Allgemeine Relativitätstheorie

391 Pages·2016·4.4 MB·German

by  Torsten Fließbach (auth.)

Torsten Fließbach
Allgemeine
Relativitäts-
theorie
7. Auflage
Allgemeine Relativitätstheorie
Torsten Fließbach
Allgemeine
Relativitätstheorie
7. Auflage
Prof. Dr. TorstenFließbach
Universität Siegen
Siegen, Deutschland
fl[email protected]
ISBN978-3-662-53105-1 ISBN978-3-662-53106-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-53106-8
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Vorwort
Das vorliegende Buch entstand im Verlauf von Vorlesungen (cid:252)ber Allgemeine Re-
lativit(cid:228)tstheorie an der Universit(cid:228)t Siegen. Es richtet sich an Physikstudenten, die
die Kurse (cid:252)ber Theoretische Mechanik und Elektrodynamikerfolgreich absolviert
haben. Wie eine Vorlesung soll es als erste Einf(cid:252)hrung in das Thema dienen. Die
DarstellungbewegtsichaufdemNiveaueinerKursvorlesunginTheoretischerPhy-
sik, also auf einem f(cid:252)r das Thema eher einfachen Niveau. Dabei wird mehr Wert
gelegt auf anschauliche Erl(cid:228)uterungen und konkrete Beispiele als auf formale Be-
weise und mathematische Akribie. Die Verbindung zur Elektrodynamik wird, wo
immeressichanbietet,ausf(cid:252)hrlichdargestellt.Anhandder˜hnlichkeitenundUn-
terschiedezudieserdemLeserschonbekanntenTheoriewirdderZugangerleichtert
undeineersteEinordnungindasGesamtgebietderTheoretischenPhysikm(cid:246)glich.
Ichhabe einen(cid:228)hnlichenphysikalischenZugangundweitgehendden gleichen
mathematischen Formalismusgew(cid:228)hlt wie Steven Weinberg in seinem Buch Gra-
vitationandCosmology[1].EinigeAnregungenhabeichfernerdemBuch[2]von
Sexl und Urbantke entnommen. Das umfassendste Standardwerk Gravitation [3]
wurdevonMisner,ThorneundWheelerverfasst.EineweitereEmpfehlunggiltden
Lehrb(cid:252)chernvonRindler[4],Stephani[5]undKenyon[6].F(cid:252)rdieGrundlagender
Mechanik verweise ich gelegentlich auf meine Mechanik [7]. (cid:220)bersichtsartikelzu
wissenschaftlichenFragen,die(cid:252)berdenRahmendiesesBuchshinausf(cid:252)hren,kann
derLeserbeiHallundPulham[8](cid:2)nden.
InengerAnlehnungandenText,teilweiseaberauchzudessenFortf(cid:252)hrungund
Erg(cid:228)nzung werden mehr als 40 (cid:220)bungsaufgaben gestellt (seit der f(cid:252)nften Auflage
mitMusterl(cid:246)sungen).DieseAufgabenerf(cid:252)llenihrenZwecknurdann,wennsievom
Studentenm(cid:246)glichsteigenst(cid:228)ndigbearbeitetwerden.DieseArbeitsolltedahervor
derLekt(cid:252)rederMusterl(cid:246)sungenliegen.
Alle bisherigen Experimente stimmen mit den Vorhersagen der Allgemeinen
Relativit(cid:228)tstheorie (cid:252)berein. Dabei wurden die Fehlergrenzen der experimentellen
ErgebnisseimLaufederZeitimmerkleiner.F(cid:252)rdieangef(cid:252)hrtenErgebnissebezie-
heichmichmeistensaufden(cid:220)bersichtsartikel[9]vonWill.Hierzugeh(cid:246)rtauchder
indirekte Nachweis von Gravitationsstrahlung (cid:252)ber die Abbremsung von Doppel-
sternsystemen (speziell PSR 1913+16). Im Jahr 2015 konnte die Gravitations-
strahlung nun erstmalig auch direkt nachgewiesen werden (im LIGO-Experiment,
www.ligo.caltech.edu).
