Algèbre linéaire II

18 Pages·2017·0.27 MB·French

Exo7
Algèbre linéaire II
ExercicesdeJean-LouisRouget.Retrouveraussicettefichesurwww.maths-france.fr
*trèsfacile **facile ***difficultémoyenne ****difficile *****trèsdifficile
I:Incontournable
Exercice1 ***
Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer qu’il existe un
projecteur petunautomorphismegdeE telque f =g◦p.
Correction(cid:72) [005598]
Exercice2 **I
Soient E un C-espace vectoriel non nul de dimension finie n et f un endomorphisme de E tel que ∀x ∈ E,
∃p∈N∗ telque fp(x)=0.Montrerque f estnilpotent.
Correction(cid:72) [005599]
Exercice3 ***
SoitE unC-espacevectorieldedimensionfinienonnulle.Soient f etgdeuxprojecteursdistinctsetnonnuls
deE telsqu’ilexistedeuxcomplexesaetbtelsque:
fg−gf =af +bg.
1. Montrerquesia(cid:54)=0eta(cid:54)=1ona:Im(f)⊂Im(g).Endéduirequegf = f puisquea+b=0puisque
a=−1.
2. Montrerquesia(cid:54)=0eta(cid:54)=−1,onaKer(g)⊂Ker(f).Quepeut-onendéduire?
3. Montrerquesi f etgsontdeuxprojecteursquinecommutentpasetvérifientdeplus fg−gf =af+bg
alors
(a,b)estélémentde{(−1,1),(1,−1)}.Caractériseralorschacundecescas.
Correction(cid:72) [005600]
Exercice4 ***
SoientE etF deuxK-espacesvectorielset f uneapplicationlinéairedeE versF.
1. Montrerque[(∀g∈L(F,E), f ◦g◦ f =0⇒g=0)⇒ f bijective].
2. OnposedimE = p,dimF =netrgf =r.Calculerladimensionde{g∈L(F,E)/ f ◦g◦ f =0}.
Correction(cid:72) [005601]
Exercice5 **I
SoitE =K [X].uestl’endomorphismedeE définipar:∀P∈E, u(P)=P(X+1)−P.
n
1. DéterminerKeruetImu.
 
0 1 0 ... 0
 ... ... ... ... ... 
 
2. Déterminerexplicitementunebasedanslaquellelamatricedeuest ... 0 .
 ... ... 1 
0 ... ... 0
1
Correction(cid:72) [005602]
Exercice6 ***
 
1 cos(a) cos(2a) cos(3a)
 cos(a) cos(2a) cos(3a) cos(4a) 
Rangdelamatrice .
 cos(2a) cos(3a) cos(4a) cos(5a) 
cos(3a) cos(4a) cos(5a) cos(6a)
Correction(cid:72) [005603]
Exercice7 ***
SoitA=(ai,j)1(cid:54)i,j(cid:54)ndéfinieparai,j=1sii= j, jsii= j−1et0sinon.MontrerqueAestinversibleetcalculer
A−1.
Correction(cid:72) [005604]
Exercice8 ***
Soient n un entier naturel non nul puis A∈M (K). Soit f l’endomorphisme de M (K) qui à une matrice X
n n
associeAX+XA.CalculerTr(f).
Correction(cid:72) [005605]
Exercice9 **
SoientaunréelnonnuletAetBdeuxélémentsdeM (R).
n
RésoudredansM (R)l’équationd’inconnueM :aM+Tr(M)A=B.
n
Correction(cid:72) [005606]
Exercice10 **
Rangdelamatrice(i+ j+ij)1(cid:54)i,j(cid:54)n.
Correction(cid:72) [005607]
Exercice11 **
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 0 1 1
SoientI= etJ= .SoitE ={M(x,y)=xI+yJ, (x,y)∈R2}.
0 1 0 1
1. Montrerque(E,+,.)estunR-espacevectorieletprécisersadimension.
2. Montrerque(E,+,×)estunanneaucommutatif.
3. Quelssontlesélémentsinversiblesdel’anneau(E,+,×)?
4. RésoudredansE leséquations:
(a) X2=I
(b) X2=0
(c) X2=X.
5. Calculer(M(x,y))n pournentiernatureletxetyréels.
Correction(cid:72) [005608]
Exercice12 ***
Onappelleidéalbilatèredel’anneau(M (K),+,×)toutsous-ensembleIdeM (K)telque
n n
a)(I,+)estungroupeetb)∀A∈I,∀M∈M (K),AM∈I etMA∈I.
n
Déterminertouslesidéauxbilatèresdel’anneau(M (K),+,×).
n
Correction(cid:72) [005609]
2
Exercice13 ***
 
1+a 1 ... ... 1
1
 1 ... ... ... 
 
