Table Of ContentDEPARTAMENTO
DE CIENCIAS
SECCIÓN MATEMÁTICAS
REPORTE DE INVESTIGACIÓN
N° 31
Serie: B
ALGUNAS APLICACIONES DE
LAS BASES DE GRÖBNER
Maynard Kong W., Ricardo Bances H., Nélida Medina G.,
Mariano González U., Maritza Luna V. y Roy Sánchez G.
Lima, mayo de 2014
Sección Matemáticas
Departamento de Ciencias
Pontificia Universidad Católica del Perú
Apartado 1761
Lima‐Perú
Algunas Aplicaciones de las Bases de Gröbner
Maynard Kong W., Ricardo Bances H., Nélida Medina G.,
Mariano González U., Maritza Luna V. y Roy Sánchez G.
Revisado por:
El Director y la Comisión de Publicaciones del Departamento Académico de Ciencias
©2014 Departamento de Ciencias‐ Pontificia Universidad Católica del Perú. Av. Universitaria
1801, San Miguel
Teléfono: 626 2000
E‐mail: [email protected]
http://www.pucp.edu.pe
Primera edición: Mayo de 2014
100 ejemplares
ISBN: 978‐612‐46647‐1‐7
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: 2014‐07067
Diagramación de Interiores: Carlos E. Iman Ancajima
Impreso en Editorial Moshera S.R.L.
Jr. Tacna 2969, San Martín de Porres
Telefax: 567‐9299
[email protected]
Derechos reservados, prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o
parcialmente, sin permiso expreso de los editores.
Índice general
Introducción 5
1. Anillodepolinomiosk[x ,··· ,x ] 7
1 n
1.1. Monomios.Órdenesmonomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Algoritmodeladivisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. TeoremadelabasedeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. BasesdeGröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1. Definiciónypropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2. AlgoritmodeBuchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. AplicacionesdelasBasesdeGröbner 17
2.1. Variedadesafinesysistemasdeecuacionespolinomiales. . . . . . . . . . 17
2.1.1. Variedadesafines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2. Sistemasdeecuacionespolinomiales . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Problemadelostrescolores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Optimizaciónrestringidaaunsistemapolinomial . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Programaciónentera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Bibliografía 41
3
Introducción
ElobjetivodeestapublicaciónespresentarunaintroducciónalasBasesdeGröbnery
desarrollar algunas de sus aplicaciones. En primer lugar se expone diferentes maneras de
ordenarlosmonomiosenelanillodepolinomiosk[x ,x ,··· ,x ],dondek esuncampo;
1 2 n
y una generalización del algoritmo de la división. Luego, se define una base de Gröbner
de un ideal I ⊂ k[x ,x ,··· ,x ] y se construye una de ellas, utilizando el algoritmo de
1 2 n
Buchberger.
Como aplicaciones de las Bases de Gröbner se presentan: solución de sistemas de
ecuaciones polinomiales en varias variables, relación de las va-
riedades algebraicas con los ideales de polinomios, solución del problema de los tres
colores, solución de problemas de optimización con restricciones polinomiales en varias
variables y solución de problemas de programación entera. En todas estas aplicaciones,
pararealizarloscálculos,hemosusadoelsoftwareMathematicaV.8.0.4.0.
5
Capítulo 1
Anillo de polinomios k[x , · · · , x ]
1 n
Enestasecciónpresentamoslasdefinicionesyresultadosnecesariosparalaconstruc-
cióndeunabasedeGröbnerdeunidealI ⊂ k[x ,··· ,x ].
1 n
1.1. Monomios. Órdenes monomiales
Definición 1.1.1. Se denomina monomio a un producto de una colección de variables
x ,x ,··· ,x delaforma
1 2 n
xα = xα1xα2...xαn
1 2 n
dondeα = (α ,α ,··· ,α ) ∈ Zn .
1 2 n ≥0
Enparticular,siα = (0,...,0),xα = x0 = 1.
Elgradototaldeunmonomioxα sedefinepor
|α| = α +α +...+α .
1 2 n
Definición1.1.2. Seakuncampo.Unpolinomiof enlasvariablesx ,x ,··· ,x esuna
1 2 n
combinaciónlinealdeunnúmerofinitodemonomiosconcoeficientesenkyserepresenta
mediante
(cid:88)
f = c xα, c ∈ k. (1.1.1)
α α
α
Elconjuntodepolinomiosconcoeficientesenk esunanilloconmutativoconelemen-
toidentidadysedenotapork[x ,··· ,x ].
1 n
7
8
Definición 1.1.3. Un orden monomial sobre k[x ,x ,··· ,x ] es una relación (cid:31) en el
1 2 n
conjunto de los monomios xα, α ∈ Zn , o equivalentemente una relación (cid:31) en Zn que
≥0 ≥0
satisface:
1. (cid:31)esunordentotalsobreZn .
≥0
2. Siα (cid:31) β yγ ∈ Zn ,entoncesα+γ (cid:31) β +γ.
≥0
3. (cid:31) es un buen orden en Zn . Esto significa que cada subconjunto no vacío de Zn
≥0 ≥0
tieneunelementominimalbajoelorden(cid:31).
Seanxα yxβ dondeα,β ∈ Zn ,
≥0
α = (α ,α ,··· ,α ), β = (β ,β ,··· ,β )
1 2 n 1 2 n
y considerando x > x > ··· > x , usaremos los siguientes órdenes mono-
1 2 n
miales:
a) OrdenLexicográfico(lex).Decimosquexα (cid:31) xβ,sienladiferencia(α ,··· ,α )−
lex 1 n
(β ,··· ,β )laprimeracoordenadanonula,deizquierdaaderecha,espositiva.
1 n
b) OrdenLexicográficoGraduado(grlex).
|α| > |β|
xα (cid:31) xβ ⇔ ó
grlex
|α| = |β|yxα (cid:31) xβ,
lex
esto es, los monomios se ordenan por grado total, y en caso de igualdad de grados,
seusaelordenlexicográfico.
9
c) OrdenLexicográficoGraduadoInverso(grevlex).
|α| > |β|
ó
xα (cid:31) xβ ⇔ |α| = |β| yen(α ,··· ,α )−(β ,··· ,β )
grevlex 1 n 1 n
laprimeracoordenadanonula,dederecha
aizquierda,esnegativa.
Ejemplo 1.1.4. Los monomios x2y2z2, x3, xy4z, x2y3z en k[x,y,z] con x > y > z se
ordenan:
segúnelordenlexicográfico
x3 (cid:31) x2y3z (cid:31) x2y2z2 (cid:31) xy4z,
lex lex lex
segúnelordenlexicográficograduado
x2y3z (cid:31) x2y2z2 (cid:31) xy4z (cid:31) x3,
grlex grlex grlex
segúnelordenlexicográficograduadoinverso
x2y3z (cid:31) xy4z (cid:31) x2y2z2 (cid:31) x3.
grevlex grevlex grevlex
Definición 1.1.5. Sea f = (cid:80) c xα un polinomio no nulo, α = (α ,··· ,α ) en Zn .
α α 1 n ≥0
Fijadounordenmonomialenk[x ,x ,··· ,x ],definimos:
1 2 n
Multigradodef:M(f) = m´ax{α ∈ Zn , c (cid:54)= 0}.
≥0 α
Coeficientelíderdef:LC(f) = c ∈ k.
M(f)
Monomiolíderdef:LM(f) = xM(f).
Términolíderdef:LT(f) = LC(f)LM(f).