Mit den gro(cid:223)en Entdeckungen der 1960er Jahre (Quasare, kosmische Hinter-
grundstrahlung, Pulsare) konnte die Kosmologie sich als experimentelle Wissen-
schaft etablieren. Neue astronomische Experimente seit den 1990er Jahren (wie
VI
dasHubble-Space-TeleskopundandereSatelliten-undRaumsondenmissionen)ha-
benzueinemweiterenAufschwungundzueinererstaunlichgenauenKenntnisder
kosmologischenParameter[10,11]gef(cid:252)hrt.
In der vorliegenden7. Auflage wurden die zitierten experimentellenErgebnis-
se aktualisiert, einige Fehler beseitigt, und zahlreiche kleinere Erg(cid:228)nzungen und
Verbesserungen vorgenommen.Die Behandlungder Schwarzen L(cid:246)cher wurde be-
reits in der 6. Auflage erweitert. Dabei wird auch die Frage diskutiert, ob es eine
Massenuntergrenzef(cid:252)rSchwarzeL(cid:246)chergibt,undobinBeschleunigernpotenziell
gef(cid:228)hrlicheSchwarzeL(cid:246)chererzeugtwerdenk(cid:246)nnten.
Bei ErnstW.Behrens, ClausL(cid:228)mmerzahl(Bremen), LisaEdelh(cid:228)user (Springer
Verlag), MichaelG(cid:246)lles, JanJeske, Florian Oppermann, Gerhard Sch(cid:228)fer (Jena),
David Walker, Hans Walliser und weiteren Lesern fr(cid:252)herer Auflagen bedanke ich
mich f(cid:252)r wertvolle Hinweise. Ein besonderer Dank gilt meinen Kollegen Yasusa-
da Nambu, Tatsuo Shoji und Ryo Sugihara von der Universit(cid:228)tNagoya, die die 4.
Auflage dieses Buchs ins Japanische (cid:252)bersetzt haben und die mir im Laufe dieser
m(cid:252)hevollenArbeitvielen(cid:252)tzlicheRatschl(cid:228)gegegebenhaben.EinigeErg(cid:228)nzungen
undKorrekturenindenTeilenIXbisXberuhenaufVorschl(cid:228)genvonDavidWalker
(SternwarteL(cid:252)beck).
Fehlermeldungen,BemerkungenundsonstigeHinweisesindjederzeitwillkom-
men,etwa(cid:252)berdenKontaktlinkaufmeinerHomepagewww2.uni-siegen.de=
flieba=.AufdieserHomepage(cid:2)ndensichaucheventuelleKorrekturlisten.
(cid:24)
Juli2016 TorstenFlie(cid:223)bach
VII
Literaturangaben
[1] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley and Sons, New York
1972
[2] R. U. Sexl und H. K. Urbantke, Gravitation und Kosmologie, 5. Auflage,
SpektrumAkademischerVerlag,Heidelberg2002
[3] C.W.Misner,K.S.Thorne,J.A.Wheeler,Gravitation,Freeman,SanFran-
cisco1973
[4] W. Rindler, Essential Relativity, 2nd edn., Springer Verlag, New York 1977
(rev.printing1990)
[5] H.Stephani,AllgemeineRelativit(cid:228)tstheorie,4.Auflage,DeutscherVerlagder
Wissenschaften,Berlin1991
[6] I.R.Kenyon,GeneralRelativity,2ndedn.,OxfordUniversityPress,1990
[7] T. Flie(cid:223)bach, Mechanik, 7. Auflage, Springer Spektrum Verlag, Heidelberg
2015
[8] G. S. Hall and J. R. Pulham (Eds.), General Relativity, SUSSP Publication
EdinburghandIOPP,Bristol1996
[9] C.M.Will,TheconfrontationbetweenGeneralRelativityandExperiment
arXiv:1403.7377v1[gr-qc]
[10] C.L.Bennettetal.,Nine-YearWilkinsonMicrowaveAnisotropyProbe
(WMAP)Observations:FinalMapsandResults
arXiv:1212.5225v3[astro-ph.CO]
[11] Planck Collaboration, Planck 2015 results. XIII. Cosmological parameters
arXiv:1502.01589v3[astro-ph.CO]
DieReferenzen [9]bis[11](wieauchsp(cid:228)ter nochzitierte Originalarbeiten) (cid:2)ndetderLe-
ser in dem von Physikern am meisten benutzten eprint-Archiv: Die Internetadresse lautet
http://arxiv.org/(oderauchhttp://de.arxiv.org/).DieerstenvierZifferndesZitatsgebendas
JahrunddenMonatan(alsoM(cid:228)rz2014f(cid:252)r[9]).DieBuchstabenineckigenKlammernste-
hen f(cid:252)rdasGebiet(hier gr-qc f(cid:252)rgeneral relativity andquantum cosmology). DasArchiv
istauchempfehlenswertf(cid:252)rdieSuchenachOriginalarbeitenzuausgesuchtenThemenoder
vonbestimmtenAutoren.
