Algoritmos para Escoamentos Incompressíveis

98 Pages·2017·5.06 MB·Portuguese

Esc.
Incompressível
BrunoS.
Carmo Algoritmos para Escoamentos Incompressíveis
Formulação
variacional PME5425 – Métodos de Elementos Finitos de Alta Ordem
Métodos com Aplicações em Mecânica dos Fluidos e Transferência
acoplados
de Calor
Métodos
segregados
Velocidade–
Vorticidade
Mínimos Prof. Bruno S. Carmo
quadrados
ProgramadePós-GraduaçãoemEngenhariaMecânica
Termosnão
lineares EscolaPolitécnicadaUniversidadedeSãoPaulo
Verificaçãoe
validação
2017
Referências
Introdução
Esc.
Estudaremos nesta aula o escoamento incompressível e
Incompressível
isotérmico de um fluido newtoniano com propriedades
BrunoS.
Carmo
constantes. Este escoamento é governado pelas equações de
Formulação Navier–Stokes para escoamento incompressível.
variacional
Métodos
acoplados ∂v 1
+v·∇v = − ∇p+ν∇2v
Métodos
∂t ρ
segregados
Velocidade– ∇·v = 0
Vorticidade
Mínimos
quadrados
Discutiremos algoritmos para a solução direta destas equações
Termosnão
lineares (DNS) ou somente das grandes escalas (LES).
Verificaçãoe
validação Estaremos interessados em formulações que podem ser
Referências estendidas a três dimensões, usando variáveis primitivas
(velocidade e pressão) ou velocidade e vorticidade.
Sumário
Esc. 1 Formulação variacional do problema de Stokes
Incompressível
BrunoS. 2 Métodos acoplados para formulação em variáveis primitivas
Carmo
Formulação 3 Métodos segregados para variáveis primitivas
variacional
Métodos
4 Formulação velocidade–vorticidade
acoplados
Métodos
segregados 5 Método dos mínimos quadrados
Velocidade–
Vorticidade
6 Discretização dos termos não lineares
Mínimos
quadrados
7 Verificação e validação
Termosnão
lineares
Soluções exatas das equações de Navier–Stokes
Verificaçãoe
validação Análise de estabilidade global
Referências
Simulações diretas de escoamentos turbulentos (DNS)
Sumário
Esc. 1 Formulação variacional do problema de Stokes
Incompressível
BrunoS. 2 Métodos acoplados para formulação em variáveis primitivas
Carmo
Formulação 3 Métodos segregados para variáveis primitivas
variacional
Métodos
4 Formulação velocidade–vorticidade
acoplados
Métodos
segregados 5 Método dos mínimos quadrados
Velocidade–
Vorticidade
6 Discretização dos termos não lineares
Mínimos
quadrados
7 Verificação e validação
Termosnão
lineares
Soluções exatas das equações de Navier–Stokes
Verificaçãoe
validação Análise de estabilidade global
Referências
Simulações diretas de escoamentos turbulentos (DNS)
Formulação variacional – Stokes estacionário I
Esc. Para escrever as equações governantes na forma variacional,
Incompressível
precisamos definir os espaços funcionais apropriados para os
BrunoS.
Carmo campos de pressão e velocidade, e para isso precisamos
considerar as derivadas espaciais de mais alta ordem envolvidas.
Formulação
variacional Podemos então considerar o problema de Stokes estacionário:
Métodos
acoplados −ν∇2v+∇p = f,
Métodos
segregados ∇·v = 0,
Velocidade– v = 0 em ∂Ω.
Vorticidade
Mínimos
onde f é uma força externa e p está escalada por ρ.
quadrados
Termosnão
lineares Os espaços apropriados são:
Vvaelridifiacçaãçoãoe H01(Ω) = {w ∈ H1(Ω) | w = 0 em ∂Ω},
Referências (cid:26) (cid:12) Z (cid:27)
L20(Ω) = q ∈ L2(Ω) (cid:12)(cid:12)(cid:12) qdx = 0 .
