Algorithmische Geometrie polyedrische und algebraische Methoden; [Bachelor geeignet!]

239 Pages·2008·2.78 MB·English

by  Joswig Michael

Michael Joswig
Thorsten Theobald
Algorithmische
Geometrie
vieweg studium
Aufbaukurs Mathematik
Herausgegeben von Martin Aigner, Peter Gritzmann, Volker Mehrmann
und Gisbert Wüstholz
Walter Alt Helmut Koch
Nichtlineare Optimierung Zahlentheorie
Martin Aigner Ulrich Krengel
Diskrete Mathematik Einführung in die Wahrscheinlich-
keitstheorie und Statistik
Albrecht Beutelspacher/Ute Rosenbaum
Projektive Geometrie Wolfgang Kühnel
Differentialgeometrie
Gerd Fischer
Ebene algebraische Kurven Ernst Kunz
Einführung in die algebraische
Wolfgang Fischer und Ingo Lieb Geometrie
Funktionentheorie
Wolfgang Lück
Otto Forster Algebraische Topologie
Analysis 3
Werner Lütkebohmert
Klaus Hulek Codierungstheorie
Elementare Algebraische Geometrie
Reinhold Meise und Dietmar Vogt
Michael Joswig und Thorsten Theobald Einführung in die Funktionalanalysis
Algorithmische Geometrie
Gisbert Wüstholz
Horst Knörrer Algebra
Geometrie
Grundkurs Mathematik
Matthias Bollhöfer/Volker Mehrmann Otto Forster/Rüdiger Wessoly
Numerische Mathematik Übungsbuch zur Analysis 1
Gerd Fischer Otto Forster
Lineare Algebra Analysis 2
Hannes Stoppel/Birgit Griese Otto Forster/Thomas Szymczak
Übungsbuch zur Linearen Algebra Übungsbuch zur Analysis 2
Gerd Fischer Gerhard Opfer
Analytische Geometrie Numerische Mathematik
für Anfänger
Otto Forster
Analysis 1
vieweg
Michael Joswig
Thorsten Theobald
Algorithmische
Geometrie
Polyedrische und
algebraische Methoden
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Prof. Dr. Michael Joswig
Fachbereich Mathematik
Technische Universität Darmstadt
Schloßgartenstraße 7
64289 Darmstadt
[email protected]
Prof. Dr. Thorsten Theobald
Institut für Mathematik, FB 12
Johann Wolfgang Goethe-Universität
Robert-Mayer-Str. 10
60325 Frankfurt am Main
[email protected]
1. Auflage 2008
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008
Lektorat:Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Susanne Jahnel
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Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Textgestaltung: Christoph Eyrich, Berlin
Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0281-1
Vorwort
DieGeometriegiltalsdasältestesystematisierteTeilgebietderMathematik.Auf-
grundderwachsendenFähigkeitenvonComputernnehmenalgorithmischeZu-
gängeeinenimmerhöherenStellenwertinderGeometrieein.VordiesemHinter-
grundverstehenwirAlgorithmischeGeometrieineinemsehrallgemeinenSinnals
denjenigenTeilderGeometrie,derprinzipielleineralgorithmischenBehandlung
zugänglichist.
IndemvorliegendenLehrbuchsolleinmathematischorientierter,breiterZugang
zualgorithmischenFragestellungenderGeometriegeschaffenwerden.Wirwei-
sendaraufhin,dassessichumeineneinführendenTexthandelt.Beschränkungen
sindalsounabdingbar,unddieStoffauswahlistzwangsläufigvonVorliebender
Autorengeprägt.
