Analyse Hamonique Non-Commutative sur Certains Espaces Homogenes: Etude de Certaines Ihtégrales Singulières

165 Pages·1971·2.598 MB·French

by  Ronald R. Coifman, Guido Weiss (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
A noitcelloc of lamrofni reports dna sranimes
detidE yb .A ,dloD grebledieH dna .B ,nnamkcE hcirQZ
Series: Institut de ,euqitam~htaM Facult~ des Sciences d'Orsay
Adviser: .J .P enahaK
242
Ronald .R Coifman
Guido Weiss
tnemtrapeD of ,scitamehtaM Washington ytisrevinU
St Louis, MO/USA
Analyse Harmonique
Non-Commutative sur
Certains Espaces Homogenes
Etude de Certaines Iht6grales Singuli~res
$
galreV-regnirpS
grebledieH-nilreB • weN kroY 1791
AMS Subject Classifications (1970): 22C05, 43A65, 43A85, 43A75, 33A45
ISBN 3-540-05703-X Springer-Verlag Berlin - Heidelberg • New York
ISBN X-30750~783-0 Springer-Verlag New York • Heidelberg • Berlin
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Pr6face
L'expos~ qui suit a fair l'objet d'une s6rie de conferences donn~es A la Facult6 des
Sciences d'Orsay durant l'ann6e scolaire 1970-71. Notre propos Etait d'~tudier quelques
aspects de l'analyse harmonique non commutative sur certains espaces homog&nes sur
lesquels op~re un groupe compact (par exemple la sph&re unite de l'espace euclidien
n-dimensionnel n R sur laquelle agit le groupe des rotations SO(n)). En particulier,
nous d6velopponsune th~orie des op6rateurs int~graux singuliers, qui nous permet de
montrer que, sur ces espaces homog~nes, certains op~rateurs associEs A des multiplicateurs
matriciels sont born6s dans les espaces de fonctions L p,
L'~noncE de tels th6or~mes sur les multiplicateurs fair souvent appel ~ des choix
explicites de bases pour les espaces de fonctionsen question. C'est pour cette raison que
nous ~tudions en detail les fonctions sp~ciales sur certains groupes classiques, et les
harmoniques sphEriques. Les propri~tEs et les relations obtenues pour ces fonctions sp6-
ciales classiques sont, pour l'essentiel, bien connues. Toutefois, nous n'avons pas trouv6
dans la litt~rature certaines des formules pr6sent~es ici. Nous citerons darts cet or&re
d'id~es le quatri~me exemple du 3 ~ du second chapitre (en particulier, la for,rule donnant
la projection sur les harmoniques sph~riques d'undegr~ donn~ , et qui est obtenue en
utilisant l'op~rateur L, semble nouvelle - et utile). Notre traitement de ce sujet
classique a ~t~ guid6 par notre intention d'Etudier les opErateurs mentionnEs ci-dessus.
Nous nous limitons donc essentiellement A l'@tude des propri~t6s qui seront utilis~es plus
tard A cet effet, et peut-6tre y-a-t-il quelque nouveautE A cette mEthode d'approche. Le
lecteur qui d6sire approfondir ses connaissances sur ces fonctions sp6ciales consultera
avec fruit le remarquable ouvrage de Vilenkin ~.
Nous avons esssy~ de rendre cet expose aussi autonome que possible. Les seules con-
naissances pr6alables requises sont celles de la th6orie de l'int~gration et de la th6orie
IV
des fonctions d'une variable complexe. Le point essentiel de la th4orie des groupes, le
th6orbme de Peter-Weyl, est expos6 dans le premier chapitre, ainsi que les r4sultats
fondamentaux concernant l'analyse harmonique sur un groupe compact.
