Análise dinâmica de vigas de Euler-Bernoulli e de Timoshenko com o método das diferenças finitas

67 Pages·2014·1.8 MB·Portuguese

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
EDUARDO HENRIQUE VIECILLI MARTINS DE MELLO
ANÁLISE DINÂMICA DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI E
DE TIMOSHENKO COM O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
CURITIBA
2014
EDUARDO HENRIQUE VIECILLI MARTINS DE MELLO
ANÁLISE DINÂMICA DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI E
DE TIMOSHENKO COM O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
Trabalho Final de Curso apresentado ao Curso de
Eng. Civil, Setor de Tecnologia da Universidade
Federal do Paraná, como requisito parcial à obten-
ção de título de Bacharel em Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Marcos Arndt
Coorientador: Prof. José Antonio
Marques Carrer
CURITIBA
2014
TERMO DE APROVAÇÃO
EDUARDO HENRIQUE VIECILLI MARTINS DE MELLO
ANÁLISE DINÂMICA DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI E
DE TIMOSHENKO COM O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
Trabalho Final de Curso aprovado pelo Curso de Eng. Civil, Setor de Tecnologia da Universidade
Federal do Paraná, como requisito parcial à obtenção de título de Bacharel em Engenharia Civil.
Orientador:
Prof. Marcos Arndt, D.Sc.
Universidade Federal do Paraná
Coorientador:
Prof. José Antonio Marques Carrer, D.Sc.
Universidade Federal do Paraná
Prof. Roberto Dalledone Machado, D.Eng.
Universidade Federal do Paraná
CURITIBA
02 de dezembro de 2014
AGRADECIMENTOS
Agradeço à minha mãe pelo apoio e carinho, não só durante a elaboração deste
trabalho, mas durante toda minha vida.
Agradeço ao prof. José Antonio Marques Carrer que desde 2010 dispendeu sua aten-
ção com minhas dúvidas, me orientou na iniciação científica a partir de 2011 e foi parte
fundamental neste trabalho. Também pela oportunidade de utilizar os métodos numéricos e
que em muitas vezes que estava preocupado me contagiou com sua paciência.
Agradeço ao Raphael Fernando Scuciato, que muito me ensinou sobre programação
e foi indispensável para a conclusão deste trabalho.
Agradeço ao prof. Marcos Arndt por aceitar ser meu orientador neste trabalho e ao
prof. Roberto Dalledone Machado, por aceitar o convite para partipar da banca de avaliação.
Agradeço a todos os amigos feitos ao longo do curso, que me auxiliaram com ideias
e discussões para escrever este texto.
Agradeço às amigas dos outros cursos, pelo grande incentivo e cobrança para a elabo-
ração deste trabalho e por terem proporcionando conversas relaxantes sobre os mais variados
temas.
RESUMO
Este trabalho apresenta um estudo relativo à análise dinâmica de vigas regidas pelas teorias
de Euler-Bernoulli e de Timoshenko. São considerados os quatro tipos mais comuns de vigas -
biapoiada, biengastada, engastada-apoiada e em balanço - sujeitos à ação de umcarregamento
uniformemente distribuído no espaço e atuando continuamente no tempo. É discutida a
utilização dos Métodos Numéricos para problemas de engenharia e, particularmente, o Método
das Diferenças Finitas. Este método é utilizado para a solução numérica dos problemas e
os algoritmos necessários para a implementação são apresentados. Para as vigas de Euler-
Bernoulli, as respostas numéricas são comparadas com as soluções analíticas; para as vigas de
Timoshenko, as respostas numéricas são comparadas com a analítica, disponível somente para
avigabiapoiada. Asrespostasrelativasàsduasteoriassãocomparadasentresi, possibilitando,
assim, verificar que tipo de diferença pode ocorrer entre elas. Conclui-se que há diferenças
tanto nas flechas como nas frequências, que crescem à medida que a altura da seção aumenta,
mantendo o vão da viga constante. Também conclui-se que o Método das Diferenças Finitas
apresenta bons resultados para as duas teorias.
Palavras-chave: Teoria de Euler-Bernoulli. Teoria de Timoshenko. Análise dinâmica de vigas.
Método das Diferenças Finitas.
ABSTRACT
This paper presents a study concerning the dynamic analysis of beams governed by Euler-
Bernoulli and Timoshenko theories. The four most common types of beams - pinned-pinned;
fixed-fixed; fixed-pinned and fixed-free - are considered, under a uniformly distributed dynamic
load in space, that acts continuously in time. The use of Numerical Methods in engineering
problems is discussed, particularly the Finite Difference Method. This method is used for
the numerical solution of both problems and the algorithms needed for the implementation
are developed. For Euler-Bernoulli beams, the numerical solutions are compared with the
analytical ones; for Timoshenko beams, the numerical results are compared with the analytical
ones, only available for pinned-pinned beams. The results from both theories are compared
with each other, allowing, therefore, to verify what differences can occur between them. One
can conclude that differences, not only on the deflection but also on the frequency, appear
and growth up with the increase of the section height for a fixed length of the beam. Also,
the Finite Difference Method can provide reliable results for both theories.
