Allocation de bande passante dans les grands réseaux stochastiques Bandwidth Allocation in ...

147 Pages·2012·1.65 MB·French

(cid:201)cole doctorale de l’(cid:201)cole polytechnique
Inria Paris-Rocquencourt
ThŁse prØsentØe en vue de l’obtention du grade de
Docteur de l’(cid:201)cole polytechnique
SpØcialitØ MathØmatiques AppliquØes
Allocation de bande passante dans les grands rØseaux
stochastiques
Bandwidth Allocation in Large Stochastic Networks
Mathieu Feuillet
Soutenue publiquement le 12 juillet 2012 devant un jury composØ de :
Thomas Bonald Telecom ParisTech Co-directeur
Carl Graham (cid:201)cole polytechnique Examinateur
Laurent MassouliØ Technicolor Rapporteur
Ravi Mazumdar University of Waterloo Examinateur
Philippe Robert Inria Directeur
Alain Simonian Orange Labs Examinateur
et s’appuyant sur les rapports de :
Sem Borst Technische Universiteit Eindhoven/Bell Labs
Adam Wierman Caltech

Remerciements
RØdiger ces remerciements est un plaisir (cid:224) deux titres; il s’agit du point (cid:28)nal
de la rØdaction de cette thŁse et de la seule page qui sera lue par tous.
Je ne peux que commencer par remercier Philippe Robert pour avoir acceptØ
de m’accueillir dans son Øquipe et d’encadrer ma thŁse. Ces trois annØes (cid:224) son con-
tact auront ØtØ particuliŁrement enrichissantes. Au del(cid:224) des techniques de renor-
malisation et autres mØthodes probabilistes, son encadrement s’est caractØrisØ par
une exigence scienti(cid:28)que et une grande disponibilitØ bienvenues. Il a cependant su
me laisser une grande libertØ dans le choix des sujets que j’ai abordØs. IndØpen-
damment des sciences, Philippe m’a communiquØ son goßt pour la course (cid:224) pied
donnant lieu (cid:224) de nombreuses rØunions importantes de 11h30 (cid:224) 13h ainsi que deux
semi-marathons. Mon seul regret est de ne pas avoir rØussi (cid:224) lui faire redØcouvrir
les joies de la natation.
Je tiens Øgalement (cid:224) remercier chaleureusement Thomas Bonald qui m’accom-
pagne dans mes aventures scienti(cid:28)ques depuis mon stage chez Orange. J’ai eu le
plaisir de travailler avec lui sur des sujets qui lui tiennent (cid:224) c(cid:247)ur et j’ai ØtØ trŁs
heureux d’enseigner (cid:224) TØlØcom ParisTech dans son cours ainsi que de coØcrire Per-
formance des rØseaux et des systŁmes informatiques avec lui. J’espŁre que nous
aurons encore de nombreuses occasions de travailler ensemble.
Jim Roberts a Øgalement ØtØ trŁs prØsent tout au long de cette thŁse. Il a
toujours ØtØ trŁs disponible et a suivi mes travaux avec intØrŒt. Il m’a Øgalement
beaucoup appris sur l’art, di(cid:30)cile, de la rØdaction scienti(cid:28)que. Pour tout cela, je
lui suis trŁs reconnaissant.
Tous mes remerciements vont (cid:224) Sem Borst, Laurent MassouliØ et Adam Wier-
man qui ont acceptØ d’Œtre rapporteurs de ma thŁse. Je suis Øgalement trŁs honorØ
que Carl Graham, Ravi Mazumdar et Alain Simonian aient acceptØ de faire partie
de mon jury.
Pendant ces trois annØes, j’ai eu le plaisir, outre Philippe et Thomas, de col-
laborer avec Matthieu Jonckheere, Balakrishna Prabhu et Alexandre ProutiŁre. Je
remercie en particulier Alexandre de m’avoir accueilli (cid:224) Cambridge en plusieurs
occasionsetMatthieudem’avoirdonnØl’occasiondepasserunesemained’Øchange
scienti(cid:28)que en Uruguay. Je tiens Øgalement (cid:224) citer SØbastien Monnet, Pierre Sens
etVØroniqueSimondel’ØquipeREGALavecquiPhilippeetmoiavonseuleplaisir
d’Øchanger sur les tables de hachage distribuØes.
Je suis trŁs reconnaissant (cid:224) tous les membres de l’Øquipe RAP, Yousra Chab-
choub,VirginieCollette,ChristineFricker,EmanueleLeoncini,NadaSbihi,Florian
Simatos, Jim et Philippe, pour leur bonne humeur et leur gentillesse tout au long
de ces trois annØes. Un grand merci (cid:224) Virginie pour sa gestion e(cid:30)cace des t(cid:226)ches
administratives qui nous permet de nous concentrer sur nos travaux de recherche.