Inhaltsverzeichnis
I Einleitung 1
1 NewtonsGravitationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 ZielderAllgemeinenRelativit(cid:228)tstheorie(ART) . . . . . . . . . . . 4
II SpezielleRelativit(cid:228)tstheorie 7
3 Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 RelativistischeMechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 TensorenimMinkowskiraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6 Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7 RelativistischeHydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8 Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III PhysikalischeGrundlagenderART 41
9 Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10 ˜quivalenzprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
11 BewegungimGravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12 Gravitationsrotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
13 GeometrischeAspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
IV MathematischeGrundlagenderART 75
14 TensorenimRiemannschenRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
15 KovarianteAbleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
16 Parallelverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
17 VerallgemeinerteVektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
18 Kr(cid:252)mmungstensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
V GrundgesetzederART 101
19 Kovarianzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
20 GesetzemitGravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
21 EinsteinscheFeldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
22 StrukturderFeldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Inhaltsverzeichnis IX
VI StatischeGravitationsfelder 131
23 IsotropestatischeMetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
24 Schwarzschildmetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
25 BewegungimZentralfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
26 Lichtablenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
27 Periheldrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
28 Radarechoverz(cid:246)gerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
29 Geod(cid:228)tischePr(cid:228)zession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
30 Thirring-Lense-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
31 TestsderART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
VII Gravitationswellen 181
32 EbeneWellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
33 TeilchenimFeldderWelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
34 EnergieundImpulsderWelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
35 Quadrupolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
36 QuellenderGravitationsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
37 NachweisvonGravitationsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
VIII StatischeSternmodelle 223
38 Sterngleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
39 InnereSchwarzschildmetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
40 RelativistischeSterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
41 NewtonscheSterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
42 Wei(cid:223)erZwerg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
43 Neutronenstern.Pulsar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
IX DynamischeSternmodelle 261
44 Isotropezeitabh(cid:228)ngigeMetrikundBirkhoff-Theorem . . . . . . . . 261
45 Schwarzschildradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
46 Isotropezeitabh(cid:228)ngigeMetrikinGau(cid:223)koordinaten . . . . . . . . . 269
47 Gravitationskollaps.Supernova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
48 SchwarzesLoch.Quasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
49 Massenuntergrenzef(cid:252)rSchwarzeL(cid:246)cher? . . . . . . . . . . . . . . 293
X Kosmologie 300
50 KosmologischesPrinzipundRobertson-Walker-Metrik . . . . . . . 300
51 Rotverschiebungs-Abstands-Relation. . . . . . . . . . . . . . . . . 308
X Inhaltsverzeichnis
52 KosmischeEntfernungsleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
53 Weltmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
54 Weltzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
55 KosmologischesStandardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
L(cid:246)sungenderAufgaben 351
Register 377