Soienta1,...,an nréelstousnonnulsetA= ... ... ... ... .
 ... ... ... 1 
1 ... ... 1 1+a
n
InversedeAencasd’existence?
Correction(cid:72) [005610]
Exercice14 **
SoientA=(ai,j)1(cid:54)i,j(cid:54)n etB=(bi,j)1(cid:54)i,j(cid:54)n deuxmatricescarréesdeformatntellesqueai,j =0si j(cid:54)i+r−1
etbi,j =0si j(cid:54)i+s−1oùretssontdeuxentiersdonnésentre1etn.MontrerquesiAB=(ci,j)1(cid:54)i,j(cid:54)n alors
c =0si j(cid:54)i+r+s−1.
i,j
Correction(cid:72) [005611]
Exercice15 **I
 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 
0 1 2 n−1 n
...
 0 0 0 0 0 
 
 (cid:18)1(cid:19) (cid:18)2(cid:19) (cid:18)n(cid:19) 
 0 ... ... 
 
1 1 1
 
 (cid:18) (cid:19) 
 ... ... 2 ... 
Calculerl’inversede 2 .
 
 ... 
 (cid:18) (cid:19) 
 ... ... n−1 ... 
 n−1 
 (cid:18) (cid:19) 
 n 
0 ... ... 0
n
Correction(cid:72) [005612]
Exercice16 ***I
Soitnunentiernaturelsupérieurouégalà2etω =e2iπ/n.
SoitA=(ω(j−1)(k−1))1(cid:54)j,k(cid:54)n.MontrerqueAestinversibleetcalculerA−1.
Correction(cid:72) [005613]
Exercice17 **I
SoitAunematricecarréedeformatn.Calculerledéterminantdesacomatrice.
Correction(cid:72) [005614]
Exercice18 ***I
SoitAunematricecarréedeformatn.EtudierlerangdecomAenfonctiondurangdeA.
Correction(cid:72) [005615]
Exercice19 ***
RésoudredansM (R)l’équationM=comM (n(cid:62)2).
n
Correction(cid:72) [005616]
Exercice20 ***IThéorèmede HADAMARD
3
SoitA=(ai,j)1(cid:54)i,j(cid:54)n∈Mn(C)telleque∀i∈[[1,n]],|ai,i|>∑j(cid:54)=i|ai,j|.MontrerqueA∈GLn(C).(Unematrice
àdiagonalestrictementdominanteestinversible.)
Correction(cid:72) [005617]
Exercice21 *I
Existe-t-ildeuxmatricescarréesAetBtellesqueAB−BA=I .
n
Correction(cid:72) [005618]
Exercice22 **I
Soit f une forme linéaire sur M (C) telle que ∀(A,B)∈(M (C))2, f(AB)= f(BA). Montrer qu’il existe un
n n
complexeatelque f =aTr.
Correction(cid:72) [005619]
Exercice23 ***
(cid:18) 1 −a (cid:19)
SoitA = n (aréeldonné).Calculerlim An.
n a 1 n→+∞ n
n
Correction(cid:72) [005620]
Exercice24 **
SoientAunematricecarréedeformatnet f l’applicationdeM (C)danslui-mêmequiàunematriceMassocie
n
MA.Trouverlamatricede f danslabasecanoniquedeM (C)(ordonnéeparl’ordrelexicographique).
n
Correction(cid:72) [005621]
Exercice25 ***
 
