Table Of ContentAnálise dinâmica de sólidos elásticos pelo método dos
elementos finitos
Vítor Hugo Amaral Carreiro
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira
Orientador: Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões
Vogal: Doutor António Manuel Figueiredo Pinto da Costa
Junho de 2009
Agradecimentos
Em primeiro lugar, quero manifestar o meu profundo agradecimento ao Professor Fernando
Simões, meu orientador científico, pelo seu total apoio, amizade, motivação e disponibilidade
demonstrada ao longo do trabalho. Agradeço também todos os conhecimentos que me
transmitiu, que foram, sem dúvida, extremamente importantes para a realização deste trabalho
e para o meu enriquecimento pessoal.
Agradeço ao meu irmão Henrique, pela sua preciosa ajuda, principalmente na resolução de
alguns problemas informáticos inesperados. Os seus conhecimentos em Engenharia
Informática foram-me muito úteis.
À minha namorada Mafalda devo-lhe um agradecimento muito especial, pelo incondicional
apoio, paciência e força transmitida ao longo de todo o trabalho. Foi sempre a minha força nos
momentos mais pessimistas.
Esta dissertação é dedicada aos meus pais, por tudo o que têm feito por mim durante toda a
minha vida. Devo a eles tudo o que sou hoje. Obrigado.
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Resumo
O método dos elementos finitos (m.e.f.) é um método numérico que permite obter
aproximações de dimensão finita para problemas de valor de fronteira, sendo hoje em dia uma
ferramenta muito útil na análise de muitos problemas lineares ou não lineares em mecânica
dos meios contínuos.
Esta dissertação tem como objectivo fundamental o desenvolvimento de um programa de
elementos finitos, em linguagem Fortran, que permita analisar problemas planos dinâmicos
com deformação infinitesimal, envolvendo sólidos elásticos lineares, e em que a integração das
equações da dinâmica possa ser efectuada por métodos explícitos ou implícitos.
Os dois programas de elementos finitos concebidos (um utilizando a integração implícita e
outro a integração explícita) são aplicados posteriormente na análise dinâmica de três
estruturas, com carregamentos e condições de fronteira diferentes. O primeiro desses
exemplos (sólido) é utilizado para validar os programas desenvolvidos, comparando os
resultados obtidos nesse exemplo com os resultados obtidos com o programa comercial
Abaqus. Nos outros dois exemplos mais complexos (viga em consola e viga bi-encastrada)
comparam-se as soluções obtidas com os dois diferentes tipos de integração numérica no
tempo e com malhas de 4 nós e de 8 nós e discutem-se os resultados obtidos.
Enquanto que na regra de integração explícita o incremento de tempo está limitado por razões
de estabilidade, na regra de integração implícita este só está limitado por razões de precisão. A
utilização do mesmo incremento de tempo nos dois casos conduz, em geral, a uma melhor
aproximação dos resultados obtidos com a regra de integração implícita, à custa de um
aumento do tempo de cálculo. A consideração de uma regra de integração implícita permite
ainda, através da introdução de amortecimento numérico, reduzir a influência dos modos de
energia mais elevada nos resultados.
Os programas desenvolvidos poderão servir como ponto de partida para futuros
desenvolvimentos de outros programas.
Palavras-Chave: Método dos elementos finitos, Integração explícita, Integração implícita,
Análise dinâmica, Sólidos elásticos lineares.
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Abstract
The finite element method (FEM) is a numerical method that allows the attainment of finite
dimension approximations for boundary value problems and is now a highly useful tool in the
analysis of many linear or non linear problems in continuum mechanics.
The core objective of this dissertation is the development of a finite element program in the
Fortran programming language for the dynamic analysis of plane linear elastic solids
experiencing infinitesimal strains and where the integration of the dynamic equations may be
carried out by explicit or implicit methods.
The two finite element programs (one with recourse to implicit integration and the other with
explicit integration) are applied in the dynamic analysis of three structures with different loads
and boundary conditions. The first such example (solid), where the results obtained are
compared with results generated by the Abaqus commercial program, serves to validate the
written program. In the other two more complex examples (cantiliver beam and doubly-clamped
beam), the solutions obtained with two different types of numerical time integration and two
different meshes are compared and discussed.
