Analyse. Fonctions de plusieurs variables et géométrie analytique : Cours et exercices corrigés. Licence 2 Mathématiques

434 Pages·2011·22.17 MB·French

by  Bruno Aebischer

Analyse
Fonctions
de plusieurs variables
géométrie analytique
&
• Cours complet
• f
de 1 OO exercices
• Tous les corrigés détaillés
'luibert

Bruno Aebischer
Analyse
Fonctions
de plusieurs variables
& géométrie analytique
Cours & exercices corrigés
LICENCE 2
MATHÉMATIQUES
Du même auteur chez le même éditeur
Introduction à l'analyse. Cours et exercices corrigés. Licence 1, 288 pages.
Géométrie. Géométrie affine, géométrie euclidienne & introduction à la géométrie projective.
Cours et exercices corrigés. Licence 3, 288 pages environ.
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En couverture: Escalier en double spirale de Giuseppe Momo, Vatican.
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Composition et mise en page de l'auteur
Couverture: Linda Skoropad/Prescricom
ISBN 978-2-311-00275-1
Registre de l'éditeur: 581
La foi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, d'une part, que les « copies ou reproductions
strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» et, d'autre part, que les analyses et les
courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, «toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le
consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite» (alinéa 7n de l'article 40). Cette représentation ou
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© Vuibert - août 2011 - 5, allée de la 2• DB 75015 Paris
À Anne-Marie