Keywords: Euler-Bernouli beam theory. Timoshenko beam theory. Dynamic analysis of
beams. Finite Difference Method.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – APOIO SIMPLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
FIGURA 2 – ARTICULAÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
FIGURA 3 – ENGASTE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
FIGURA 4 – TIPO DE VÍNCULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
FIGURA 5 – VIGA BIAPOIADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
FIGURA 6 – VIGA BIENGASTADA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
FIGURA 7 – VIGA ENGASTADA E APOIADA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
FIGURA 8 – VIGA EM BALANÇO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
FIGURA 9 – TRECHO DE VIGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
FIGURA 10 – ETAPAS ENVOLVIDAS NA UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS
NUMÉRICOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
FIGURA 11 – PONTOS FORA DO DOMÍNIO DO ESPAÇO NA VIZINHANÇA
DE i = 1 E DE i = n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
FIGURA 12 – VIGA BIAPOIADA DISCRETIZADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
FIGURA 13 – VIGA BIENGASTADA DISCRETIZADA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
FIGURA 14 – VIGA ENGASTADA-APOIADA DISCRETIZADA. . . . . . . . . . . . . . . . . 44
FIGURA 15 – VIGA ENGASTADA-LIVRE DISCRETIZADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
FIGURA 16 – DESLOCAMENTOS PARA OS 4 TIPOS DE VIGAS
ANALISADAS - SOLUÇÃO ANALÍTICA E NUMÉRICA - TEORIA
DE EULER-BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
FIGURA 17 – DESLOCAMENTOS DO PONTO CENTRAL PARA VIGAS
BIAPOIADAS PARA AS QUATRO SEÇÕES ANALISADAS -
TEORIA DE TIMOSHENKO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
FIGURA 18 – DESLOCAMENTOS DO PONTO CENTRAL PARA VIGAS
BIAPOIADAS PARA AS QUATRO SEÇÕES ANALISADAS . . . . . . . . . 60
FIGURA 19 – DESLOCAMENTOS DO PONTO CENTRAL PARA VIGAS
BIENGASTADAS PARA AS QUATRO SEÇÕES ANALISADAS. . . . . . . 61
FIGURA 20 – DESLOCAMENTOS DO PONTO CENTRAL PARA AS VIGAS
ENGASTADA-APOIADA PARA AS QUATRO SEÇÕES
ANALISADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
FIGURA 21 – DESLOCAMENTOS PARA O PONTO DA EXTREMIDADE
LIVRE PARA VIGAS EM BALANÇO PARA AS QUATRO
SEÇÕES ANALISADAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 – LINHA ELÁSTICA PARA O CASO ESTÁTICO - TEORIA DE
EULER-BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
TABELA 2 – LINHA ELÁSTICA PARA O CASO ESTÁTICO - TEORIA DE
TIMOSHENKO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
TABELA 3 – APROXIMAÇÕES DO MDF PARA DERIVADAS DE PRIMEIRA
ATÉ QUARTA ORDEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
TABELA 4 – VALORES DAS PROPRIEDADES DO MATERIAL DAS VIGAS. . . . . . . 26
TABELA 5 – TIPOS DE SEÇÕES ANALISADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
TABELA 6 – DESLOCAMENTOS PARA A VIGA BIAPOIADA EM j = 1 . . . . . . . . . 52
TABELA 7 – DESLOCAMENTOS PARA A VIGA BIAPOIADA EM j = 2 . . . . . . . . . 52
TABELA 8 – DESLOCAMENTO ESTÁTICO-DINÁMICO-ANALÍTICO -
EULER-BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
TABELA 9 – DESLOCAMENTOS - EULER-BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
TABELA 10 – DESLOCAMENTOS - TIMOSHENKO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1 OBJETIVOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 TEORIA DE VIGAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Teoria de Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Teoria de Timoshenko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 MÉTODOS NUMÉRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Método das Diferenças Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 MÉTODOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 VIGAS ANALISADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 SOLUÇÕES ANALÍTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Euler Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 EQUACIONAMENTO NUMÉRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 Solução Numérica - Teoria de Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 Solução Numérica - Teoria de Timoshenko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.3 Algoritmos - Fluxogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3.1 Algoritmos para a Teoria de Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3.2 Algoritmos para a Teoria de Timoshenko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 MATERIAIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 NOMENCLATURA ADOTADA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6 DETERMINAÇÃO DOS INCREMENTOS ∆x E DO ∆t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 RESULTADOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
REFERÊNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10
1 INTRODUÇÃO
As vigas são elementos presentes na engenharia civil. Logo, o conhecimento de
seu comportamento é importante. A Resistência dos Materiais apresenta a teoria básica
para conhecer os deslocamentos e esforços envolvidos em cada situação (HIBBELER, 2010).
Geralmente, a teoria apresentada para a cálculo dos deslocamentos de vigas é a Teoria de
Euler-Bernoulli, também chamada de teoria clássica, como apresentado em Beer et al. (2003),
Hibbeler (2010), Nash (1982) e Popov (1978).
Porém a teoria clássica não leva em consideração os efeitos do cisalhamento na de-
formação da viga (BORGES, 1996). Assim, a Teoria de Timoshenko, que leva em conta estas
deformações, se mostra como uma teoria superior à clássica (SORIANO; LIMA, 2003). Esta
teoria utiliza, dentre outros parâmetros, o coeficiente corretivo κ, dependente da geometria
da seção transversal, que é introduzido para compensar o fato de que a tensão cisalhante real
e a correspondente a distorção não são uniformes (BORGES, 1996).
No desenvolvimento do trabalho, serão apresentadas as teorias e suas soluções para
carregamentos estático e dinâmicos, considerando aplicação de cargas distribuídas uniforme-
mente ao longo de toda a extensão da viga.
1.1 OBJETIVOS
O objetivo principal deste trabalho é efetuar análises de vigas, empregando as teorias
de Euler-Bernoulli e de Timoshenko, sujeitas à ação de um carregamento uniformemente dis-
tribuído no espaço e atuando instantânea e continuamente no tempo, mostrando as diferenças
entre elas.
Paraasoluçãonuméricadosproblemaspretende-seempregaroMétododasDiferenças
Finitas (MDF), que resolve de maneira aproximada equações diferenciais (CUNHA, 2000).