While the rule for explicit integration is that the time increment is limited for reasons of stability,
the rule for implicit integration is that the time increment is limited only for reasons of precision.
The utilisation of the same time increment in the two cases generally leads to a better
approximation of the results obtained with the implicit integration rule at the cost of an increased
time of calculation. Incorporating an implicit integration rule further enables, through the
introduction of numerical damping, a reduction of the influence of the higher energy mode levels
on the results.
The programs developed may serve as the basis for future software applications.
Keywords: Finite element method, Explicit integration, Implicit integration, Dynamic analysis,
Linear elastic solids.
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Índice geral
1. Introdução .............................................................................................................................. 1
1.1 Enquadramento Geral ................................................................................................... 1
1.2 Objectivos ...................................................................................................................... 1
1.3 Estrutura da Dissertação ............................................................................................... 2
2. O Problema da elasticidade plana linear............................................................................... 3
2.1 Introdução ...................................................................................................................... 3
2.2 Formulação Forte .......................................................................................................... 4
2.3 Formulação fraca ou variacional ................................................................................... 6
2.4 Elasticidade Plana (2D) ................................................................................................. 7
2.5 Aproximação por elementos finitos ............................................................................... 9
2.6 Integração no tempo das equações da dinâmica ....................................................... 13
2.6.1 Integração explícita ............................................................................................. 13
2.6.2 Integração implícita ............................................................................................. 15
3. Elementos finitos isoparamétricos ....................................................................................... 18
3.1 Introdução .................................................................................................................... 18
3.2 Os elementos quadriláteros bilinear (4 nós) e quadrático (8 nós) .............................. 18
3.3 Cálculos relativos aos elementos bidimensionais ....................................................... 21
3.4 Integração numérica – Quadratura de Gauss ............................................................. 24
4. Aplicação do método dos elementos finitos ........................................................................ 26
4.1 Introdução .................................................................................................................... 26
4.2 Exemplo 1: Sólido........................................................................................................ 26
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4.2.1 Elementos de 4 nós ............................................................................................. 28
4.2.2 Elementos de 8 nós ............................................................................................. 34
4.2.3 Comparação entre elementos de 4 e 8 nós ........................................................ 37
4.2.4 Comparação entre o caso dinâmico e o caso estático ....................................... 41
4.3 Exemplo 2: Viga em consola ....................................................................................... 44
4.3.1 Elementos de 4 nós ............................................................................................. 45
4.3.2 Elementos de 8 nós ............................................................................................. 52
4.3.3 Comparação entre elementos de 4 e 8 nós ........................................................ 55
4.4 Exemplo 3: Viga bi-encastrada ................................................................................... 59
4.4.1 Elementos de 4 nós ............................................................................................. 60
4.4.2 Elementos de 8 nós ............................................................................................. 68
4.4.3 Comparação entre elementos de 4 e 8 nós ........................................................ 71
5. Conclusões e sugestões para desenvolvimentos futuros ................................................... 77
6. Bibliografia ........................................................................................................................... 79
ANEXOS ...................................................................................................................................... 81
Anexo 1 – Malha da viga em consola com elementos de 4 nós ............................................ A-1
Anexo 2 – Malha da viga em consola com elementos de 8 nós ............................................ A-5
Anexo 3 – Malha da viga bi-encastrada com elementos de 4 nós ........................................ A-9
Anexo 4 – Malha da viga bi-encastrada com elementos de 8 nós ...................................... A-13
Anexo 5 – Modos de vibração dados pelo Abaqus .............................................................. A-17
Viga em consola com elementos de 4 nós ...................................................................... A-19
Viga bi-encastrada com elementos de 4 nós ................................................................... A-21
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Description:Análise dinâmica de sólidos elásticos pelo método dos elementos finitos. Vítor Hugo Amaral Carreiro. Dissertação para obtenção do Grau de Mestre
