Análise de componentes principais e escalonamento multidimensional

131 Pages·2015·1.2 MB·English

Universidade Federal do Rio de Janeiro
UFRJ
Ana´lise de componentes principais e
escalonamento multidimensional:
duas classes de me´todos multivariados de
reduc¸a˜o de dimensionalidade
F´abio Luiz Machry Rodrigues Garcia
2015
UFRJ
Ana´lise de componentes principais e
escalonamento multidimensional:
duas classes de me´todos multivariados de
reduc¸a˜o de dimensionalidade
F´abio Luiz Machry Rodrigues Garcia
ProjetoFinaldeConclus˜aodeCursoapresentadoao
DepartamentodeM´etodosEstat´ısticosdoInstituto
de Matem´atica da Universidade Federal do Rio de
Janeiro como parte dos requisitos necess´arios para
obten¸c˜ao do t´ıtulo de Bacharel em Estat´stica.
Orientador: Ralph dos Santos Silva
Rio de Janeiro, 25 de setembro de 2015.
Ana´lise de componentes principais e
escalonamento multidimensional:
duas classes de me´todos multivariados de reduc¸a˜o
de dimensionalidade
F´abio Luiz Machry Rodrigues Garcia
Orientador: Ralph dos Santos Silva
Projeto Final de Conclus˜ao de Curso apresentado ao Departamento de M´etodos
Estat´ısticos do Instituto de Matem´atica da Universidade Federal do Rio de Janeiro
como parte dos requisitos necess´arios para obtenc¸˜ao do t´ıtulo de Bacharel em Es-
tat´ıstica.
Prof. Ralph dos Santos Silva
IM-UFRJ
Profa. Fl´avia Maria Pinto Ferreira Landim
IM-UFRJ
Profa. Mariane Branco Alves
IM-UFRJ
Rio de Janeiro, 25 de setembro de 2015.
Garcia, F´abio L. M. Rodrigues
An´alise de componentes principais e escalonamento multidimen-
sional: duas classes de m´etodos multivariados de redu¸c˜ao de dimen-
sionalidade. F´abio Luiz Machry Rodrigues Garcia - Rio de Janeiro:
UFRJ/IM, 2015.
viii, 131f.: il.; 31cm.
Orientador: Ralph dos Santos Silva
Projeto Final - UFRJ/IM/ Gradua¸c˜ao em Estat´ıstica, 2015.
Referˆencias Bibliogr´aficas: f.113-116.
1. An´alise estat´ıstica multivariada. 2. An´alise de componentes
principais. 3. Escalonamento multidimensional. I. Silva, Ralph dos
Santos. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de
Matem´atica. III. An´alise de componentes principais e escalonamento
multidimensional: duas classes de m´etodos multivariados de reduc¸˜ao
de dimensionalidade.
RESUMO
Ana´lise de componentes principais e
Escalonamento multidimensional:
duas classes de me´todos multivariados de
reduc¸a˜o de dimensionalidade
F´abio Luiz Machry Rodrigues Garcia
Orientador: Ralph dos Santos Silva
Em an´alise multivariada, ordena¸c˜ao ´e o processo de redu¸c˜ao de dimensionalidade.
O conjunto de dados reduzido ´e muito u´til para investigar estruturas nos dados.
Dois m´etodos de ordenac¸˜ao muito importantes s˜ao an´alise de componentes principais
(ACP) e escalonamento multidimensional (MDS). ACP ´e o m´etodo de ordena¸c˜ao
mais utilizado por n˜ao estar atrelado a modelos e distribui¸co˜es de probabilidade e
pela possibilidade de seus resultados serem utilizados em an´alises posteriores, como
por exemplo an´alise de regress˜ao. Quando os objetos de estudo s˜ao dados por pro-
ximidades, especialmente em casos onde as distˆancias euclidianas n˜ao fazem sentido,
ACP n˜ao´e recomendada. Outra situa¸c˜ao onde ACP n˜ao´e recomendada surge quando
a prioridade do pesquisador n˜ao´e preservar exatamente as distˆancias entre os objetos,
mas representar da melhor forma as relac¸˜oes de ordem entre os objetos em poucos
eixos. Nas situa¸co˜es citadas, uma classe de m´etodos adequados ´e o MDS. Abordare-
mos as classes de MDS mais utilizadas, MDS cl´assico e MDS n˜ao-m´etrico. Ao fim da
explana¸c˜ao de cada m´etodo, citamos e comentamos brevemente sobre m´etodos relaci-
onadostantocomACPquantocomMDS,edepoisfaremosv´ariasan´alisesenvolvendo
ACP e MDS.
Palavras-chave: An´alise de componentes principais; Biplot; Escalonamento multidimensional
cl´assico e n˜ao-m´etrico; M´etodos de ordena¸c˜ao.
ara
P
na Carla
A
e
sadora
I
Pelo amor gratuito e puro!