A 0 ... 0
Soient A∈Mn(C) et B l’élément de Mnp(C) défini par blocs par B= 0... ...... ...... 0... . Déterminer le
0 ... 0 A
rangdeBenfonctiondurangdeA.
Correction(cid:72) [005622]
Exercice26 ***
SoitH unélémentdeM (C)telque∀A∈M (C), ∃λ ∈C/HAH =λ H.MontrerquergH (cid:54)1.
n n A A
Correction(cid:72) [005623]
Exercice27 ***
SoitM∈M (R).Montrerquelesdeuxpropriétéssuivantessontéquivalentes:
3
(1)M2=0et(2)rgM(cid:54)1ettrM=0.
Correction(cid:72) [005624]
Exercice28 ***I
SoientAetBdeuxmatricescarréesdeformatntellesqueAB−BA=A.CalculerlatracedeA2010.
Correction(cid:72) [005625]
Exercice29 **
4
   
4−a 1 −1 1−a 1 0
SoientM(a)= −6 −1−a 2 etN(a)= 0 1−a 0 .M(a)etN(a)sont-ellessem-
2 1 1−a 0 0 2−a
blables?
Correction(cid:72) [005626]
Exercice30 ***I
SoientAetBdeuxélémentsdeM (R).MontrerquesiAetBsontsemblablesdansM (C),elleslesontdans
n n
M (R).
n
Correction(cid:72) [005627]
Exercice31 **IExponentielled’unematricenilpotente
PourAmatricenilpotentedonnée,onposeexpA=∑+∞ Ak.
k=0 k!
1. MontrerquesiAetBcommutentetsontnilpotentesalorsA+Bestnilpotenteetexp(A+B)=expA×
expB.
2. MontrerqueexpAestinversible.
 
0 1 0 ... 0
 ... ... ... ... ... 
 