Le groupe SU(2) est 4tudi4 avec une attention particulibre. Ce groupe, qu'on peut
identifier trbs naturellement avecla sphbre unit4 dans 4 R (ou C )2 est une g4n6rali-
sation directe du groupe des hombres complexes de module .I La base orthonormale de
L2(SU(2)) que nous utiliserons a un rapport 4troit avec beaucoup de fonctions sp6ciales
(en particulier les polynSmes de Jacobi, les fonctions trigonom4triques et les harmoniques
sph6riques dans les espaces tri- et quadri-dimensionnels). Le th6orbme g4n4ral de mul-
tiplicateurs du cinquibme chapitre donne lieu ~ diverses applications relatives aux
d6veloppements en s4ries suivan% ces fonctions sp6ciales classiques. Nous obtenons, de
cette manibre, des th4orbmes de transplantation et des th4orbmes de multiplicateurs qui,
premibre rue, ne semblent pas avoir de relation avec SU(2). Ces r4sultats recouvrent
certains rdsultats ddj~ connus~ mais possbdent 6galement des 416ments nouveaux. II est
naturel de se demander si des m4thodes plus directes peuvent y amener. De plus, il n'est
pas d4raisonnable de s'attendre ~ ce que ces m4thodes ajoutent des aspects nouveaux ~ ces
r6sultats. Nous encourageons le lecteur ~ faire des tentatives dans ces directions. Ace
sujet, c'est nut plaisir pour nous de pouvoir dire que deux de nos auditeurs ont trouv4
des extensions de thdorbmes qui sont expos4s ici • Mme A. Bonsmi ]I[ a g6ndralis4 le
corollaire (3.1) du chapitre V en utilisant un argument direct, et M. J. L. Clerc ~]
a g6n6ralis4 le th4or~me (4.2) du chapitre III.
Nous exprimons notre reconnaissance A Madame A. Bonami, Monsieur J. L. Clerc et
Monsieur B. Mischler pour les efforts qu'ils ont consacr6s A la r4daction d'une grande
partie de ces notes, an sujet desquelles ils ont formul6 des remarques pertinentes, ainsi
que pour leurs nombreux conseils dans 1'usage du fran~ais. Madame Dumas, qui s'est charg4e
de la frappe du manuscrit et qui, a contribu6, A beaucoup d'4gards, ~ l'agr6ment de notre
s6jour A Orsay, est 6galement assur6e de notre p.~ofonde gratitude.
M. Coifman remercie la "Sloan Foundation" pour l'aide financi~re qui lui a 6t6
accord6e.
Table des matibres
Chapitre I. Repr6sentations des groupes compacts. Thdorbme de Peter-Weyl
1. D4composition de L2(G) ......................................... I
2. Transformation de Fourier et fonctions centrales ................ 11
.3 D6composition de route repr4sentation d'un groupe compact ....... 15
4. Produit tensoriel de repr6sentations ............................ 18
.5 Commentaires et r6f6rences ...................................... 22
Chapitre II. Repr6sentations de quelques groupes compacts
1. Etude des gToupes U(n) %e SU(n) ............................. 24
2. Base de l'analyse harmoniqne sur le groupe SU(2) .............. 29
3. Analyse haxmonique sur ~n-1 -- ................................ 34
4. Couples sym4triques ............................................ 48
5. M~ltiplicateurs ................................................ 62
6. Commentaires et r4f6rences ..................................... 64
Chapitre III. Int4grales singuli~res et multiplicateurs
I. D4finition et propri4t4s d'un espace de nature homog~ne ........ 66
2. Th4er~me fondamental des int4grales singuli~res ................ 17
3. Int4grales sinsuli~res sur un groupe compact ................... 77
4. Multiplicateurs centraux sur SU(2) ........................ I"" 85
5. Multiplicateurs zonanx sur ~n-1 .............................. 88
6. Co~s.entaires et r~f6rences ..................................... 98
Chapitre IV. Etude d6taillde du groupe SU(2)
I. G4om4trie du groupe SU(2) ..................................... 101
2. Classes sp4ciales de fonctions ................................. 105
