Analyse fonctionnelle appliquée aux équations aux dérivées partielles

234 Pages·1999·6.918 MB·French

by  Rakotoson, Jean-Émile, Rakotoson, Jean-Michel

Jean-Michel
Rakotoson
Analyse fonctionnelle
appliquée
aux équations
aux dérivées partielles
puf
Analyse fonctionnelle appliquée
aux équations aux dérivées partielles
COLLECTION DIRIGÉE PAR PAUL DEHEUVELS
Analyse fonctionnelle appliquée
aux équations
aux dérivées partielles
JEAN-EMILE RAKOTOSON
Maître de conférences à ^Université de Fianarantsoa
JEAN-MICHEL RAKOTOSON
Professeur à VUniversité de Poitiers
PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE
ISBN 2 13 049838 8
ISSN 0246-3822
Dépôt légiil — édition ; 1999, avril
© Presses Universitaires de France, 1999
108, boulevard Saint-Germain, 75006 Paris
Avant-propos
Ce livre est en partie issu des cours et des travaux dirigés que nous
avons professés dans nos établissements respectifs. Nous avons mis surtout
l’accent sur le coté pédagogique en essayant d’utiliser des outils simples
mais très efficaces comme le procédé diagonal de Cantor ou la méthode
de Galerkin. Ainsi, une grande partie de l’ouvrage s’appuie sur l’usage
des suites et sur le fait que les objets utilisés ont la propriété dite de
séparabilité.
Le cours aussi bien que les exercices proposés et leurs solutions sont
détaillés afin de faciliter la compréhension d’un maximum de lecteurs.
Néanmoins, beaucoup d’exercices sont proposés le long du cours afin de
compléter ce dernier.
Pour inciter le lecteur à plus d’ouverture vers d’autres disciplines,
nous avons cru bon mettre quelques motivations relevant de la physique
ou de la mécanique mais aussi quelques méthodes numériques, ceci aussi
bien dans le cours que dans les exercices.
L’ouvrage tient compte en partie des programmes de l’agrégation, de
certaines maîtrises et certaines filières de D.E.A.
Nous tenons à remercier Mme Bougant G., Mr Boulanouar M. pour
l’aide qu’ils ont apportée pour la réalisation de ce livre ainsi que Mme
Rigaudeau et Mr Sicaud pour le travail d’imprimerie. Nous remercions
également le directeur de la collection mathématiques, P. Deheuvels, et
les éditions P.U.F pour avoir accepté d’éditer ce livre. Enfin, nous tenons
à remercier particulièrement le professeur A. Alvino de Naples de nous
avoir donné une copie du cours du Prof. G. Miranda.

Table des matières
CHAPITRE 1
Espaces de Hilbert
1.1 Produit scalaire. Propriétés. Espaces de Hilbert..................... 13
1.1.1 Exemples.......................................................................... 13
1.1.2 Propriétés. Définition d’un espace de Hilbert.............. 14
1.2 Théorème de la projection orthogonalité et espaces de Hilbert
séparables........................... 14
1.2.1 Définition d’un convexe et Théorème de la projection 15
1.2.2 Définition de l’orthogonalité, procédé de l’orthogona­
lisation de Schmidt, Inégalité de Bessel........................ 16
1.2.3 Espaces de Hilbert séparables........................................ 19
1.3 Dual d’un espace de Hilbert et Théorème de Riesz.............. 23
1.3.1 Définition de JT*, H' et propriétés............................... 23
1.3.2 Théorème de représentation de Riesz.......................... 24
1.4 Topologie faible........................................................................ 25
1.4.1 Non compacité de la boule unité en dimension infinie 25
1.4.2 Définition d’une P-topologie et la topologie faible---- 26
CHAPITRE 2
Quelques espaces classiques
2.1 Introduction : Notations - Espaces .................................... 33
2.2 Espaces de Lebesgue................................................................. 35
2.2.1 L’espace (Q) et quelques théorèmes fondamentaux 36
2.2.2 Les espaces Lf{Q) l^/?< oo....................................... 39
2.2.3 Convolution dans ..................................................... 44
2.2.4 Notion de transformées de Fourier dans I? (R^)....... 50
8 Analyse fonctionnelle appliquée aux équations aux dérivées partielles
CHAPITRES
Notions de distributions
3.1 Définition de Tespace V' et ses sous ensembles remarquables 54
3.2 Propriétés : produit multiplicatif dérivation et primitives---- 56
CHAPITRE 4
Espaces de Sobolev en dimension 1
4.1 Motivation-Définition-Propriétés immédiates........................ 59
4.2 Densité des fonctions régulières dans 62
4.3 Inégalités de Poincaré-Sobolev................................................ 71
CHAPITRES
Résolution des problèmes aux limites par une méthode
variationnelle : le théorème de Lax-Milgram
5.1 Théorème de Lax-Milgram....................................................... 74
5.2 Quelques exemples de problèmes aux limites linéaires......... 77
CHAPITRE 6
Introduction à la méthode des éléments finis
6.1 Définition générale - Cadre abstrait....................................... 85
6.2 Un exemple d’application : méthode d’éléments finis PI---- 87
CHAPITRE?
Compacité et éléments de théorie spectrale
7.1 Définition théorème d’Ascoli - Théorème de Frechet Kolmo-
gorov......................................................................................... 94
7.2 Eléments de Théorie spectrale................................................ 101
Table des matières 9
CHAPITRES
Espaces de Sobolev en dimension N
8.1 Notations - Définition - Propriétés......................................... 105
8.2 Densité des fonctions régulières dans 107
8.2.1 Quelques lemmes préliminaires.................................... 107
8.2.2 Densité des fonctions régulières et ses conséquences.. 110
8.3 Trace des fonctions de sur le bord dQ. et formule de
Gauss-Green et Stokes.............................................................. 122
8.4 Inclusion de Sobolev................................................................. 129
8.5 Quelques exemples d’applications......................................... 135
CHAPITRE 9
Équations d’évolution du type parabolique
9.1 Prototype ou équation modèle : équation de la chaleur....... 145
9.2 Espaces fonctionnels : fonctions à valeurs vectorielles et
intégrales de Bochner.............................................................. 148
9.3 Le théorème de J.L. Lions pour les équations paraboliques
linéaires...................................................................................... 161
9.4 Quelques exemples d’applications......................................... 172
CHAPITRE 10
Exercices
10.1 Exercices.................................................................................... 181
10.2 Problème d’agrégation............................................................ 194
CHAPITRE 11
Indications des solutions ou solutions
11.1 Corrigé des exercices.............................................................. 205
ANNEXE A
Références bibliographiques................................................... 231