Grazie mille, Emanuele, per la tua gentilezza e il tuo buon umore italiano. Merci (cid:224)
tous les coureurs et nageurs pour tous ces bons moments sportifs ou non, Thierry
Martinez, Benoit Montagu, Jonathan Protzenko, Alexandre Pilkiewicz, Philippe
et Emanuele. Encore quelques semaines (cid:224) Inria (cid:224) frØquenter certains d’entre vous
et j’allais me mettre (cid:224) faire du Coq et des systŁmes de types, il Øtait temps de
v
vi
partir. Merci (cid:224) tous les membres de l’Øquipe Algorithms et notamment, Alexandre
Benoit, Nicolas Broutin pour l’organisation du groupe de travail et Bruno Salvy
pouravoirsuggØrØ(cid:224)Emanuele,Jonathanetmoi-mŒmedefairerevivrelesØminaire
des doctorants.
Je termine par ma famille qui me soutient dans mes Øtudes depuis deux dØ-
cennies en me faisant con(cid:28)ance mŒme si ce n’Øtait pas forcØment facile de voir oø
cela allait me mener ces derniŁres annØes. J’ai une pensØe toute particuliŁre pour
mon Øpouse, Jessica, dont l’a(cid:27)ection, la prØsence et le soutien me sont prØcieux,
indispensables.
Contents
Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
RØsumØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Chapter I. Introduction
1. Preamble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. From Circuit Switching to Packet Switching . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Bandwidth Sharing Networks Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4. Wireless Networks Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5. Distributed Storage with Failures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6. Mathematical Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7. Presentation of Subsequent Chapters
References for the introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chapter II. On the Flow-Level Stability of Data Networks without
Congestion Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2. Flow-Level Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. Stability Conditions for a Linear Network . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. Asymptotic Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Appendix: Proof of Proposition 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
References for Chapter II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Chapter III. On the Performance of CSMA in Multi-Channel
Wireless Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1. Introduction
2. Related Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3. Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4. Packet-Level Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5. Flow-Level Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6. Time-Scale Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7. Infrastructure-Based Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8. Conclusion
References for Chapter III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Chapter IV. On a Transient Stochastic Network with Failures . 91
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2. The Stochastic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3. The Overloaded Network. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
vii
viii CONTENTS
4. The Critical Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5. The Time Scales of the Stable Network. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Appendix. Generalized Skorokhod Problems
References for Chapter IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Chapter V. On the Transient Behavior of Ehrenfest and Engset
Processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2. The Stochastic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3. Positive Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4. A Fluid Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5. Super-Critical Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6. Sub-Critical Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7. Critical Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
References for Chapter V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Comprehensive list of references. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
RØsumØ
L’objectif de cette thŁse est de traiter trois problŁmes relatifs aux rØseaux de
grande taille. Les outils utilisØs (cid:224) cette (cid:28)n sont issus des probabilitØs et plus spØ-
ci(cid:28)quement de la thØorie des (cid:28)les d’attente. En plus d’amØliorer la comprØhension
des systŁmes ØtudiØs, les travaux rØalisØs dans cette thŁse ont permis de prouver
des rØsultats thØoriques nouveaux ainsi que d’illustrer certains phØnomŁnes proba-
bilistes.
DansleChapitreII,unmodŁlederØseau(cid:224)partagedebandepassanteestØtudiØ.
Contrairement(cid:224)cequiavaitØtØØtudiØdanslalittØrature,lesutilisateursn’utilisent
pasdecontr(cid:244)ledecongestion.Onsupposequ’ilsenvoientdesdonnØesavecundØbit
maximumetprotŁgentleurtransmission(cid:224)l’aided’unmØcanismebasØsurdescodes
correcteursd’erreur.LemodŁleobtenuestanalysØpourdeuxtopologiesderØseaux
spØci(cid:28)ques : les rØseaux linØaires et les arbres montants. (cid:192) l’aide de limites (cid:29)uides,
les conditions de stabilitØ de ces rØseaux sont Øtablies. Ces limites (cid:29)uides donnent
lieu (cid:224) un phØnomŁne intØressant de moyennage stochastique. Ensuite, une autre
mØthode de renormalisation est utilisØe pour prouver que la rØgion de stabilitØ de
cesprocessusconvergeverslarØgionoptimalelorsquequelesdØbitsmaximauxdes
utilisateurs deviennent in(cid:28)niment petits par rapport (cid:224) la taille des liens du rØseau.
DansleChapitreIII,onseproposed’ØtudierCSMA/CA,unalgorithmed’accŁs
implØmentØ dans certains standards de rØseaux sans (cid:28)l. Chaque lien est constituØ
d’un Ømetteur et d’un rØcepteur et un graphe d’interfØrence modØlise les collisions
potentielles entre les liens. Les arrivØes et les dØparts de ces derniers sont prises
en compte. Une approximation est faite en supposant que la dynamique d’accŁs au
canal est in(cid:28)niment plus rapide que la dynamique des arrivØes et dØparts de liens.
IlestalorsØtabliqueleCSMApermetuneutilisationoptimaledesressourcesradio
dans le cadre des rØseaux ad-hoc. Cependant, il est Øgalement prouvØ que ce mŒme
algorithmen’estpase(cid:30)cacepourlesrØseauxavecunestationdebase;danscecas,
un biais en faveur des transmissions vers la station de base est observØ. (cid:192) la (cid:28)n du
chapitre, l’hypothŁse simpli(cid:28)catrice est discutØe.