3. Une formule de Clebsch-Gordan. Formule de Plancherel A poids ... 112
4. Syst~mes de fonctions harmeniques conjugu6es ................... 114
5. Commentaires et r4f4rences ..................................... 129
Chapitre V. Multiplicateurs matriciels sur SU(2)
I. Le th4orAme g4n4ral ............................................ 131
2. Utilisation des transform6es de Riesz invariantes pour obtenir
des th6or~mes de transplantation .......................... 136
3. Restriction du th4or~me de multiplicateurs ~ des classes sp4cim-
les de fonetions .......................................... 138
4. Commentaires et r4f4rences ..................................... 143
Chapitre VI. Autres exemples d'op6rateurs int6graax singuliers et estima-
tions dans L2(G)
I. D4compesition presque orthogonale d'op4rateurs ................. 145
2. Estimations dans L~(G) | op4rateurs de Paley-Littlewood ... 147
3. Int4grales de Cauchyet de Poisson sur SU(2) .................. 149
4. Commentaires et r6f4rences ...................................... 152
Bibliographie .......................................................... 155
Index .................................................................. 159
Chapitre I
~prEsentations s~_ed groupes compacts. Th6or~dmee Pet er-Weyl
1. D4composition de L2(G)
j inel+~
La suite des fonctions [e J-co sur le tore peut 8tre consid4r~e lemmoca suite
des vecteurs propres, dans L 2, de tousles opErateurs qui conmmtent avec les transla-
tions. Nous allons montrer que, de mSme, si G %se un groupe compact, il existe une
d4composition L2(G) =~ )~ ~A de L2(G) en sous-espaces ~ de'dimension finie
deux ~ deux orthogonanx~ telle que chaque sous-espace ~A soit invariant sous 1'action
de tout op6rateur de L2(G) qui comuute soit avec les translations A droite soit avec
les translations A gauche° A une telle decomposition de L2(G), nous pourrons faire
correspondre une notion de transform4e de Fourier d'un op4rateur : ce sera la donnEe de
ses restrictions aux sous-espaces ~A "
E%an% donne kEL2(G), dEfinissons op4rateurs les K et K par :
O
Kf(x) = k * )x(f = .tf k(y-'x)f(y)dy = frk(y)f(xy-')dy
Appelons ~ repr4sentation rEguli~re gauche l'application qui ~ tout y6G corres- fait
pondre l'op4rateur R de L2(G) dans d4fini lui-mSme par :
Y
D6finissons de mSme la repr4sentation rEguli~re A_ droite par : %f(x) = f(xy). On
v6rifie que Ryly = 2 Ry Ry2p I Sy I Y2 SyISy2 II aisE est de voir, Egalement, que,
quel que soit y6G - KRy RyK~ = yS Ko = Sy oK. Si V est un sous-espace fermE de
L2(G) invariant sous l'action de R (RyVCV quel que soit y), KV est 4galement
invaxiant pour R. Si V est un sous-espace invaxiant pour S, alors KVcV. Des
relations semblables sont valables pour K , R e% .S
o
D6finitions. On appelle repr6sentation de G sur l'espace de Hilbert H tout
homomorphisme continu de G dans le groupe des transformations unitaires de H.
R et S sont des exemples de repr4sentations sur L2(G).
Un sous-espace ferm4 V de H est dit invaxiant sous l'action de la repr4senta-
tion T ,is pour tout y6G, T VcV.
Y
Les sous-espaces que nous consid~rerons seront toujours des sous-espaces ferm4s.
Nous omettrons de le pr6ciser dans la suite.
La repr6sentation T est dire irr6ductible si les seuls sous-espaces invaxiants
sous l'action de T sent H et {O}.
Soient I T et 2 T deux repr6sentations de G sur I H 2 et H respectivement.
I T et 2 T sont dites ~quivalentes s'il existe une application lin4aire inversible P
de ~ dans I H telle que, pour tout y6G, p-ITIp = T .2
Y Y
Lemme (1.1) (Schur). (a)Soient I T et 2 T deux repr6sentations irr6ductibles de
Q sur IH m et H2 respectivement , suppos4s de dimension finis. Si P est une appli-
cation lin4aire de 1 H strad 2 H telle Cue, pour tout yEG, PT y I = 9 T~P alors P = O
ou P est inversible.