3. CalculerexpAoùA= ... 0 .
 ... ... 1 
0 ... ... 0
Correction(cid:72) [005628]
5
Correctiondel’exercice1(cid:78)
Deuxcasparticulierssetraitentimmédiatement.
Si f =0,onprend p=0etg=Id etsi f ∈GL(E),onprend p=Id etg= f.
E E
OnseplacedorénavantdanslecasoùKerf etImf nesontpasréduità0.
SoitF unsupplémentairedeKerf dansE etGunsupplémentairedeImf dansE.
Onsaitquelarestriction f(cid:48) de f àF réaliseunisomorphismedeF surImf.D’autrepartdimKerf =dimG<
+∞etdoncKerf etGsontisomorphes.Soitϕ unisomorphismedeKerf surG.
Ondéfinituneuniqueapplicationlinéairegenposantg =ϕ etg = f(cid:48).
/Kerf /F
gestunautomorphismedeE.Eneffet,
g(E)=g(Kerf +F)=g(Kerf)+g(F)=ϕ(Kerf)+ f(cid:48)(F)=G+Imf =E,
(puisque ϕ et f(cid:48) sont des isomorphismes) et donc g est surjective. Par suite g est bijective de E sur lui-même
puisquedimE <+∞.
Soit plaprojectionsurF parallèlementàKerf.Ona
(g◦p) =g◦0 =0 = f et(g◦p) =g◦Id = f(cid:48)= f .
/Kerf /Kerf /Kerf /Kerf /F /F /F
Ainsilesendomorphismesg◦pet f coïncidentsurdeuxsousespacessupplémentairesdeE etdoncg◦p= f.
Finalement,sionnoteP(E)l’ensembledesprojecteursdeE,
∀f ∈L(E),∃g∈GL(E),∃p∈P(E)/ f =g◦p.
Correctiondel’exercice2(cid:78)
(Nepasconfondre:(∀x∈E, ∃p∈N∗/ fp(x)=0)et(∃p∈N∗/∀x∈E, fp(x)=0).Dansledeuxièmecas, p
estindépendantdexalorsquedanslepremiercas, ppeutvarierquandxvarie).
SoitB=(ei)1(cid:54)i(cid:54)n unebasedeE.Pourchaquei∈[[1,n]],ilexisteunentiernonnul pi telque fpi(ei)=0.Soit
p=Max{p ,...,p }. pestunentiernaturelnonnuletpouridans[[1,n]],ona
1 n
fp(ei)= fp−pi(fpi(ei))= fp−pi(0)=0.
Ainsil’endomorphisme fp s’annulesurunebasedeE etonsaitque fp=0.
Onadonctrouvéunentiernonnul ptelque fp=0etparsuite f estnilpotent.
Correctiondel’exercice3(cid:78)
1. Apartirde fg−gf =af+bg(1),onobtientaprèscompositionàdroiteparg, fg−gfg=afg+bgou
encore fg=g◦ 1 (fg+bId)(puisque1−a(cid:54)=0).Onendéduit
1−a
Im(fg)⊂Img.
Maisalorsenécrivant(1)souslaforme f = 1(fg−gf −bg)(puisquean’estpasnul),onobtient
a
Imf ⊂Img.
L’égalitéImf ⊂ImgmontrequetoutvecteurdeImf estinvariantpargetfournitdoncl’égalitégf = f.
On compose alors (1) à droite par f et en tenant compte de gf = f et de f2 = f, on obtient f − f =
af +bf etdonc(a+b)f =0puisb=−apuisque f n’estpasnul.
(1) s’écrit alors fg− f =a(f −g). En composant à droite par g, on obtient : a(fg−g)=0 et donc
fg= f puisquean’estpasnul.(1)s’écritmaintenantg− f =a(f −g)ouencore(a+1)(g− f)=0et
donc,puisque f etgsontdistincts,a=−1.
6
2. (D’après1),siaestdistinctde0etde1,nécessairementa=−1et(1)s’écrit fg−gf =−f +bg).
Soit x un élément de Kerg. (1) fournit −g(f(x)) = af(x) (∗) puis en prenant l’image par g, (a+