ImerstenTeildesBucheswerdenProblemeundTechnikenbehandelt,diesich
auf polyedrische (das heißt, linear begrenzte) Objekte beziehen. Hierzu gehö-
renbeispielsweise Algorithmen zurBerechnungkonvexer Hüllen und die Kon-
struktion von Voronoi-Diagrammen. Methoden der algorithmischen algebrai-
schen Geometrie stehen im Zentrum deszweiten Teils. Schwerpunkte hier sind
Gröbnerbasen und das Lösen polynomialer Gleichungssysteme. Der dritte Teil
widmetsichschließlichausgewähltenAnwendungenausComputergrafik,Kur-
venrekonstruktionundRobotik.
VorrangigesAnliegenistes,Querverbindungenalgorithmisch-geometrischer
FragestellungenzuanderenTeilgebietenderMathematik(wiederalgebraischen
Geometrie,derOptimierungoderderNumerik)herzustellen.Hierzukonzentrie-
renwir uns auf einige wesentliche Ideenund Methoden. Zusätzlich wollen wir
einenEinblickindieMöglichkeitenaktuellerComputersoftware(wiepolymake,
MapleoderSingular)indiesemKontextgeben.
ErwarteteVorkenntnisse
Das Buch richtet sich an fortgeschrittene Studierende in den Bachelor-Studien-
gängenMathematikundInformatiksowieanStudierendederIngenieurwissen-
schaften,diesichfürAnwendungenderalgorithmischenGeometrie(etwainder
Robotik)interessieren.
Vorausgesetzt wird der gängige Stoff der Anfangssemester aus der linearen
AlgebraundderAnalysis.ZusätzlicheKenntnisseindiskreterMathematik,Op-
vi
timierung,AlgorithmenundAlgebrasindhilfreich;dasausdiesenBereichenbe-
nötigteMaterialwirdaberimTexthergeleitetoderindenAnhängenzusammen-
gestellt.
ZielsetzungdesBuches
Es ist nicht beabsichtigt, alle Teilaspekte umfassend zu behandeln. Stattdessen
sollen – ausgehend von algorithmischen Fragestellungen in verschiedenen ak-
tuellen Teilbereichen der Geometrie – vielfältige Einstiegsmöglichkeiten in die
(meistenglischsprachige)Spezialliteraturgeschaffenwerden.
Im Gegensatz zu aus der Informatik hervorgegangen Büchern zum selben
Thema wird der für effiziente Implementierungen oftmals wichtige Aspekt der
abstraktenDatentypennuramRandebehandelt.
Danksagung
DiesesBuchistausVorlesungenderAutorenanderTechnischenUniversitätBer-
lin, der Technischen Universität Darmstadt und der Johann Wolfgang Goethe-
UniversitätFrankfurtamMainhervorgegangen.Die HörerdieserVeranstaltun-
genhabenunszahlreicheAnregungengegeben.
Einige Bilder wurden uns freundlicherweise von Sven Herrmann (Abbil-
dung13.3)undNikolausWitte(Abbildung1.1)zurVerfügunggestellt.Christoph
EyrichhatunswertvolleHilfebeiderGestaltunggegeben.
FürKommentareundKritikbedankenwirunsganzbesondersbeiRenéBran-
denberg, Peter Gritzmann, Martin Henk, Sven Herrmann, Katja Kulas, Alexan-
der Martin, Werner Nickel, Marc Pfetsch, Cordian Riener, Thilo Rörig, Moritz
Schmitt, Achill Schürmann, Dieter Schuster, Reinhard Steffens, Natascha Stein-
brügge,TanjaTreffinger,AxelWerner,ClaudiaWessling,NikolausWitte,Ronald
WotzlawundGünterM.Ziegler.
DarmstadtundFrankfurtamMain, MichaelJoswig
imAugust2007 ThorstenTheobald
1 Einführung und Überblick
In methodischer Hinsicht betrachten wir in diesem Buch die Geometrie von
einem analytischen, also koordinatenbasierten Standpunkt aus. Dieser Zugang
machtdieFragenachder Darstellungdergeometrischen DatenimRechner zu-
meistsehreinfach.Hierbeiwollenwir unsnichtauflineareProblemebeschrän-
ken.DiesesVorgehenistzumeinenvomtheoretischenStandpunktausreizvoll,
zumanderenaberauchpraktischmotiviertdurchFortschritteinderComputeral-
gebraunddurchdieVerfügbarkeitschnellerHardware.
