Algèbre linéaire 2

116 Pages·2017·0.75 MB·French

Algèbre linéaire 2
Semestred’été2017
UniversitéduLuxembourg
GaborWiese
[email protected]
Versiondu7juillet2017
Table des matières
1 Rappels:Espacesvectoriels,bases,dimension,homomorphismes 4
2 Rappel:Déterminants 25
3 Valeurspropres 31
4 Excursion:divisioneuclidienneetpgcddepolynômes 37
5 Polynômecaractéristique 40
6 Polynômeminimal 45
7 Diagonalisationetdécompositionspectrale 49
8 RéductiondeJordan 55
9 Espaceshermitiens 69
10 Opérateursadjoints,autoadjoints,normauxetisométries 77
11 Théorèmespectral 86
12 Quadriques 94
13 Dualité 104
14 Quotients 112
1
2 TABLEDESMATIÈRES
Préface
CecoursestlasuiteducoursAlgèbreLinéaire1enseignéausemestred’hiver2016/2017.Ilestsuivi
pardesétudiantsdemathématiquesetdephysique.
Cesnotessesontdeveloppéespendantdesannées.J’aiutiliséplusieurssources,notammentlelivrede
FischerLineareAlgebra(Vieweg-Verlag)etdesnotesdeB.H.Matzatdel’universitédeHeidelberg.
Esch-sur-Alzette,7juillet2017, GaborWiese
Littérature
Voiciquelquesréférences:ceslivressontdisponiblesdanslabibliothèqueauKirchberg.
Lelong-Ferrand,Arnaudiès.Coursdemathématiques,Tome1,Algèbre.Dunod.Celivreesttrès
•
completettrèsdétaillé.Onpeutl’utilisercommeouvragederéférence.
Siegfried Bosch : Algebra (en allemand), Springer-Verlag. Ce livre est très complet et bien
•
lisible.
Serge Lang : Algebra (en anglais), Springer-Verlag. C’est comme une encyclopédie de l’al-
•
gèbre;onytrouvebeaucoupdesujetsrassemblés,écritsdefaçonconcise.
SiegfriedBosch.LineareAlgebra,Springer-Verlag.
•
JensCarstenJantzen,JoachimSchwermer.Algebra.
•
ChristianKarpfinger,KurtMeyberg.Algebra:Gruppen-Ringe-Körper,SpektrumAkademi-
•
scherVerlag.
GerdFischer.LehrbuchderAlgebra:MitlebendigenBeispielen,ausführlichenErläuterungen
•
undzahlreichenBildern,Vieweg+TeubnerVerlag.
GerdFischer.LineareAlgebra:EineEinführungfürStudienanfänger,Vieweg+TeubnerVerlag.
•
Gerd Fischer, Florian Quiring. Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie : Das
•
WichtigsteausführlichfürdasLehramts-undBachelorstudium,SpringerVieweg.
Perrin.Coursd’algèbre,Ellipses.
•
Guin,Hausberger.AlgèbreI.Groupes,corpsetthéoriedeGalois,EDPSciences.
•
Fresnel.Algèbredesmatrices,Hermann.
•
Tauvel.Algèbre.
•
Combes.Algèbreetgéométrie.
•
TABLEDESMATIÈRES 3
Prérequis
Le cours a un côté théorique et un côté pratique. Pour le côté pratique, (presque) tous les calculs
peuventserameneràdeuxopérationsfondamentales:
résoudredessystèmed’équationslinéaires,
•
calculerdesdéterminants.
•
Nous allons commencer le cours par deux sections de rappels : une sur les fondations des espaces
vectorielsetunesurlesdéterminants.
L’algèbre linéaire peut se faire sur n’importe quel corps commutatif, pas seulement sur les nombres
réelsoucomplexes.Lesétudiantsdemathématiquesontvuladéfinitiondecorpsdanslecours«Struc-
turesmathématiques».Nouslarappelonsici:
Définition 0.1. Un corps (commutatif) K est un ensemble K qui contient deux éléments distincts
notés0,1etquiadmetdeuxapplications
+ : K K K, (a,b) a+b, «addition»
× → 7→
: K K K, (a,b) a b «multiplication»,
· × → 7→ ·
telquepourtoutx,y,z K,lesassertionssuivantessontsatisfaites:
∈
élémentneutrepourl’addition:x+0 = x = 0+x;
•
associativitédel’addition:(x+y)+z = x+(y+z);
•
existence d’inverse pour l’addition : il existe un élément appelé x tel que x+( x) = 0 =
• − −
( x)+x;
−
commutativitédel’addition:x+y = y+x.
•
élémentneutrepourlamultiplication:x 1 = x = 1 x;
• · ·
associativitédelamultiplication:(x y) z = x (y z);
• · · · ·
existence d’inverse pour la multiplication : si x = 0, il existe un élément appelé x 1 = 1 tel
• 6 − x
quex x 1 = 1 = x 1 x;
− −
· ·
commutativitédelamultiplication:x y = y x.
• · ·
distributivité:(x+y) z = x z+y z.
• · · ·
Nousallonsuniquementconsidérerdescorpscommutatifs;onparleradoncsimplementde«corps».
Exemple0.2. Q,R,Csontdescorps.
•
Sipestunnombrepremier,Z/pZestuncorps.
•
ZetNnesontpasdescorps.
•
Pourtoutelasuite,soitK uncorpscommutatif.Sicelavousaidepourlacompréhension,vous
pouvezprendreK = RouK = C.
4 1 RAPPELS:ESPACESVECTORIELS,BASES,DIMENSION,HOMOMORPHISMES
1 Rappels : Espaces vectoriels, bases, dimension, homomorphismes
Objectifs:
Maîtriserlesnotionsd’espacevectorieletdesous-espace;
•
maîtriserlesnotionsdebaseetdedimension;
•
maîtriserlesnotionsd’applicationlinéaire((homo)morphisme),denoyau,d’image;
•
connaîtredesexemplesetsavoirdémontrerdespropriétéssimples.
•
On suppose connus et pratiqués la déscription par des matrices et la résolution par l’algorithme du
pivotdeGaußdessystèmesd’équationslinéaires.
Définitiond’espacesvectoriels
Définition1.1. SoitV unensembleavec0 V unélément,etavecdeuxapplications
V
∈
+ : V V V, (v ,v ) v +v = v +v
1 2 1 2 1 2
× → 7→
(appeléeaddition)et
: K V V, (a,v) a v = av
· × → 7→ ·
(appeléemultiplicationscalaire).
Onappelle(V,+ , ,0 )unK-espacevectorielsi
V V V
·
(A1) u,v,w V : (u+ v)+ w = u+ (v+ w),
V V V V
∀ ∈
(A2) v V : 0 + v = v = v+ 0 ,
V V V V
∀ ∈
(A3) v V w V : v+ w = 0 = w+ v (onécrit v := w),
V V
∀ ∈ ∃ ∈ −
(A4) u,v V : u+ v = v+ u,
V V
∀ ∈
(pourlesmathématiciens:cespropriétésdisentque(V,+ ,0 )estungroupeabélien)et
V V
(MS1) a K, u,v V : a (u+ v) = a u+ a v,
V V V V V
∀ ∈ ∀ ∈ · · ·
(MS2) a,b K, v V : (a+ b) v = a v+ b v,
K V V V V
∀ ∈ ∀ ∈ · · ·
(MS3) a,b K, v V : (a b) v = a (b v),
K V V V
∀ ∈ ∀ ∈ · · · ·
(MS4) v V : 1 v = v.
V
∀ ∈ ·
Pour plus de clarté, nous avons écrit + , pour l’addition et la multiplication scalaire dans V, et
V V
·
+ , pourl’additionetlamultiplicationdansK.Danslasuite,onneleferaplus.
K K
·
5
Exemple1.2. Soitn N.LeK-espacevectorielcanoniquededimensionnestKn,l’ensembledes
∈
vecteurs colonnes de taille n à coefficients dans K. Comme vous le savez, on peut additioner deux
élémentsdeKn delafaçonsuivante:
a1 b1 a1+b1
a2 b2 a2+b2
... !+ ...  =  ... .
an bn an+bn
   