1)g(f(x)) = 0. Puisque a est distinct de −1, on obtient g(f(x)) = 0 et (∗) fournit af(x) = 0 puis
f(x)=0.DoncxestélémentdeKerf.OnamontréqueKerg⊂Kerf.
OnendéduitIm(g−Id)⊂Kerf etdonc f(g−Id)=0ouencore fg= f.(1)s’écrit f −gf =af +bg
etencomposantàgauchepar f,onobtient f−fgf =af+bfg.Entenantcomptede fg= f,onobtient
(a+b)f =0etdoncb=−a.
(1) s’écrit alors f −gf =a(f −g) et en composant à gauche par g, on obtient 0=a(gf −g) et donc
gf =g.(1)s’écritenfin f −g=a(f −g)etdonca=1.
3. Sia=0,(1)s’écrit fg−gf =bg.Encomposantàgaucheouàdroiteparg,onobtientgfg−gf =bg
et fg−gfg=bg.Enadditionnantcesdeuxégalités,onobtient fg−gf =2bg.D’où,entenantcompte
de(1),bg=2bgetpuisquegn’estpasnul,b=0.Parsuite fg−gf =0cequiestexcluparl’énoncé.
Donc,onnepeutavoira=0.D’après1)et2),(a,b)∈{(−1,1),(1,−1)}.
1ercas.(a,b)=(−1,1).C’estle1): fg−gf =−f +g.Onavusuccessivementquegf = f puisque
fg=gfournissant(g−Id)f =0et(f−Id)g=0ouencoreImf ⊂Ker(g−Id)=ImgetImg⊂Imf et
doncImf =Img.Réciproquement,si f etgsontdeuxprojecteursdemêmeimagealorsgf = f, fg=g
etdonc fg−gf =−f +g.Lepremiercasestdonclecasdedeuxprojecteursdemêmeimage.
2èmecas.(a,b)=(1,−1).C’estlecasdedeuxprojecteursdemêmenoyau.
Correctiondel’exercice4(cid:78)
1. SiN =Kerf (cid:54)={0},considéronsgnonnultelqueImg(cid:54)={0}etImg⊂Kerf.
Pour un tel g, f ◦g=0 puis f ◦g◦ f =0 et donc g=0 par hypothèse, contredisant g non nulle. Donc
Kerf ={0}.
SiImf (cid:54)=F,onchoisitgnullesurImf etnonnullesurunsupplémentairedeImf (dontl’existenceest
admiseendimensioninfinie).Alors,g◦ f =0puis f ◦g◦ f =0etdoncg=0contredisantgnonnulle.
DoncImf =F.
Finalement, f estbienunisomorphismedeE surF.
2. SoitA={g∈L(F,E)/ f◦g◦f =0}.Toutd’abordAestbienunsous-espacevectorieldeL(F,E)car
contientl’applicationnulleeteststableparcombinaisonlinéaire(oubienAestlenoyaudel’application
linéairedeL(F,E)dansL(E,F)quiàgassocie f ◦g◦ f).
Soit J un supplémentaire de I =Imf dans F. Un élément g de L(F,E) est entièrement déterminé par
sesrestrictionsàI etJ.
f ◦g◦ f =0⇔(f ◦g) =0etg estquelconque⇔g(I)⊂N.
/I /J
Pour être le plus méticuleux possible, on peut alors considérer l’application G de L(I,N)×L(J,E)
dans L(F,E) qui à un couple (g ,g ) associe l’unique application linéaire g de F dans E telle que
1 2
g =g etg =g .Gestlinéaireetinjectived’imageA.Donc
/I 1 /J 2
dimA=dimL(I,N)×dimL(J,E)=dimL(I,N)+dimL(J,E)=r(p−r)+(n−r)p= pn−r2.
Correctiondel’exercice5(cid:78)
1. uestdansL(E)caruestlinéaireetsiPestunpolynômededegréauplusnalorsu(P)estunpolynôme
dedegréauplusn.