InKapitel2stellenwireinigeGrundlagenbereit.Zunächsteinmalbietetsich
für viele geometrische Anwendungen die Sprache der projektiven Geometrie an.
Da diese oft nicht mehr zum Standardrepertoireder Grundvorlesungen gehört,
diskutierenwirkurzdiebenötigtenKonzepteprojektiverRäumeundprojektiver
Transformationen.DarüberhinauswirdindemKapitelindenKonvexitätsbegriff
eingeführt.
Aus dem analytischen Zugang ergibt sich eine Organisation des Textes ent-
langderFragestellungnachVerfahrenzurLösungvonGleichungssystemenund
ihrenVariantensteigenderKomplexitätinBezugaufdasnotwendigemathema-
tischeRüstzeug.
1.1 Linearealgorithmische Geometrie
DerzentraleGrundbausteindermeistenvorgestelltenAlgorithmenistdasGauß-
scheEliminationsverfahren.DiesesistGegenstand jederVorlesungüberlineareAl-
gebra.IngeometrischerSprechweisebehandeltderAlgorithmusdiefolgendeFra-
gestellung: Zu gegebenen affinen Hyperebenen H ,...,H im Vektorraum Kn
1 k
übereinembeliebigenKörperKsei
= ∩···∩
A H H . (1.1)
1 k
JenachVariantewirdvon AalsAusgabeeine(affine)BasisodernurdieDimen-
sionverlangt.
UnserStreifzugdurchdieeigentlichealgorithmischeGeometriebeginntmitden
reellenZahlenunddemÜbergangvonGleichungenzuUngleichungen.Betrach-
2 1 EinführungundÜberblick
Abbildung1.1.BeispielfüreinbeschränktesPolyederinR3.HierbeihandeltessichumeinPolytop,
dasdualzueinemZonotopist.IndemgürtelartigenStreifeninderMitteliegensehrvielesehrschma-
leFacetten.
tetmanzujederHyperebene
(cid:1) (cid:2)
n
H = x ∈Rn : ∑a x = b
i ij j i
j=1
denabgeschlossenenHalbraum
(cid:1) (cid:2)
n
H+ = x ∈Rn : ∑a x ≥b ,
i ij j i
j=1
(cid:3)
dann definiert der Durchschnitt P = ki=1Hi+ ein (konvexes) Polyeder (siehe Ab-
bildung1.1füreinBeispielinR3).
PolyederbildeneingeometrischesGrundkonzeptfürdiealgorithmischeGeo-
metrieunddielineareOptimierung.InhohenDimensionenistdiekombinatori-
scheVielfaltvonPolyedernerheblichgrößeralssichdurchniedrigdimensionale
Visualisierungen wie in Abbildung 1.1 erahnen lässt. Eine für die Komplexität
vieler Algorithmen grundlegende Frage ist, wie viele Ecken ein durch k linea-
reUngleichungendefiniertesPolyedermaximalhabenkann.DieserSachverhalt
wurde erstim Jahr 1970durchdas Upper-Bound-Theoremgeklärt, dessenBeweis
(ineineretwasabgeschwächtenVersion,sieheSatz3.44)unddieKlärungderzu-
grunde liegendengeometrischen Struktur einerstesEtappenzieldesBuchesist.
Für die algorithmische Geometrie ist das Resultat von besonderer Bedeutung,
weilsichhierausKomplexitätsabschätzungenfüreinigeVerfahrenergeben.