Ω
Formulação variacional – Stokes estacionário II
Esc.
Incompressível
BrunoS. Forma variacional do sistema de equações de Stokes em regime
Carmo
estacionário, a ser resolvido de forma acoplada:
Formulação
variacional (∇w,ν∇v)−(∇·w,p) = (w,f), ∀w ∈ U ≡ H1(Ω)3,
0
Métodos
acoplados −(q,∇·v) = 0, ∀q ∈ M ≡ L2(Ω).
0
Métodos
segregados
Velocidade– Os espaços discretos para a velocidade e a pressão (Uδ,Mδ)
Vorticidade
podem ser subconjuntos dos espaços definidos acima usando
Mínimos
quadrados polinômios de grau ≤ P para um subdomínio Ωe. Entretanto,
Termosnão
lineares por causa da forma do acoplamento entre pressão e velocidade,
Verificaçãoe precisamos adotar espaços de funções que obedeçam à
validação
condição inf-sup (div-stability).
Referências
Condição inf-sup
Esc.
Incompressível O espaço das pressões, M, tem que ser restrito, de forma e
BrunoS. excluir modos espúrios, definidos pela condição
Carmo
Formulação (w,∇p∗) = 0
variacional
Métodos
acoplados Se o espaço inteiro Mδ é utilizado, então qualquer par
Métodos [vδ,pδ +p∗] também é uma solução do problema de Stokes
segregados
discreto.
Velocidade–
Vorticidade
Não vamos explorar neste curso os detalhes matemáticos desta
Mínimos
quadrados condição, ao invés disso, vamos nos ater a dizer que o
Termosnão
problema pode ser solucionado usando uma discretização
lineares
Verificaçãoe PP(Ωe)/PP−2(Ωe), ou seja, usar um polinômio de ordem P
validação
para o campo de velocidades e um de ordem P −2 para o
Referências
campo de pressões.
Alternativas para evitar os modos espúrios
Esc.
Incompressível Discretizações que não respeitem a condição inf-sup, mas que
BrunoS. sejam mais convenientes do ponto de vista numérico, podem
Carmo
ser utilizadas, desde que outras estratégias sejam empregadas,
Formulação por exemplo:
variacional
Métodos Fazer uma decomposição de valor singular do operador de
acoplados
pressão, de modo a filtrar os modos espúrios (Phillips &
Métodos
segregados Roberts, 1993);
Velocidade–
Vorticidade Usar métodos de estabilização (Franca et al. , 1993);
Mínimos
quadrados
Complementar espaço de velocidades com função de bolha
Termosnão
lineares (suporte local) (Canuto, 1994);
Verificaçãoe
validação Usar uma formulação segregada, onde uma equação de
Referências Poisson para a pressão é resolvida, com condições de
contorno apropriadas.
Sumário
Esc. 1 Formulação variacional do problema de Stokes
Incompressível
BrunoS. 2 Métodos acoplados para formulação em variáveis primitivas
Carmo
Formulação 3 Métodos segregados para variáveis primitivas
variacional
Métodos
4 Formulação velocidade–vorticidade
acoplados
Métodos
segregados 5 Método dos mínimos quadrados
Velocidade–
Vorticidade
6 Discretização dos termos não lineares
Mínimos
quadrados
7 Verificação e validação
Termosnão
lineares
Soluções exatas das equações de Navier–Stokes
Verificaçãoe
validação Análise de estabilidade global
Referências
Simulações diretas de escoamentos turbulentos (DNS)
Métodos acoplados para formulação em variáveis
primitivas
Esc.
Incompressível
BrunoS.
Carmo
Formulação
Nos métodos acoplados, a condição de inf-sup tem que ser
variacional
Métodos respeitada.
acoplados
Métodos Não é necessário definir condições de contorno para a
segregados
pressão.
Velocidade–
Vorticidade
Discutiremos três formulações: Uzawa, subestruturação e
Mínimos
quadrados penalidade.
Termosnão
lineares
Verificaçãoe
validação
Referências