)b( Supposons maintenant que I = H H ,2 I = T T .2 Alors il existe A tel qu e
P = II.
PHI est invariant sous l'action de 2. T Donc PH ~ est ~O} ou 2 H tout entier.
De ~me, le noyau de Pest invarian% sous l'aotion de ~ T et donc 6gai ~ I H ou ~o~.
Les conclusions de (a)s'ensuiven%.
DBaS le cas (b), consid6rons une valeur propre k de P. Du fsit que
(P . AI)% = Ty(P- AI) et P - iI n'est pas inversible, P = ~I.
Nous allons chercher les sous-espaces invariemts de la reprdsentation rdgulibre
gauche %I et montrer en particulier qu'ils sont de dimension finie.
Lemme (1.2). Soit W un sous-esPace eE_d L2(G) invariant pour R : £~_s kEN,
Kf=k*f appartient a_" W quel que %iOiiS f6L2(G).
Soit en effet g orthogonal ~ W, montrons que g est crthogonal Kf :
[GKf(x) ~ dx = ~G k(y-lx)g-~ f(y)dy dx= O
puisque g est, quel que soit ,y orthogonal ~ R k.
Y
Lemme (1.3). Soit K un op6rateur tdimhcS-trebliHee__d autoadjoint sur L2(G). i~_S
f est une suite de fonctiOns born6e dans L2(G) convergeant faiblement vers ,f
n
alors Kf converge vers Kf darts L2(G).
= n
L'op4rateur K est de la forme :
~(x) = fk(x , y)f(y)~ ,
"G
2 = IIlKIII fJ'GxG
oh k(x,y) = kI'II~'y~I~, et lk(x,y)12~ dy<~o. Soit x tel que k(x,y)
enneitrapYla t~ L2(G) comme fonction de y : Kfn(x ) tendv ers Kf(x) du fait de la
IK~(x)l IIQI2(J~ )yd .2/I
convergence faible, et < Ik(x,Y)l 2 En vertu du th6orbme de
convergence domin4e, Kf tend vers Kf darts L2(G).
n
Lerme (1.4). Soit K comme dans le le~me (1o3), K ~ 0 il : existe A ~ 0 et
f L2(G) £ teisque Kf = .fA
Nous d4signerons dans la suite par f.g le produit scalaire dans L2(G) des deux
snoitcnof f et g ~ f'g =~G f(x) g-~ .xd
euqsil%l K ~ ,O Kf.g est non identiquement nul. ,rO K 4rant autoadjoint,
4
Kf.g ~ : ~ i ~h]g'i+f[K( ~*i~)
1=m 4
et Kf.f est donc non identiquement nul, Soit :
Puisque K est automijoint, Kf.f est r4el et A est bien d6fini. ~uitte ~ changer
K en ,K- on peut supposer > A .O Soit alors f une suite dans L2(G) telle que
n
lnfll : I I et Kfn.f tend vers A. ~itte i~ remplacer f par une sous-suite, f
n n n
converge faiblement vers f (*), et, en vertu du leme (1.3), Kf converge vers Kf
n
(.) e~ ~p ~& ,~, ~,~,~a~.~ a,~&..,~ ~. ,,,~ .-.~,~,,,a~,~ e,~ ~ ,~ s~ L~,)
4
dans L2(G). Com~e, quel que soit n,
f.fKI I~ ~ IK%.%- I~ + IKff -Kf.fnl ÷ IKff n - fn Kfn" I
on en d4duit que Kf.f = .~ Du fair que f converge vers f tne~elbi~f te t1%11 = 1,
n
on sait que ~IlflI .I D'autre part, par d4finition de ,A
llfll --2 ll~tI'l'~ " ~"
Donc llfll = .] Si de plus on d6montre que Kf.g = 0 lorsque f.g : O, il en d4coulera
que Kf = .fA Soit donc g tel que f.g = 0 et llgll = ,I et soit 0 = (cos h O)f +
(sin @)g. emmoC llh@ll = 1, la fonetion [email protected]@, qui est 4gale ~ A au point e = O,
y admet un maximum. Sa d4rivde en ,O 4gale ~ Kf.g + Kg.f, est donc nulle. C'est
dire, puisque Kg.f = Kf.g, que ~e(Kf.g) = 0. Si l'on prend pour he maintenant la
fonction (cos @)f + i(sin 0)g, on voit de mSme que ~m(Kf.g) = O.
