Table Of ContentANÁLISIS MATEMÁTICO I
Cálculo
Diferencial
♦ La Derivada
♦ Curvas Planas, Ecuaciones Paramétricas
♦ Derivadas Parciales
♦ Derivación Implícita
♦ Aplicaciones de la Derivada
♦ Diferenciales
♦ La Derivada de la Función Inversa
♦ Polinomio de Taylor
MOISÉS LÁZARO C.
Autor : Moisés Lázaro Carrión
Estudios : Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos Cuantitativos de
la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas Puras P.U.C.P.).
Experiencia Docente:
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Ricardo Palma
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Universidad Nacional de Ancash - Santiago Antúnez de Mayolo
Universidad Nacional del Callao
Universidad Particular San Martín de Porres
La presentación y disposición en conjunto de:
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
CÁLCULO DIFERENCIAL
Autor: Moisés Lázaro Carrión
Son propiedad de: Dis. Imp. Edit. Lib. MOSHERA S.R.L.
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autoriza
ción escrita de la editorial.
Decreto Legislativo.................................................................................. : 822
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°... : 2014-02916
International Standard Book Number ISBN.................................... : 978-9972-813-81-8
Derechos reservados ©
Cuarta edición: Marzo 2014
Tiraje: 500 ejemplares
Obra editada, impresa y distribuida por: PEDIDOS AL POR MAYOR
Distribuidora, Imprenta, Editorial, Librería Distribuidora - Imprenta - Editorial - Librería
MOSHERA S.R.L. MOSHERA S.R.L.
RUC: 20101220584 Jr. Tacna 2975 - San Martín de Porres
Jr. Tacna 2975 - San Martín de Porres Telefax: 567-9299
Lima - Perú / Telefax: 567-9299 e-mail: [email protected]
Impreso en el Perú - Printed ¡n Perú
Dedico este libro a lodos los
trabajodores de la ¿SdiforiaI
AAoshera S.R.jL. por su sa
crificada labor en hacer rea
lidad la presente obra.
IV
PRÓLOGO
Con el título de CALCULO DIFERENCIAL, que es parte de todo curso de Aná
lisis Matemático I, se presenta al lector que sigue las carreras de: Ciencias,
Ingeniería, Economía, Administración y Contabilidad el presente Libro que
contiene ocho capítulos bien definidos que son:
Capítulo 1: La derivada de una función y los teoremas relativos al tema.
Capítulo 2: Representación paramétrica de las curvas, su gráfico y deri
vadas.
Capítulo 3: Derivadas parciales y sus aplicaciones a la economía.
Capítulo 4: Derivación implícita y sus aplicaciones.
Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada, los máximos y mínimos de una
función, problemas de aplicación, los puntos de inflexión y
gráfica de funciones.
Capítulo 6: La diferencial de una función, como aplicación lineal, apli
caciones de la razón de cambio a diversos problemas.
Capítulo 7: La derivada de la función inversa, su existencia y teoremas.
Capítulo 8: El polinomio de Taylor, su aplicación para aproximaciones a
funciones.
Cada uno de los capítulos están sustentados con sus respectivas defini
ciones y teoremas, para los cuales he tenido cuidado de respetar su riguro
sidad y formalidad para que el lector no caiga en error alguno.
El libro tiene la característica de ser: didáctico, práctico y riguroso. Se
han hecho diversos y variados ejemplos que ayudarán al estudiante a salir
de dudas y sobre todo reforzar su aprendizaje.
Sugiero al lector respetar los enunciados y definiciones tal como se dan,
una alteración de ello sólo llevará a situaciones incongruentes y ahondaría
las dudas.
Agradezco al economista Cesar Sandoval M. por su gentil colaboración
en el capítulo relativo a las aplicaciones a la Economía.
EE Auím .
VI
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1: LA DERIVADA
0 Introducción
0.1 Función Real de una Variable Real .................................................... 1
0.2 Puntos de Acumulación.......................................................................... 2
0.3 Límite de una Función............................................................................ 3
0.4 Funciones Continuas ............................................................................... 7
1 La Derivada
1.1 Derivada de una Función en un Punto ............................................. 9
1.2 Otra Forma de Definir la Derivada de f en a .................................. 12
1.3 La Función Derivada ............................................................................... 13
1.4 Derivadas Laterales ................................................................................. 13
1.5 Interpretación Geométrica de la Derivada ...................................... 14
1.6 Derivada de una Función en un Intervalo....................................... 15
2 Teoremas Sobre Derivadas ................................................................................. 16
3 Velocidad y Aceleración ...................................................................................... 26
4 Razón de Cambio y Análisis Marginal............................................................ 31
4.1 Coste Marginal .........................................¿................................................. 31
4.2 Razón Porcentual de Cambio ................................................................ 32
4.3 Ecuación de la demanda, Función Ingreso Total,
Función Ingreso Marginal, Función de Ganancia.......................... 33
4.4 La Función Ingreso Total....................................................................... 34
4.5 La Función Ganancia............................................................................... 36
5 Diferenciabilidad de una Función en un Punto.......................................... 39
5.1 Ejemplos........................................................................................................ 41
6 La Derivada de la Composición de dos Funciones....................................... 44
6.1 Problemas .................................................................................................... 47
7 Derivación por Medio de Fórmulas.................................................................. 58
7.1 Ejercicios Diversos .................................................................................... 87
7.2 Ejercicios Propuestos ............................................................................... 97
7.3 Problemas .................................................................................................... 99
vii
Capítulo 2: CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS
1 Introducción.............................................................................................................. 103
2 Parametrización, Ecuaciones Paramé tricas................................................. 104
3 Función Vectorial..................................................................................... 117
3.1 Imagen de una Función Vectorial.......................................................... 117
4 Definición de Curva Plana................................................................................... 118
4.1 Parametrización de una Curva.............................................................. 118
5 Camino o Trayectoria............................................................................................. 119
6 Curva Cerrada (lazo)............................................................................................. 120
7 Punto Múltiple......................................................................................................... 120
8 Curva Regular........................................................................................................... 122
9 Derivada Paramétrica........................................................................................... 127
10 Tangentes................................................................................................................... 128
11 Gráfica de una Curva en Coordenadas Paramétricas................................ 129
12 Importancia de los Caminos................................................................................ 150
Capítulo 3: DERIVADAS PARCIALES
1 Definición de una Función que Depende ded os Variables...................... 152
2 Derivada Parcial de f respecto a “x” y Respecto a “y” ............................. 152
3 Derivadas Parciales Aplicadas a la Microeconomía (Multiplicadores
de Lagrange) Demanda de Bienes de Consumo, Demanda de
factores de Producción........................................................................................ 154
Capítulo 4: DERIVACIÓN IMPLÍCITA
0 Introducción
1 Definición .................................................................................................................. 165
2 Derivación Implícita.............................................................................................. 165
2.1 Problemas ...................................................................................................... 166
2.2 Ejercicios Propuestos................................................................................ 185
3 Derivada Logarítmica Aplicando Propiedades y
Derivación Implícita............................................................................................ 188
4 Derivadas de Orden Superior............................................................................ 194
viii