LesdeuxdernierschapitresdelathŁsesontconsacrØs(cid:224)l’Øtuded’ungrandsys-
tŁmedistribuØdestockagededonnØesavecpertes.L’objectifestd’estimerlavitesse
de perte des (cid:28)chiers ou la durØe de vie d’un (cid:28)chier donnØ. Dans le Chapitre IV,
c’est le premier point de vue qui est adoptØ. Le systŁme est considØrØ de maniŁre
globale. Le systŁme est constituØ d’un grand nombre de (cid:28)chiers qui peuvent avoir
chacundeuxcopiesaumaximum.Chaquecopiedispara(cid:238)tauboutd’untempsalØa-
toire. Un mØcanisme centralisØ de sauvegarde permet alors de restaurer les copies
perdues. Un (cid:28)chier dont les deux copies ont ØtØ dØtruites est dØ(cid:28)nitivement perdu.
Le systŁme est ØtudiØ dans le cas limite oø le nombre de (cid:28)chiers tend vers l’in(cid:28)ni.
A(cid:28)n de dØcrire correctement le systŁme, trois Øchelles de temps di(cid:27)Ørentes sont
ØtudiØes. Ralentir le temps permet de comprendre le mØcanisme de sauvegarde;
laisser le temps inchangØ permet de dØ(cid:28)nir la capacitØ du systŁme; accØlØrer le
temps permet d’Øvaluer la vitesse de perte des (cid:28)chiers. Le principe de moyennage
stochastique est Øgalement observØ (cid:224) l’Øchelle de temps la plus rapide.
ix
x CONTENTS
DanslechapitreV,lepointdevued’un(cid:28)chierdonnØestadoptØ.Deslienssont
Øtablis avec les modŁles classiques d’Ehrenfest, issu de la physique statistique, et
d’Erlang,issudestØlØcommunications.DesmØthodesbasØessurlesmartingalessont
utilisØes pour calculer la transformØe de Laplace des temps d’atteinte de ces deux
processus. Ces transformØes permettent alors d’estimer le comportement asympto-
tique de ces temps d’atteinte et notamment le temps de disparition d’un (cid:28)chier.
Abstract
The purpose of this thesis is to tackle three problems inspired by large dis-
tributed systems. The tools used for that purpose come from probability and more
speci(cid:28)cally queueing theory. The studies led during this thesis allowed to under-
stand the behavior of the observed systems and algorithms but also to prove some
interesting theoretical results and to emphasize some probabilistic phenomena.
In Chapter II, a bandwidth sharing network model is analyzed. Contrary to
what has been studied in the literature, users do not use a congestion control
mechanism; they are assumed to send data at their maximum rate and to protect
their transmission against loss thanks to some error code. The obtained model is
analyzed for two di(cid:27)erent topologies: linear networks and upstream trees. Using
(cid:29)uid limits, the stability condition of these networks is obtained. Due to these
(cid:29)uidlimits,aninterestingstochasticaveragingphenomenonarises. Anotherscaling
method is used to prove that the stability condition of these networks tends to the
optimal one when the maximal rate of users is in(cid:28)nitely smaller than the links
capacity.
In Chapter III, CSMA/CA, a classical channel access algorithm for wireless
networks,isstudied. Eachlinkconsistsinasender/receiverpairandaninterference
graph models potential collisions between links. Link arrivals and departures are
taken into account by the model. An approximation is made by assuming that
the channel access dynamics is in(cid:28)nitely faster than link arrivals and departures
dynamics. It is proved that CSMA results in an optimal use of radio resources
for ad-hoc networks. However, it is also established that this algorithm is not
e(cid:30)cient for infrastructure-based networks where a bias in favor of upstream tra(cid:30)c
is observed. At the end of the chapter, the time-scale separation assumption is
discussed.
The last two chapters of this thesis are dedicated to the study of a large dis-
tributed storage system with failures. The purpose is to estimate the decay rate of
thesystemorthedurabilityofagiven(cid:28)le. InChapterIV, the(cid:28)rstpointofviewis
studied. The system is then considered as a whole. It consists in a large set of (cid:28)les
which can have two copies. Each copy is lost after a random time. A centralized
back-up mechanism allows to restore lost copies. A (cid:28)le with no copy is de(cid:28)nitively
lost. The system is analyzed when the number of (cid:28)les grows to in(cid:28)nity. In order
to describe correctly its behavior, three di(cid:27)erent time-scales are considered. The
slow time-scale allows to describe the back-up mechanism; the normal time-scale
to de(cid:28)ne the capacity of the system and the fast time-scale to evaluate the decay
rate. The stochastic averaging principle is also observed on the fast time-scale.
InChapterV,thepointofviewofa(cid:28)leistaken. Linksareestablishedwiththe
classicalEhrenfestandEngsetmodels, fromstatisticalphysicsandtelecommunica-
tion. ExponentialmartingalesmethodsareusedtocomputetheLaplacetransform
of hitting times. The asymptotic behavior of these hitting times, in particular the
durability of a (cid:28)le, is then estimated.
xi