Table des matières
Avant-propos vii
1 Notions de topologie dans IR.n 1
1.1 Introduction générale . 1
1.2 Qu'est-ce que IR.n? . . . . . . 2
1.3 Normes dans IR.n ...... . 3
1.4 Ouverts, fermés, bornés, voisinages dans IR.n 10
1.5 Suites de IR.n . . . . . . . . 17
1.6 Vocabulaire de topologie . 23
1. 7 Exercices . . . . . . . . . 25
2 Fonctions vectorielles. Courbes paramétrées. 29
2.1 Introduction .................. . 29
2.2 Différents points de vue ........... . 29
2.3 Limite, continuité, dérivabilité des fonctions vectorielles 31
2.4 Étude des courbes paramétrées du plan 35
2.5 Étude des points stationnaires . 54
2.6 Exercices ...... . 60
3 Fonctions de JR.P vers IR.n 63
3.1 Introduction . . . . . . 63
3.2 Limites des fonctions de JR.P vers IR.n 63
3.3 Limites et fonctions coordonnées . . 69
3.4 Étude pratique des limites de fonctions réelles de plusieurs variables 76
3.5 Dérivation partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6 Extrema des fonctions de plusieurs variables . . . . . 109
3. 7 Différentiabilité d'une fonction de plusieurs variables 117
3.8 Différentiation des fonctions de JR.P vers IR.n 132
3.9 Opérateurs différentiels 148
3.10 Exercices .................. . 156
VI TABLE DES MATIÈRES
4 Intégrale curviligne. Longueur d'une courbe 163
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . 163
4.2 Intégrale d'une fonction vectorielle 165
4.3 Arcs paramétrés orientés . . . . . . 168
4.4 Intégrale curviligne . . . . . . . . . 17 6
4.5 Propriétés de l'intégrale curviligne 180
4.6 Étude d'exemples . . . . . . . . . . 185
4. 7 Utilisation des intégrales curvilignes pour des calculs d'aires 190
4.8 Quelques propriétés métriques des arcs . 195
4.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5 Calculs d'intégrales doubles, triples et de surface 211
5.1 Introduction . . . . 211
5.2 Intégrale double . . . . 216
5.3 Intégrales triples . . . 230
5.4 Intégrales de surface . 236
5.5 Exercices . . . . . . . 257
Indications pour la résolution des exercices 263
Solutions des exercices 291
1. Solutions des exercices sur la topologie dans !Rn ........... 291
2. Solutions des exercices sur fonctions vectorielles et courbes para-
métrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
3. Solutions des exercices sur les fonctions de JRP vers !Rn . . . . . . . 330
4. Solutions des exercices sur l'intégrale curviligne . . . . . . . . . . . 383
5. Solutions des exercices sur intégrales doubles, triples et de surface . 397
Avant-propos
C
ET OUVRAGE est destiné à tous les étudiants qui peuvent avoir besoin d'étudier
les fonctions de plusieurs variables, les courbes paramétrées, les intégrales
doubles ou triples, curvilignes ou de surface, et les opérateurs différentiels.
Bien sûr, les étudiants en deuxième année de licence de mathématiques sont les
premiers concernés, mais il ne fait aucun doute qu'un étudiant scientifique curieux
d'avoir des explications rigoureuses sur les outils qu'il est obligé de manipuler
quotidiennement, pourra lui aussi être intéressé par le contenu de ce manuel.
Les candidats aux concours de l'enseignement (CAPES et Agrégation de mathé
matiques), quant à eux, doivent avoir vu et compris les notions développées dans
cet ouvrage, qui leur sera donc d'un grand secours.
La particularité de cet ouvrage est qu'il essaie de ne jamais faire de raccourci et
que tous les raisonnements sont parfaitement détaillés. Il apparaît ainsi comme un
outil idéal pour tout étudiant isolé qui voudrait acquérir, comprendre et dominer
par lui-même toutes les notions abordées.
Dans ce manuel, on trouvera d'abord 5 chapitres de cours très détaillés, rédigés
dans un style clair et accessible :
1. un chapitre sur l'introduction à la topologie de IR.n dans lequel sont présentés
tout le vocabulaire de topologie utile dans cet ouvrage ainsi que l'étude
générale de la topologie ;
2. un chapitre sur les études des courbes paramétrées (ou fonctions vectorielles)
qui expose de manière exhaustive toutes les particularités classiques de ce
type de courbes ;
3. un gros chapitre sur les fonctions de plusieurs variables (de JR.P vers IR.n)
qui constitue le cœur de cet ouvrage et dans lequel sont introduites les
notions de continuité, de limites, de dérivées partielles, de différentiabilité
pour toutes ces fonctions et étudiés les opérateurs différentiels classiques ;
4. un chapitre sur les intégrales curvilignes qui propose une introduction
rigoureuse de la notion d'arc paramétré, avant d'étudier différents aspects
possibles de l'intégration sur un arc paramétré, de l'intégration d'une forme
différentielle ou d'un champ de vecteurs, mais aussi l'intégration d'une
VIII AVANT-PROPOS
fonction scalaire, avec le calcul de la longueur d'une courbe. On y montre
également comment utiliser l'intégrale curviligne pour calculer des aires ;
5. un dernier chapitre traite des différents aspects des intégrales multiples,
dans lequel toutes les démonstrations ne sont pas faites. Cependant, à partir
de quelques propriétés admises, tous les résultats utiles pour calculer les
intégrales doubles et triples, et faire des calculs d'aires ou de volumes, sont
prouvés. Il s'agit ensuite de s'intéresser aux intégrales de surface et, après
une introduction rapide de la notion de nappe paramétrée (introduction
aux variétés différentiables), les calculs de flux d'un champ de vecteurs,
d'aire d'une nappe, et d'intégrale d'une fonction scalaire sur une nappe sont
expliqués. Enfin, le chapitre se termine sur les grands théorèmes liant les
intégrales multiples entre elles : Green-Riemann, Ampère-Stokes, Ostrograd
ski, avec pour chacun de ces théorèmes une démonstration élémentaire et
convaincante.
À la fin de chaque chapitre, est proposée une liste d'exercices dont la difficulté est
très progressive.
Pour chaque exercice, on trouve d'abord des «indications » pour les résolutions,
puis un corrigé détaillé, regroupés dans deux chapitres distincts, situés en fin
d'ouvrage. Le lecteur est invité à commencer par essayer de résoudre seul les
exercices proposés, et à ne consulter les indications que s'il ne voit pas comment
commencer. Enfin, il pourra vérifier sa solution en la comparant avec celle de
l'ouvrage, qui est toujours très détaillée et dont la rédaction se veut pouvoir servir
de modèle.
C'est à partir d'un cours par correspondance qui a fait la preuve de son efficacité
avec des générations d'étudiants, que ce livre a été réalisé.
Nous souhaitons une bonne réussite à tous nos lecteurs.