• Les polynômes constants sont dans Keru. Réciproquement , soit Pun élément de Keru puis Q =
P−P(0).
Parhypothèse,P(0)=P(1)=P(2)=...etdonc0,1,2,...sontdesracinesdeQ.Puisquelepolynôme
Qadmetuneinfinitéderacines,QestnuletdoncP=P(0)etP∈K [X].Ainsi,Keru=K [X].
0 0
• Mais alors, d’après le théorème du rang, rgu=(n+1)−1=n. D’autre part, si P est dans K [X],
n
P(X+1)−PestdansK [X](sionposeP=a Xn+...,lecoefficientdeXndansu(P)esta −a =0).
n−1 n n n
Enrésumé,Imu⊂K [X]etdimImu=dimK [X]<+∞etdoncImu=R [X].
n−1 n−1 n−1
7
Keru=K [X]etImu=K [X].
0 n−1
2. OnpartdeP =1etaussideP =X quivérifientbienu(P )=0etu(P )=P .
0 1 0 1 0
Trouvons P =aX2+bX tel que u(P )=P (il est clair que si deg(P)(cid:62)1, deg(u(P))=deg(P)−1 et
2 2 1
d’autrepart,lesconstantessontinutilescarKeru=K [X]).
0
u(P )=P ⇔a(X+1)2+b(X+1)−aX2−bX =X ⇔(2a−1)X+a+b=0⇔a= 1 etb=−a.
2 1 2
OnprendP = 1(X2−X)= 1X(X−1).
2 2 2
TrouvonsP =aX3+bX2+cX telqueu(P )=P .
3 3 2
1 1
u(P )=P ⇔a(X+1)3+b(X+1)2+c(X+1)−aX3−bX2−cX = X2− X
3 2
2 2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 1
⇔ 3a− X2+ 3a+2b− X+a+b+c=0
2 2
1 1 1
⇔a= etb=− etc= .
6 2 3
OnprendP = 1(X3−3X2+2X)= 1X(X−1)(X−2).
3 6 6
Essayons,pour1(cid:54)k(cid:54)n,Pk = k1!∏ki=−01(X−i).Pour1(cid:54)k(cid:54)n−1,
1 k 1 k 1 k−1
u(P )= ∏(X+1−i)− ∏(X−i)= ((X+1)−(X−k))∏(X−i)
k+1
(k+1)! (k+1)! (k+1)!
i=0 i=0 i=0
1 k−1
= ∏(X−i)=P.
k
k!
i=0
Enfin,lesP,0(cid:54)k(cid:54)n,constituentunefamilleden+1=dimK [X]polynômesdedegréséchelonnés
k n
deKn[X]etdonclafamille(Pk)0(cid:54)k(cid:54)n estunebasedeKn[X].Danscettebase,lamatricedeualaforme
désirée.
Correctiondel’exercice6(cid:78)
(C’est en fait un exercice sur les polynômes de TCHEBYCHEV de 1ère espèce et vous pouvez généraliser cet
exerciceenpassantauformatnaulieuduformat4.)
Si onnoteCj, j∈{1,2,3,4}, la j-ème colonnede AalorsCj =(cos(i+ j−2)a)1(cid:54)i(cid:54)4 puis pour j élément de
{1,2},
Cj+2+Cj =(2cos(i+ j−1)acosa)1(cid:54)i(cid:54)4=2cosaCj+1
etdoncC =2cosaC −C ∈Vect(C ,C )etC =2cosaC −C ∈Vect(C ,C )⊂Vect(C ,C ).
3 2 1 1 2 4 3 2 2 3 1 2
DoncVect(C ,C ,C ,C )=Vect(C ,C )etrgA=rg(C ,C )(cid:54)2.
1 2 3 4 1 2 1 2
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 cos(a) (cid:12)
Enfin(cid:12) (cid:12)=cos(2a)−cos2a=cos2a−1=−sin2a.
(cid:12) cos(a) cos(2a) (cid:12)
• Si a n’est pas dans πZ, ce déterminant n’est pas nul et donc les deux premières colonnes ne sont pas coli-
néaires.Danscecas,rgA=2.
•SiaestdansπZ,lapremièrecolonnen’estpasnulleetlesautrescolonnesluisontcolinéaires.Danscecas,
rgA=1.
rg(A)=2sia∈/ πZetrg(A)=1sia∈πZ.
8
Correctiondel’exercice7(cid:78)
   