Cetteadditionsatisfaitlespropriétéssuivantes:
a1 b1 c1 a1 b1 c1
a2 b2 c2 a2 b2 c2
(A1) ( ... !+ ... )+ ... ! = ... !+( ... + ... !).
an bn cn an bn cn
   
a1 0 a1 a1 0
a2 0 a2 a2 0
(A2) . + . = . = . + . .
. . . . .
. . . . .
! ! ! ! !
an 0 an an 0
a1 a1 a1 a1 0
a2 −a2 a2−a2 0
(A3) ... !+−...  =  −...  = ...!.
an an an an 0
− −
   
a1 b1 a1+b1 b1 a1
a2 b2 a2+b2 b2 a2
(A4) ... !+ ...  =  ...  =  ... + ... !.
an bn an+bn bn an
     
En plus, on dispose d’une multiplication scalaire : on multiplie un élément de Kn par un élément r
deK ainsi:
a ra
1 1
a ra
 2  2
r . = . .
· .. ..
   
   
an ran
   
   
L’additionetlamultiplicationsontcompatiblesdelamanièresuivante:
a1 b1 a1 b1 a1 b1
(MS1) ∀r ∈ K,∀ a...2!,b...2 ∈ Kn :r·( a...2!+b...2) = r· a...2!+r·b...2;
an bn an bn an bn
     
a1 a1 a1 a1
a2 a2 a2 a2
(MS2) r,s K, . Kn :(r+s) . = r . +s . ;
. . . .
∀ ∈ ∀ . ∈ · . · . · .
! ! ! !
an an an an
a1 a1 a1
a2 a2 a2
(MS3) r,s K, . Kn :r (s . ) = (r s) . ;
. . .
∀ ∈ ∀ . ∈ · · . · · .
! ! !
an an an
a1 a1 a1
a2 a2 a2
(MS4) . Kn :1 . = . .
. . .
∀ . ∈ · . .
! ! !
an an an
CelamontrequeKn estbienunK-espacevectoriel.
6 1 RAPPELS:ESPACESVECTORIELS,BASES,DIMENSION,HOMOMORPHISMES
Lapropositionsuivantenousproduitungrandnombred’autresexemples.
Proposition1.3. SoitE unensemble.Onintroduitlanotation
(E,K) := f f : E K application
F { | → }
pour l’ensemble des applications de E dans K. On note l’application E K telle que toutes ses
→
valeurssont0par0 (concrètement:0 : E K définieparlarègle0 (e) = 0pourtoute E).
F F → F ∈
Ondéfinitl’addition
+ : (E,K) (E,K) (E,K), (f,g) f+ g où e E : (f+ g)(e) := f(e)+g(e)
F F ×F → F 7→ F ∀ ∈ F
etlamutliplicationscalaire
: K (E,K) (E,K), (x,f) x f où e E : (x f)(e) := x (f(e)).
·F ×F → F 7→ ·F ∀ ∈ ·F ·
Alors,( (E,K),+ , ,0 )estunK-espacevectoriel.
F F ·F F
Démonstration. Exercice.
Laplupartdutemps,onn’écrirapaslesindices,maisseulementf +g,f g,etc.
·
Exemple1.4. (a) f (R,R) f(1) = 0 estunK-espacevectoriel.
{ ∈ F | }
(b) f (R,R) f(0) = 1 n’estpasunK-espacevectoriel.
{ ∈ F | }
Lemme 1.5. Soit (V,+ , ,0 ) un K-espace vectoriel. Alors, les propriétés suivantes sont satis-
V V V
·
faitespourtoutv V ettouta K :
∈ ∈
(a) 0 v = 0 ;
V V
·
(b) a 0 = 0 ;
V V V
·
(c) a v = 0 a = 0 v = 0 ;
V V V
· ⇒ ∨
(d) ( 1) v = v.
V
− · −
Démonstration. (a)0 v = (0+0) v = 0 v+0 v,donc0 v = 0 .
V V V V V V
· · · · ·
(b)a 0 = a (0 +0 ) = a 0 +a 0 ,donca 0 = 0 .
V V V V V V V V V V V V
· · · · ·
(c)Supposonsa v = 0 .Sia = 0,l’assertiona = 0 v = 0 estvraie.Supposonsdonca = 0.
V V V
· ∨ 6
Alorsa 1aunsens.Enconséquence,v = 1 v = (a 1 a) v = a 1 (a v) = a 1 0 = 0
− V − V − V V − V V V
· · · · · ·
par(b).
(d)v+ ( 1) v = 1 v+ ( 1) v = (1+( 1)) v = 0 v = 0 par(a).
V V V V V V V V
− · · − · − · ·
Aulieude(V,+ , ,0 )onécrirasouventseulementV.
V V V
·
7
Sous-espacesvectoriels
Définition 1.6. Soit V un K-espace vectoriel. On dit qu’un sous-ensemble non-vide W V est un
⊆
sous-espacevectorieldeV si
w ,w W, a K : a w +w W.
1 2 1 2
∀ ∈ ∀ ∈ · ∈
Notation:W V.
≤
Exemple1.7. SoitV unK-espacevectoriel.L’ensemble 0 estunsous-espacevectorieldeV,
• { }
appelél’espacezéro,noté0parsimplicité(nepasconfondreavecl’élément0).
SoientV = R2 etW = (a) a R V.Alors,W estunsous-espacedeV.
0
• { | ∈ } ⊆
a
SoientV = R3 etW = b a,b R V.Alors,W estunsous-espacedeV.
• 2b | ∈ ⊆
n(cid:16) (cid:17) o
