analiz ııı

127 Pages·2011·1.04 MB·Turkish

ANALİZ III
Mert Çağlar
Bu notlar
Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES)
lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için:
http://udes.iku.edu.tr
(cid:13)CC (cid:13)BY: Mert Çağlar (cid:13)\$ (cid:13)C
Matematik-Bilgisayar Bölümü
İstanbul Kültür Üniversitesi
Bakırköy  İstanbul
http://web.iku.edu.tr/~mcaglar/
[email protected]
ey can hümâsı, bize bu ruzigârdan
bir sayfa okur musun?
−HİLMİYAVUZ
Bedreddin Üzerine Şiirler

İçindekiler
Önsöz vii
 Öklidyen uzaylar 
. Rn uzayının cebirsel yapısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Rn içinde açık ve kapalı kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Rn içinde diziler ve kompakt kümeler. . . . . . . . . . . . . . . . 
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Rn içinde konveks ve bağlantılı kümeler . . . . . . . . . . . . . . 
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Rn üzerinde tanımlı fonksiyonların limitleri . . . . . . . . . . . . 
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Rn üzerinde tanımlı fonksiyonların sürekliliği . . . . . . . . . . . 
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 Rn üzerinde diferansiyellenebilme 
. Kısmî türevler ve integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Diferansiyellenebilme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Ortalama Değer Teoremi ve Taylor Formülü . . . . . . . . . . . . 
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Ters Fonksiyon Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Ekstremum değerler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Kaynakça 
Dizin 
v

Önsöz
İstanbul Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi’nin - Güz yarıyı-
lındabaşlattığıÖrgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES)projesikap-
samında, örgün öğretimde kullanılan ders notlarının internet ortamına aktarıl-
ması amaçlanmaktadır. Özellikle temel bilimler alanında nitelikli Türkçe ders
notusıkıntısıçekilenTürkiye’de,UDESprojesiyle,sadeceİstanbulKültürÜniver-
sitesi öğrencilerine değil, Türkiye’deki tüm üniversitelerin lisans öğrencilerine
ulaşılma hedefi güdülmektedir. - Güz yarıyılından bu yana İstanbul
Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü’nde
vermekteolduğumAnalizIII(MC)dersininnotlarındanoluşanbuderleme,
temelolarak,WilliamR.Wade’inAnIntroductiontoAnalysis []kitabınınilgili
bölümlerikullanılarakoluşturulmuştur.Derskitabıolarakkullanılanbukaynağa
ek olarak, kimi yerlerde, gerekli olduklarını düşündüğüm bâzı açıklama ve ek-
lemeleryapılmıştır.Öklidyenuzaylarınyapısıvebuuzaylarüzerindetanımlıçok-
değişkenli fonksiyonların limit, süreklilik ve diferansiyellenebilme özelliklerinin
incelendiği bu ders notları düzenlenirken, tek-değişkenli analizin temel kavram-
larının ve sonuçlarının bilindiği varsayımıyla hareket edilmiştir. Okuyucunun
ilgisini çok-değişkenli hesabın temel kavramlarına yönlendirebildiği oranda, bu
notlar amacına ulaşmış olacaktır.
Dersin uygulamalarını yürüten ve notları dikkâtle okuyarak kimi yanlışları
düzelten Uğur Gönüllü’ye teşekkür ederim. Yine de gözden kaçan bâzı hatâlar
varsa, sorumluluk tamâmen bana aittir.
İstanbul, Ocak  Mert Çağlar
vii

 Öklidyen uzaylar
Tekgerçel-değişkenlifonksiyonlar,gerekteoridegerekseuygulamadakarşılaşılan
birçokprobleminformüleedilebilmesindeyetersizkalırlar;pekçokproblem,bir-
denfazladeğişkeninkontroledilmesinigerektirir.Bundandolayı,değişkensayısı
birden çok olan fonksiyonları analiz edebilmek için gerekli alt-yapıya ihtiyaç
vardır.
Her n∈N için
Rn :={(x ,x ,...,x )|j =1,2,...,n için x ∈R}
1 2 n j
olsun. Rn kümesinin x:=(x ,x ,...,x ) elemanları nokta ya da vektör veya
1 2 n
sıralı n’li olarak,herx sayısıisexvektörününj’incikoordinatıyadabileşeni
j
olarak adlandırılır. n = 1 olduğunda elde edilen R1 := R kümesinin her ele-
manına bir skaler denir.
. Rn uzayının cebirsel yapısı
Tek-değişkenli hesabın analizindekine benzer biçimde, ilk olarak Rn kümesinin
cebirsel yapısını inceleyerek başlayacağız.
Tanım ... x = (x ,...,x ) ve y = (y ,...,y ), Rn içinde vektörler ve
1 n 1 n
α∈R bir skaler olsun.
(i) Her j = 1,...,n için x = y ise, yani bileşenleri eşitse, x ve y vektörleri
j j
eşit olarak adlandırılır.
(ii) Tümbileşenlerisıfırolanvektöresıfırvektörü denirve0olarakgösterilir.
(iii) Herj =1,...,niçin,Rn içinde,j’incikoordinatı1diğerleri0olane vek-
j
törlerinden müteşekkil {e ,...,e } ailesine Rn kümesinin doğal tabanı
1 n
denir.
(iv) x ve y vektörlerinin toplamı,
x+y:=(x +y ,...,x +y )
1 1 n n
olarak tanımlanan vektördür.

  Öklidyen uzaylar
(v) x ve y vektörlerinin farkı,
x−y:=(x −y ,...,x −y )
1 1 n n
olarak tanımlanan vektördür.
(vi) α skaleriyle x vektörünün çarpımı,
αx:=(αx ,...,αx )
1 n
vektörüdür.
(vii) x ve y vektörlerinin Öklidyen/skaler/iç çarpımı,
x·y:=x y +···+x y
1 1 n n
olarak tanımlanan skalerdir.
(viii) x·y = 0 koşulunu sağlayan sıfırdan farklı x ve y vektörleri ortogonal
olarak adlandırılır.
x = (x ,...,x ) ∈ Rn olsun. Tanımdan dolayı, x = n x e gerçeklenir;
1 n j=1 j j
diğer taraftan, i (cid:54)= j olduğunda e ·e = 0 olur. Dolayısıyla, Rn içindeki her
i j
vektör, ortogonal elemanlardan oluşan doğal taban vâsıtasıyla tek türlü ifade
P
edilebilir.
Üzerine,Tanım..’in(i)-(vi)özellikleriyleverilentoplamaveskalerleçarpma
işlemi,veTanım..(vii)ileverilenÖklidyençarpımkonulanbirRnkümesibir
Öklidyen uzay olarakadlandırılır.nsabitlendiğinde,Rn kümesinen-boyutlu
Öklidyen uzay denir.
Teorem ... x,y,z ∈ Rn ve α,β ∈ R olsun. Bu durumda; α0 = 0, 0x = 0,
1x = x, α(βx) = β(αx) = (αβ)x, α(x·y) = (αx)·y = x·(αy), α(x+y) =
αx+αy, 0+x=x, x−x=0, 0·x=0, x+(y+z)=(x+y)+z, x+y=y+x,
x·y=y·x, ve x·(y+z)=x·y+x·z eşitlikleri gerçeklenir.
Kanıt. Tanımlarınvegerçelsayılarınkarşılıkgelenözelliklerinindoğrudansonuç-
larıdır.
Tanım ... x:=(x ,...,x ),y∈Rn olsun.
1 n
(i) x vektörünün sup-normu,
(cid:107)x(cid:107) :=max{|x |,...,|x |}
∞ 1 n
skaleridir.