Analyse de séquences ADN par la transformée en ondelettes

281 Pages·2010·8.67 MB·French

L G
L G
Universit´e de Li`ege
Facult´e des sciences
Analyse de s´equences ADN par la
transform´ee en ondelettes :
extraction d’informations structurelles,
dynamiques et fonctionnelles
Samuel Nicolay
Dissertation originale pr´esent´ee en vue
de l’obtention du grade acad´emique de
docteur en sciences
Avril 2006
(( Il faut imaginer Sisyphe heureux ))
A. Camus, Le mythe de Sisyphe.
Remerciements
Je tiens `a remercier Alain Arneodo pour m’avoir encadr´e durant ces ann´ees. Plus
que disponible, tu as ´et´e omnipr´esent. Ce manuscrit est aussi une fac¸on de t’exprimer ma
gratitude. Ton ombre m’accompagnera encore longtemps.
Sans le soutien inconditionnel de Franc¸oise Bastin, ce travail n’aurait pu aboutir.
Je sais que m’appuyer n’a pas toujours´et´e chose facile. J’esp`ere pouvoir te rendre un jour
la pareille.
Les r´esultats obtenus sont le fruit d’une collaboration ´etroite entre scientifiques de
tous bords, et dieu sait qu’il n’est pas facile de collaborer avec Alain! Merci `a Claude
Thermes et son ´equipe d’avoir relev´e le d´efi.
Merci aussi `a Ste´phane Jaffard pour avoir plus d’une fois ´eclair´e ma lanterne et
d’avoir accept´e de faire partie des membres de mon jury.
Je tiens `a exprimer ma gratitude envers messieurs Jean-Pierre Antoine, Paul
Ge´rard, Alex Grossmann et Jean Schmets pour me faire l’honneur de prendre part
`a mon jury.
Un grand merci `a tous les (ex-)membres de l’´equipe au sens large! Vous ˆetes trop
nombreux `a ´enum´erer (et puis j’en oublierais la moiti´e et en plus je suis press´e par le
temps).
Enfin,ungrandmerci`alafamillepoursonsoutien,enparticulier`amafemme,Clara.

