Allgemeine Relativitätstheorie

234 Pages·2013·1.13 MB·German

INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Allgemeine Relativitätstheorie
Skriptum zur Vorlesung
überarbeitet
Wintersemester 2012/2013
Prof. Dr. U. Motschmann
Dr. S. Simon
Dr. Yasuhito Narita
Dipl.-Phys. H. Kriegel
Braunschweig, 2013
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Das Skriptum ersetzt nicht die Vorlesung und kein Lehrbuch. Niedergelegt sind erklärender
Text nur in Stichpunkten und Formeln im Detail inclusive sehr vieler Zwischenrechnungen.
Das Skriptum soll den Studierenden helfen, sich in der Vorlesung auf die Erklärungen zu den
Ausgangspunkten,AbleitungenundSchlussfolgerungenzukonzentrierenundEntlastungbeim
Abschreiben der mitunter detailreichen Gleichungen von der Tafel bringen. Die Studierenden
sollten das Skriptum zur Vorlesung vorliegenhaben und die Erklärungen nacheigenem Bedarf
einfügen.
Uwe Motschmann
Satz: LATEX2ε
Wir danken allen, die an der Entstehung und Fehlersuche für dieses Skript mitgewirkt haben,
insbesondere Jochen Bandlow, Jörg Duhme, Hendrik Kriegel und Ulf Stolzenberg.
Braunschweig, 12. Februar 2013
U. Motschmann
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Inhaltsverzeichnis
I Physikalische Grundlagen der ART 9
1 Was ist ART ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Äquivalenz-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II Mathematische Grundlagen 15
1 Bemerkung zur Historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Krummlinige Koordinatensysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Metrischer Fundamentaltensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Tensoren im Riemannschen Raum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Kovariante Ableitung und Parallelverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Geodäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7 Geodäten in 2-d Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8 Kovariante Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9 Spezielle Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10 Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
11 Bianchi - Identitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12 Einbettung gekrümmter Räume in flache Räume höherer Dimension . . . . . . 84
IIIGrundgesetze der Physik im Riemannschen Raum 87
1 Kovarianzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 Punktmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5
INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS
3 Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4 Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 Einsteinsche Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
IVSchwarzschild-Lösung 107
1 Kugelsymmetrie in 4 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2 Aufstellen der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3 Lösung der Vakuum - Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4 Planetenbewegung und Periheldrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Lichtablenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6 Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7 Physik am Schwarzschildradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
V Gravitationswellen 139
1 Linearisierte Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2 Ebene Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3 Teilchen im Feld der Gravitationswelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4 Nachweis von Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
VIInnere Schwarzschild-Lösung 151
1 Aufstellen der Feldgleichungen und der Integrabilitätsbedingungen . . . . . . . 151
2 Lösung für inkompressible Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3 Übergangsbedingungen an die äußere Schwarzschild - Lösung . . . . . . . . . . 159
4 Massenobergrenze für stabile Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5 Zustandsgleichung und Sterntypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
VIIGravitationskollaps und schwarze Löcher 167
1 Kugelsymmetrischer Ansatz in Gauss-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2 Inkohärente Materie als Sternenmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3 Kollabierender Stern mit räumlich konstanter Dichte . . . . . . . . . . . . . . . 190
6
INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS
VIIIKosmologie 197
1 Kosmologisches Prinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
2 Robertson-Walker-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3 Feldgleichungen für die Robertson-Walker-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4 Strahlungskosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5 Friedman - Kosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6 Kosmologische Rotverschiebung und Hubble - Konstante . . . . . . . . . . . . . 217
7 Kritische Massendichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8 Einfluss der kosmologischen Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9 Massenparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10 Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
11 Flachheitsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7

Kapitel I
Physikalische Grundlagen der ART
1 Was ist ART ?
• Ausgangspunkt ist SRT, d.h. Gleichberechtigung aller Inertialsysteme
• Grenzen der SRT durch Schwerkraft,
SchwerkraftführtzurBeschleunigungvonMassenundzerstörtdamitdieInertialsysteme
• Einbeziehung der Schwerkraft (Gravitation) führt auf die ART
• ART auch Einsteinsche Gravitationstheorie genannt
• Namensgebung „ART“ geht auf Einstein zurück, der die ausgezeichnete Rolle der Iner-
tialsysteme beseitigen und eine Theorie finden wollte, die kein Bezugssystem vor einem
anderen auszeichnet.
Einsteinsche Newtonsche
Gravitationstheorie Gravitationstheorie
Geometrisierung der Kraft oder
Gravitation; Potential im Raum
Kraft ist in Zeitintervall
und räumlichen Abstand
eingearbeitet
Bemerkung:
Mit dem Begriff der Kraft scheinen alle modernen Theorien ihre Nöte zu haben. In der Quan-
tentheorie sind die „Kräfte“ ebenfalls abgeschafft; sie gehen in Austausch-Wechselwirkungen
über. Austausch - WW werden durch Teilchen mit ganzzahligem Spin getragen:
• Elem. Kraft → Photonen (s=0)
• Schwache Kraft → Schwache Eichbosonen (s=1)
10 I. Physikalische Grundlagen der ART
• Starke Kraft → Gluonen (s=1)
• Gravitation → Gravitonen (s=2)
Massive Teilchen haben halbzahligen Spin.
2 Bezugssysteme
IS := Inertialsysteme
KS := Beliebige Bezugssysteme (i.a. beschleunigt, krummlinig, etc. )
Newtonsche Gravitationstheorie
• Galilei-kovariant, d.h. Newtonsche Gleichungen haben in allen IS bei Anwendung von
Galilei-Transformationen die gleiche Form
• in KS treten zusätzliche Trägheitskräfte auf: Corioliskraft, Zentrifugalkraft
• Raum und Zeit sind nach Newton absolut; „Beweis“ durch Eimerversuch: anfangs ruht
das Wasser im absoluten Raum (Oberfläche eben), dann rotiert es relativ dazu (Ober-
fläche gekrümmt)
• Problem : Warum sind alle IS gleichberechtigt?
Erwartung eines ausgezeichneten IS, das im absoluten Raum ruht!
Maxwellsche Gleichungen
• nicht Galilei-kovariant
• Lorentz-kovariant
• Raum und Zeit relativiert
• absolute Raum-Zeit ( = Minkowski-Raum), die die IS auszeichnet
• Offener Punkt: Auszeichnung der IS bleibt unerklärt; gegenüber was sind IS nicht be-
schleunigt???
• Unbefriedigender Punkt:
Raum-Zeit der IS wirkt auf die Bewegung von Körpern, aber diese wirken nicht zurück
• Bemerkung:
Maxwell beanspruchte die Gültigkeit seiner Gleichungen nur für dasjenige IS, das im
Äther (lichttragendes Medium) ruht.
Machsches Prinzip