1 2 0 ... ... 0 0 2 0 ... ... 0
 0 1 3 ... ...   0 0 3 ... ... 
   
 ... ... ... ... ... ...   ... ... ... ... ... ... 
A= =I+N oùN = .
 ... 0   ... 0 
 ... ... ... n−1   ... ... ... n−1 
   
0 ... ... 0 1 0 ... ... 0 0
N estnilpotenteetdoncNn=0.Parsuite,
I=I−(−N)n=(I+N)(I−N+...+(−N)n−1).
AinsiAestinversibleàgaucheetdoncinversible,d’inverseI−N+...+(−N)n−1.
CalculdeNp pour1(cid:54) p(cid:54)n.
N2=(cid:0)∑nj=2 jEj−1,j(cid:1)2=∑2(cid:54)j,k(cid:54)n jkEj−1,jEk−1,k =∑nj=−21 j(j+1)Ej−1,jEj,j+1=∑nj=3 j(j−1)jEj−2,j.
 
0 0 2×3 0 ... 0
 ... ... 3×4 ... ... 
 
 ... ... 0 
c’est-à-direN2= .
 ... (n−1)n 
 . 
 . 
. 0
 
0 ... ... 0 0
Ensuite,N3=(cid:0)∑nj=3(j−1)jEj−2,j(cid:1)(∑nk=2kEk−1,k))=∑nj=4 j(j−1)(j−2)Ej−3,j.
Supposonsquepour pdonnédans[[1,n−1]],Np=∑nj=p+1 j(j−1)...(j−p+1)Ej−p,j.
AlorsNp+1=(cid:0)∑nj=p+1 j(j−1)...(j−p+1)Ej−p,j(cid:1)(∑nk=2kEk−1,k)=∑nj=p+2 j(j−1)...(j−p)Ej−p−1,j.Ainsi
A−1=(ai,j)1(cid:54)i,j(cid:54)n oùai,j =0sii> j,1sii= jet(−1)i+j−2∏kj−=i0−1(j−k)sinon.
Correctiondel’exercice8(cid:78)
OnnoteB=(Ei,j)1(cid:54)i,j(cid:54)n labasecanoniquedeMn(K).
Trf =∑1(cid:54)i,j(cid:54)nαi,j oùαi,j désignela(i,j)-èmecoordonnéede f(Ei,j)=AEi,j+Ei,jAdanslabaseB.
Maispour(i,j)∈[[1,n]]2 donné,
AEi,j =∑1(cid:54)k,l(cid:54)nak,lEk,lEi,j =∑nk=1ak,iEk,j
etdemême,
Ei,jA=∑1(cid:54)k,l(cid:54)nak,lEi,jEk,l =∑nl=1aj,lEi,l.
Donc∀(i,j)∈[[1,n]]2,α =a +a puis
i,j i,i j,j
Trf =∑1(cid:54)i,j(cid:54)n(ai,i+aj,j)=2∑1(cid:54)i,j(cid:54)nai,i=2∑nj=1(∑ni=1ai,i)=2∑nj=1TrA=2nTrA.
Trf =2nTrA.
9
Correctiondel’exercice9(cid:78)
SiM estsolution,nécessairementaTrM+(TrM)(TrA)=TrBouencore(TrM)(a+TrA)=TrB.
1ercas.SiTrA(cid:54)=−aalorsnécessairementTrM= TrB puisM= 1(cid:0)B− TrB A(cid:1).
a+TrA a a+TrA
Réciproquement,siM= 1(cid:0)B− TrB A(cid:1)alors
a a+TrA
aM+(TrM)A=B− TrB A+1(cid:0)TrB− TrB TrA(cid:1)A=B.
a+TrA a a+TrA
SiTrA(cid:54)=−a,S =(cid:8)1(cid:0)B− TrB A(cid:1)(cid:9).
a a+TrA
2èmecas.SiTrA=−aetTrB(cid:54)=0,iln’yapasdesolution.
3èmecas.SiTrA=−aetTrB=0,M estnécessairementdelaforme 1B+λAoùλ estunréelquelconque.
a
Réciproquement,soientλ ∈RpuisM= 1B+λA.Alors
a
aM+(TrM)A=B+aλA+(cid:0)1TrB+λTrA(cid:1)A=B+aλA−aλA=B,
a
ettoutematricedelaformeB+λA,λ ∈R,estsolution.
SiTrA=−a,S =∅siTrB(cid:54)=0etS ={B+λA, λ ∈R}siTrB=0.
Correctiondel’exercice10(cid:78)
   
1 2
 2   3 
Pour j∈[[1,n]], notonsCj la j-ème colonne de la matrice A. Posons encoreU = ..  etV = .. .
 .   . 
n n+1
Pour j∈[[1,n]],ona
Cj=(i+ j(i+1))1(cid:54)i(cid:54)n=(i)1(cid:54)i(cid:54)n+ j(i+1)1(cid:54)i(cid:54)n=U+ jV.
DoncVect(C ,...,C )⊂Vect(U,V)etenparticulier,rgA(cid:54)2.Maintenant,sin(cid:62)2,lesdeuxpremièrescolonnes
1 n
(cid:12) (cid:12)
deAnesontpascolinéairescar(cid:12)(cid:12) 3 5 (cid:12)(cid:12)=−1(cid:54)=0.Donc,sin(cid:62)2,rgA=2etsin=1,rgA=1.
(cid:12) 5 8 (cid:12)
Sin(cid:62)2,rg(i+ j+ij)1(cid:54)i,j(cid:54)n=2etsin=1,rg(i+ j+ij)1(cid:54)i,j(cid:54)n=1.
Correctiondel’exercice11(cid:78)
1. E =Vect(I,J)estunsous-espacevectorieldeM (R)dedimensioninférieureouégaleà2.Deplus,la
2
famille(I,J)estlibrecarlamatriceJ n’estpasunematricescalaireetdoncdimE =2.
2. Puisque(E,+,.)estunespacevectoriel,(E,+)estungroupecommutatif.
Ensuite,I2=I∈E,IJ=JI=J∈E etJ2=(I+E )2=I+2E =I+2(J−I)−I=2J−I∈E.Par
1,2 1,2
bilinéarité du produit matriciel, la multiplication est interne dans E et commutative. De plus, I ∈E et
finalementE estunsous-anneaucommutatifdeM (R).
2
Remarque.M(x,y)M(x(cid:48),y(cid:48))=xx(cid:48)I+(xy(cid:48)+yx(cid:48))J+yy(cid:48)(2J−I)=(xx(cid:48)−yy(cid:48))I+(xy(cid:48)+yx(cid:48)+2yy(cid:48))J.
10