Table des mati`eres
Notations iii
Avant-propos vii
I Fondements math´ematiques 1
1 Fractales et notions de dimension 3
1.1 Quelques d´efinitions de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dimension topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Mesure de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Dimension de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Dimension de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Ensembles auto-similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
i
Table des mati`eres
Ensembles invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Auto-similarit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Formalisme multifractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Spectre multifractal de grande d´eviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Calcul du spectre multifractal de grande d´eviation . . . . . . . . . . . . . 26
Spectre multifractal de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Formalisme multifractal pour les mesures auto-similaires . . . . . . . . . . 30
2 Analyse et caract´erisation de signaux irr´eguliers par la transform´ee en
ondelettes continue 35
2.1 La transform´ee en ondelettes continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Noyau reproduisant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
La transform´ee en ondelettes en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Caract´eristiques des ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Ondelettes adapt´ees `a la d´etection de singularit´es . . . . . . . . . . . . . . 41
Lignes de maxima du module de la transform´ee en ondelettes et d´eriv´ees
de la fonction gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Concernant l’´etude fr´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Exposants de H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Espaces de H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
R´egularit´e h¨olderienne ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Singularit´es oscillantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 E´tude de la r´egularit´e d’une fonction par la transform´ee en ondelettes . . 63
ii
Table des mati`eres
Remarques concernant la mesure de la r´egularit´e
d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
D´etection de singularit´es isol´ees dans un signal . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5 Formalisme multifractal pour les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Spectre de H¨older et m´ethodes d’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Fonctions auto-similaires et m´ethode des maxima du module de la trans-
form´ee en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Remarques sur les m´ethodes d’estimation du spectre de H¨older . . . . . . 77
Param´etrage du spectre de H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6 Coefficients en ondelettes dominants et formalisme multifractal associ´e . . 84
Analyse multir´esolution de l’espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Le formalisme multifractal associ´e aux coefficients dominants . . . . . . . 90
Apport du formalisme multifractal bas´e sur
les coefficients dominants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 Marches al´eatoires browniennes 93
3.1 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Processus stochastiques auto-similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Le mouvement brownien fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Du mouvement brownien au mouvement brownien fractionnaire . . . . . . 98
Corr´elations `a longue port´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
R´ealisation num´erique d’un mouvement brownien fractionnaire . . . . . . 103
3.3 Marchesbinairesconstruites`apartirdemouvementsbrowniensfractionnaires105
iii
Table des mati`eres
Marches binaires discr`etes de moyenne nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Marches binaires discr`etes de moyenne non nulle . . . . . . . . . . . . . . 110
II L’ADN 115
1 Description de l’ADN: structure et fonctions 117
1.1 Composition de l’ADN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Composition chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
L’ADN forme une double h´elice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Les chromosomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.2 Le m´ecanisme de r´eplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Activit´es enzymatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.3 Le m´ecanisme de transcription . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Rˆole de la transcription . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Description du m´ecanisme de la transcription . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1.4 L’empaquetage de l’ADN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Organisation de la chromatine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Les ´etapes de l’empaquetage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2 Codages mono- ou multi- nucl´eotidiques de l’ADN 131
2.1 Construction de signaux ADN par codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Codages et marches ADN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Exemples de codage nucl´eotidique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
iv
Table des mati`eres
Exemples de signaux ADN obtenus par divers codages . . . . . . . . . . . 140
E´tude fr´equentielle des signaux ADN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.2 Existence de corr´elations `a longue port´ee au sein des s´equences ADN . . . 147
Existence de corr´elations `a longue port´ee dans les marches ADN . . . . . 147
Un mod`ele pour l’ADN reposant sur le mouvement brownien fractionnaire 150
3 Analyse multifractale du biais de composition 157
3.1 Le biais de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Les mutations du mat´eriel g´en´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
D´efinition du biais de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
S´equences r´ep´et´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.2 Analyse multifractale du biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Comportement statistique du signal biais dans le g´enome de l’homme . . 162
Mise en ´evidence de la nature bifractale du signal biais aux petites ´echelles 163
E´tude du signal biais aux grandes ´echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.3 Dissym´etrie entre sauts ascendants et sauts descendants . . . . . . . . . . 171
4 Mise en ´evidence d’un biais de transcription et de r´eplication 177
4.1 E´tude du biais de composition chez l’homme li´e `a la transcription . . . . . 178
Influence de la transcription sur le signal biais . . . . . . . . . . . . . . . . 178
E´valuation des taux de substitution pouvant engendrer un biais transcrip-
tionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Profils caract´eristiques induits par les m´ecanismes de transcription . . . . 184
4.2 E´tude du biais de composition chez l’homme li´e `a la r´eplication . . . . . . 186
v
Table des mati`eres
Biais de r´eplication chez les procaryotes: le mod`ele r´eplicon . . . . . . . . 187
E´vidences de l’existence d’un biais duˆ `a la r´eplication. . . . . . . . . . . . 188
Conservation du biais de r´eplication chez les mammif`eres . . . . . . . . . 191
Mise en ´evidence d’un profil caract´eristique dans le signal biais . . . . . . 193
E´tude statistique des profils de biais duˆs `a la r´eplication . . . . . . . . . . 197
5 Mod´elisation de la r´eplication chez les mammif`eres 205
5.1 Un mod`ele de r´eplication chez les mammif`eres . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Mod´elisation de la r´eplication chez les mammif`eres . . . . . . . . . . . . . 206
Discussion du mod`ele de r´eplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.2 Nouvelle m´ethodologie multi-´echelle de pr´ediction des origines de r´eplication209
D´etection de profils lin´eairement d´ecroissants dans un signal bruit´e . . . . 210
Application test sur des profils synth´etiques en forme de toit d’usine bruit´e 215
D´etections des origines de r´eplication dans le g´enome humain . . . . . . . 219
A La bijection de Cantor et la courbe de Peano 223
A.1 La bijection de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
A.2 La courbe de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
B R´egression lin´eaire par la m´ethode de la m´ediane 231
vi