Lemme I( .5). So! t W un sous-espace de L2(G) invariant sous l'action de R. II
existe un sous-espace V C W de dimension fin!e , invariant sous l'actiodne R, %%_e
dont tousles 416ments sent des fonctions continues.
Montrons tout d'abord qu'il existe un op6rateur de Hilbert-Schmidt autoadjoint non
nul, K, tel que l'image par K de L2(G) soit contenue dans W : 6tant donn4 g ~ 0
strad W, posons k(x) = [ g(wx)g-~dw, Kf(x) = I'k(y-'x)f(y)dy. On v6rifie ais6ment
Js S
Puisque k est la convolution de g~W et de la fonction g(w-1), d'apr~s le lemme }9.](
k appartient ~ W. Utilisant de nouveau ce lemme~ Kf = k,f appartient ~ W quel
que soit f6L2(G).
L'op6rateur K 4rant ainsi choisi, il poss~de~ d'apr~s le lemme (].4), une valeur
propre A ~ 0 et un sous-espace propre V relatif ~ lo Montrons que V est de
dimension finie • sinon il existerait dans V une suite f de fonctions deux ~ deux
n
orthogonales de norme .I Une telle suite tend faiblement vers 0 puisque~ quel que
sol% ,f ~ I%.f12~ llfll 2. ])'apr~s le lemme (].3), K% tendrait vers 0 dans
L2(G) : or llKfnH = Al]%lt = ~.
Soit fEV : KR = f R Kf = IR of C'est dire que R f appartien% Vp SOUS--espa-
Y Y Y Y
ce propre de K relatif ~ A. D'autre part :
r(~) I Kf(x)=~Jk(y-lx)f(y)dy.
=
La fonction f appartien% ~ W comme image par K de {, et est continue co~e
produit de convolution de deux fonctions de L2(G). Ceci %ermine la d4monstration du
lemme (1.5).
A tout sous-espace V de +)G(2L - invariant sous l'action de R, on peut faire
correspondre la repr4sentation V R de G sur V obtenue par restriction, pour chaque
y, de R au sous-espace V. On d6duit immddiatement du lemme (1.5) le corollaire
Y
suivant :
Corollaire (1.6). Si la repr6sentation v R est irr4ductible, e~_l sous-espace V
es% de dimension finie e% form6 de fonctions continues.
Soit ~V le sous-espace de L2(G) engendr4 pax les fonctions qui s'4crivent sous
la forme x ~fVxRog~-~ oh f et g appartiennent ~ V. Ce% espace s'appelle l'espace
semSny.lop~___d trigonom4triques ~4n4ralis4s associ4s ~ la repr4sentation R v.
Jde
Lemme (J.7). Soit V unsous-espace %,el que R vest irr4ductible, {el, ...,
v id
eK___nu base orthonormale de V : alors ei'Rxej i,j=l forme une base orthonormale de
a .
~V
Posons .)x(ji% = e.z.RL .x 3 Ii est ~vident que les t.. engendrent ~. S'4tant
3x
fix4 i e% ~j consid4rons l'application B de V dans lui-m~me d4finie par :
Be, = .e
3 x
Be = 0 si m ~ .j
m
L'int4grale P = fG BVR RLldy' dont on v4rifie ais4ment qu'elle est normalement
Y y
v
convergente, d4finit une application de V dans lui-mSme telle que R P = PR :
x x