension finie. Cette question a un int´erˆet en soi (pour
le calcul des modes propres de vibration d’une structure par exemple), mais elle
v
vi INTRODUCTION
sera ´egalement tr`es utile pour la r´esolution des probl`emes d’´evolution faisant l’objet
du Chapitre 4. Le dernier th`eme abord´e est celui de l’optimisation, au Chapitre 5,
dans lequel nous nous int´eresserons `a des probl`emes variationnels nonlin´eaires et a`
la mod´elisation des mat´eriaux en terme de continuum.
Ces notes de cours s’inspirent `a plusieurs reprises de notes de cours ´ecrites par
nos coll`egues, ou que nous avons co-´ecrites avec eux. Nous pensons en particulier a`
Mathieu Lewin et Gabriel Stoltz, que nous remercions vivement.
Virginie Ehrlacher et Fr´ed´eric Legoll,
Champs sur Marne,
28 mars 2017.
Chapitre 1
Rappels
Ce chapitre a l’objectif de rappeler plusieurs notions ´el´ementaires. Nous en pro-
fitons pour faire un certain nombre de remarques, illustr´ees par plusieurs exercices,
et montrant la sp´ecificit´e de la dimension infinie par rapport a` la dimension finie.
Laderni`eresectiondecechapitreestconsacr´ee`al’´etudeduprobl`emedel’´elastici-
t´e lin´eaire. De mˆeme que l’´equation de Poisson, ce mod`ele servira de motivation et
d’illustration dans les chapitres suivants.
On rappelle tout d’abord la notation suivante pour un espace vectoriel norm´e E.
D´efinition 1.1. La boule unit´e ferm´ee de E est
B = x E; x 1 .
E E
{ ∈ k k ≤ }
1.1 Espaces de Hilbert
Dans cette section, on se place dans un espace de Hilbert V. On rappelle que
V est donc un espace vectoriel muni d’un produit scalaire, qu’on note x,y , que la
h i
norme induite par ce produit scalaire est x = x,x , et que V est complet pour
k k h i
cette norme.
p
1.1.1 Th´eor`emes fondamentaux
On rappelle maintenant quelques th´eor`emes fondamentaux pour les espaces de
Hilbert.
Th´eor`eme 1.2 (Th´eor`eme de projection orthogonale). Soit V un espace de Hilbert
et K un sous-espace vectoriel ferm´e de V. Pour tout u V, il existe un unique
∈
v = P u K, appel´e projection orthogonale de u sur K, tel que
K
∈
P u u = inf w u .
K
k − k w∈Kk − k
De plus, P u est caract´eris´e par
K
P u K et w K, u P u,w = 0. (1.1)
K K
∈ ∀ ∈ h − i
1
2 CHAPITRE 1. RAPPELS
D´emonstration. Cf. le cours de premi`ere ann´ee [13].
On peut faire un peu mieux, et simplement supposer que K est un sous-ensemble
convexe et ferm´e de V.
D´efinition 1.3. Soit E un espace vectoriel et C un sous-ensemble de E. L’ensemble
C est convexe si, pour tout x et y dans C et tout λ [0,1], on a λx+(1 λ)y C.
∈ − ∈
Th´eor`eme 1.4 (Th´eor`eme de projection sur un convexe). Soit V un espace de
Hilbert et K un sous-ensemble ferm´e et convexe de V. Pour tout u V, il existe un
∈
unique v = P u K, appel´e projection de u sur K, tel que
K
∈
P u u = inf w u .
K
k − k w∈Kk − k
De plus, P u est caract´eris´e par
K
P u K et w K, u P u,w P u 0. (1.2)
K K K
∈ ∀ ∈ h − − i ≤
D´emonstration. La preuve est tr`es similaire `a celle du th´eor`eme de projection or-
thogonale donn´ee dans [13].
Le th´eor`eme suivant permet d’identifier un espace de Hilbert V avec son dual
V′ = (V,R) :
L
Th´eor`eme 1.5 (Th´eor`eme de Riesz). Soit V un espace de Hilbert. Etant donn´e
ϕ V′, il existe un unique u V tel que
∈ ∈
w V, ϕ(w) = u,w .
∀ ∈ h i
De plus, on a u = ϕ . En d’autres termes, l’application de V′ dans V qui `a
V V′
k k k k
ϕ associe u permet d’identifier l’espace de Hilbert V avec son dual.
D´emonstration. Cf. le cours de premi`ere ann´ee [13].
La notion d’application bilin´eaire coercive joue un rˆole fondamental pour l’´etude
des ´equations aux d´eriv´ees partielles.
D´efinition 1.6. Soit V un espace de Hilbert et soit a une forme bilin´eaire sur V.
On dit que a est coercive sur V s’il existe un r´eel α > 0 tel que
u V, a(u,u) α u 2.
∀ ∈ ≥ k k
Th´eor`eme 1.7 (Th´eor`eme de Lax-Milgram). Soit V un espace de Hilbert et a une
forme bilin´eaire sur V, sym´etrique, continue et coercive. Soit b une forme lin´eaire
continue sur V. Alors le probl`eme
Chercher u V tel que
∈ (1.3)
w V, a(u,w) = b(w)
(cid:26) ∀ ∈