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter me dado capacidade intelectual juntamente com um alto
n´ıvel de obstinac¸a˜o para que eu pudesse superar minhas limitac¸o˜es e as
dificuldades da vida, desde a mais tenra idade, e concluir o curso de Ba-
charelado em Estat´ıstica da UFRJ;
A meu pai, Gasta˜o, que mesmo tendo pouco estudo, sempre me apoiou, e
apoia ainda hoje, mesmo estando bem distante de mim. Saiba que sem voceˆ,
meu pai, eu jamais teria conseguido... obrigado por ser pai e ma˜e e cuidar
de mim desde a morte prematura da minha ma˜e. Voceˆ sempre estara´ em
meu corac¸a˜o;
Ao meu orientador Ralph dos Santos Silva, pela pacieˆncia, o´timos conse-
lhos e ensinamentos e pelo excelente curso de Ana´lise multivariada, de
onde cresceu meu interesse por esta a´rea ta˜o interessante da Estat´ıstica;
Aos professores do IM Mauro Rincon, Mariane Branco e Carlos Abanto,
pelos o´timos cursos de Me´todos nume´ricos, Estat´ıstica na˜o parame´trica
e Estat´ıstica computacional, respectivamente;
AosautoresdosmeulivrosdeEstat´ısticafavoritos: B.Everitt, T.Hothorn,
M. Crawley, J. Albert, M. Rizzo, J. Maindonald, J. Braun, M. Greenacre,
P. Dalgaard, J. Verzani, I. Borg, J. Gentle, P. Murrell, D. Montgomery,
M. Trosset, S. Weisberg e especialmente a James, Hastie e Tibshirani pelo
livro muito inspirador ”Introduction to Statistical Learning”
A Tuomas Holopainen, tecladista da banda Nightwish, pelas lindas e
poe´ticas mu´sicas que me fazem sonhar.
´
SUMARIO
Lista de tabelas iv
Lista de figuras vii
Cap´ıtulo 1: Introduc¸˜ao: dados multivariados e an´alise multivariada 1
1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Uma breve hist´oria do desenvolvimento da an´alise multivariada . . . . . . . . . . 4
1.3 Tipos de vari´aveis e o poss´ıvel problema dos valores faltantes . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Valores faltantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Alguns conjuntos de dados multivariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Covariˆancias, correla¸co˜es e distˆancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Covariˆancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2 Correla¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.3 Distˆancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 A fun¸c˜ao de densidade normal multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Cap´ıtulo 2: An´alise de componentes principais: o m´etodo-chave de ordenac¸˜ao
em an´alise multivariada 23
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 An´alise de componentes principais - ACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Encontrando as componentes principais amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 As componentes principais devem ser extra´ıdas da matriz de covariˆancias ou da
matriz de correla¸c˜oes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Componentes principais de dados bivariados com coeficiente de correla¸c˜ao r . . . 31
2.6 Re-escalonando as componentes principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Como as componentes principais predizem a matriz de covariˆancias observada . . 33
2.8 Escolhendo o nu´mero de componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Calculando escores de componentes principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
i
2.10 Biplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.11 Tamanho de amostra para ACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12 Exemplos de aplica¸c˜ao da ACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12.1 Comprimentos de cabec¸a do primeiro e segundo filhos . . . . . . . . . . 39
2.12.2 Consumo de prote´ınas em pa´ıses da europa . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.13 M´etodos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Cap´ıtulo 3: Escalonamento multidimensional 53
3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Modelos para dados de proximidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Modelos espaciais para proximidades: escalonamento multidimensional (MDS) . 54
3.4 Outras medidas de distˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Escalonamento multidimensional cl´assico (cMDS ou ACoP) . . . . . . . . . . . 59
3.5.1 cMDS: detalhes t´ecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Exemplo de aplica¸c˜ao de cMDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.1 cMDS em um pequeno conjunto multivariado do R5 . . . . . . . . . . . 63
3.7 Escalonamento multidimensional n˜ao-m´etrico (nMDS) . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7.1 Exemplo de aplica¸c˜ao de nMDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.8 A´rvore de cobertura m´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.9 Diagrama de Shepard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.10 M´etodos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Cap´ıtulo 4: An´alises de dados 75
4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 An´alises de dados utilizando ACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1 Esportes: Analisando a estrutura de escores do heptatlo ol´ımpico . . . . 75
4.2.2 Climatologia: Polui¸c˜ao atmosf´erica em cidades dos EUA . . . . . . . . . 87
4.3 An´alises de dados utilizando MDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.1 Um “mapa” do Brasil: solu¸c˜ao cMDS de distˆancias entre as 26 capitais
brasileiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2 Zoologia: Aplicando cMDS para comparar popula¸c˜oes de ratazanas d’´agua
britˆanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
ii
4.3.3 Pol´ıtica: Aplicando nMDS para analisar o padr˜ao de vota¸c˜ao de congres-
sistas norte-americanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Cap´ıtulo 5: Conclus˜ao 109
Referˆencias Bibliogr´aficas 113
iii