InKapitel3studierenwirsystematischEigenschaftenvonPolytopen(Seiten-
verband, Polarität, Kombinatorik von Polytopen) bis hin zur Euler-Formel und
denDehn-Sommerville-Gleichungen.AmEndedesKapitelsillustrierenundvisuali-
sierenwireinigederÜberlegungenmitderGeometrie-Softwarepolymake.Diese
1.1 LinearealgorithmischeGeometrie 3
wird auch in späteren Kapiteln zur Verdeutlichung der vorgestellten Algorith-
menverwendet.
KernstückvielermathematischerAnwendungenistdielineareOptimierung.Hier-
beisollaufeinem(durchlineareUngleichungengegebenen)PolyederPdasMi-
nimum (bzw. Maximum) bezüglich einer linearen Zielfunktion bestimmt wer-
den.FüralgorithmischeLösungenistzudemzubeachten,dassdasPolyederleer
sein kann, oder die Zielfunktion auf P unbeschränkt. In Kapitel 4 geben wir ei-
ne kompakte Einführung in die relevanten Aspekte der linearen Optimierung.
Insbesondere diskutieren wir den sowohl theoretisch als auch praktisch wichti-
genSimplex-Algorithmus.Dabeibetonenwir–unseremThemaentsprechend–die
geometrischeSichtweise.
EininteressantesalgorithmischesProblemderPolyedertheoriebestehtdarin,
alleEckeneinesdurchUngleichungengegebenenPolyedersaufzuzählen.Mittels
der in Abschnitt 3.3 erläuterten Dualitätstheorie ist das äquivalent zur Bestim-
mung eines minimalen Ungleichungssystems der konvexen Hülle einer Punkt-
menge. Dem Konvexe-Hülle-Problem widmen wir uns in Kapitel 5. Für Anwen-
dungenist hierbeizu beachten,dassdiesesProblem(alleinschon aufgrund der
nach dem Upper-Bound-Theoremmöglicherweise großen Ausgabe) in höheren
Dimensionenpraktischschwierigwird.VonallgemeinerBedeutungfürdenEnt-
wurfeffizienterAlgorithmenistdasPrinzipDivide-and-Conquer(„Teileundherr-
sche“),daswiranhandderBerechnungebenerkonvexerHüllenvorstellen.
Im nächsten Schritt untersuchen wir Voronoi-Diagramme und die dazu dualen
Delone-Zerlegungen. Zu einer gegebenen Punktmenge S = {s(1),...,s(m)} im n-
dimensionalenRaumRnbestehtdiezueinemPunkts(i)gehörigeVoronoi-Region
ausdenjenigen Punkten im Rn, die(bezüglichdeseuklidischen Abstands)vom
Punkts(i)höchstenssoweitentferntsindwievonallenanderen.
In Kapitel 6 zeigen wir zunächst, wie sich aus Konvexe-Hülle-Algorithmen
unmittelbar Verfahren zur Berechnung von Voronoi-Diagrammen in beliebiger
Dimensiongewinnenlassen.Anschließendkonzentrierenwirunswiederaufden
ebenenFallundstellendenWellenfront-Algorithmusvor.HierzusindKenntnisse
über abstrakte Datentypen von Vorteil. Die wichtigsten Prinzipien werden wir
erläutern;füreinetiefergehendeDiskussioneinschlägigerDatenstrukturenwird
derLeserallerdingsaufdieweiterführendeLiteraturverwiesen.
Voronoi-Diagramme dienen beispielsweise dazu, das sogenannte Postamt-
Problem, eine klassische Anwendung der algorithmischen Geometrie, zu lösen.
HierbeisollzueinergegebenenendlichenPunktmenge S ⊆ R2 fürjedenPunkt
p ∈ R2 effizientderjenige Punkt s ∈ S bestimmt werden, der den euklidischen
|| − ||
Abstand p s minimiert. Die Punkte ausS kannmansichalsPostämter vor-
stellen,währenddiePunkte pdieKundensind.Natürlichgibteshierzueinenai-
vealgorithmischeLösungmittelsvollständigenAusprobierens(dieauchsinnvoll