Soientn,m N .Onconsidèrelesystèmed’équationslinéaires
1
• ∈ ≥
a x +a x + +a x = b
1,1 1 1,2 2 1,n n 1
···
a x +a x + +a x = b
2,1 1 2,2 2 2,n n 2
···
.
.
.
a x +a x + +a x = b
m,1 1 m,2 2 m,n n m
···
avecb ,a K pour1 i m,1 j n.
i i,j
∈ ≤ ≤ ≤ ≤
(a) SoitS l’ensembledetouteslessolutionsdusystèmehomogèneavecx ,x ,...,x K,
1 2 n
∈
c’est-à-dire
x1 n
x2
S = . Kn i 1,2,...,m : a x = 0 .
. i,j j
 . ∈ | ∀ ∈ { } 
!
 xn Xj=1 
Alors,S estunsous-espacevectorielduK-espacevectorielstandardKn.
r1
r2
(b) Soit . Kn unesolutiondusystèmed’équationslinéaires,c’est-à-dire:
.
. ∈
!
rn
n
i 1,2,...,m : a r = b .
i,j j i
∀ ∈ { }
j=1
X
SoitS lesous-espacevectorieldeKn définien(a).
Alors,lessolutionsdusystèmed’équationslinéairessontl’ensemble
r1 s1 s1
r2 s2 s2
. + . . S .
. . .
. . | . ∈
( ! ! ! )
rn sn sn
Voiciuneformegénéralepourobteniretécriredessous-espaces:
8 1 RAPPELS:ESPACESVECTORIELS,BASES,DIMENSION,HOMOMORPHISMES
Définition-Lemme 1.8. Soient V un K-espace vectoriel et E V un sous-ensemble non-vide. On
⊆
pose
m
E := a e m N,e ,...,e E,a ,...,a K .
i i 1 m 1 m
h i { | ∈ ∈ ∈ }
i=1
X
C’estunsous-espacevectorieldeV quel’onditengendréparE.
Commeconvention,enpose = 0,lesous-espacenul.
h∅i
Démonstration. Comme E n’estpasvide(carE n’estpasvide),ilsuffitdevérifierladéfinitionde
h i
sous-espace.Soientdoncw ,w E eta K.Nouspouvonsécrire
1 2
∈ h i ∈
m m
w = a e etw = b e
1 i i 2 i i
i=1 i=1
X X
poura ,b K ete E pourtouti = 1,...,m.Doncnousavons
i i i
∈ ∈
m
a w +w = (aa +b )e ,
1 2 i i i
·
i=1
X
quiestbienunélémentde E .
h i
Exemple1.9. L’ensemble a 11 +b 00 a,b R estunsous-espacedeR3.
· 2 · 7 | ∈
n (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) o
Parfoisilestutiledecaractériserlesous-espaceengendréparunensembled’unefaçonplusthéorique.
Pourfairecela,nousavonsbesoindulemmesuivant.
Lemme 1.10. Soit V un K-espace vectoriel et W V des sous-espaces pour i I = . Alors,
i
≤ ∈ 6 ∅
W := W estunsous-espacevectorieldeV.
i I i
∈
T
Démonstration. Exercice.
Parcontre, W n’estpasunsous-espaceengénéral(commevouslevoyezdansunexercice)!
i I i
∈
S
Exemple1.11. Commentcalculerl’intersectiondedeuxsous-espaces?
(a) Le cas le plus simple est quand les deux sous-espaces sont donnés comme les ensembles des
solutionsdedeuxsystèmesd’équationslinéaires,parexemple
x1
V estlesous-ensembledes x.2 Kn telsque n a x = 0pourj = 1,...,ℓ,et
• .. ∈ i=1 i,j i
!
xn
P
x1
W estlesous-ensembledes x.2 Kn telsque n b x = 0pourk = 1,...,m.
• .. ∈ i=1 i,k i
!
xn
P
Dans ce cas, le sous-espace V W est donné comme l’ensemble des solutions communes pour
∩
toutesleségalités.
9
(b) Supposonsmaintenantquelessous-espacessontdonnéscommedessous-espacesdeKn engen-
dréspardesensemblesfinisdevecteurs:SoitV = E etW = F où
h i h i
e1,1 e1,m f1,1 f1,p
E = e2...,1,...,e2...,m ⊆ Kn etF = f2...,1,...,f2...,p ⊆ Kn.
 en,1 en,m   fn,1 fn,p 
       
Alors    
m ee12,,ii
V W = a .
i .
∩  . 
(cid:8)Xi=1 en,i (cid:12)
 e1,1 (cid:12) e1,m f1,1 f1,p
e2,1 e2,m f2,1 f2,p
∃b1,...,bp ∈ K : a1 ... +···+am ... −b1 ... −···−bp ...  = 0 .
en,1 en,m fn,1 fn,p (cid:9)
       
Voici un exemple concret : E = 11 , 01 Kn et F = 10 , 20 Kn. On doit
2 0 ⊆ 1 1 ⊆
résoudrelesystème n(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)o n(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)o
121 100 −−011 −−012 (cid:18)xxyy1212(cid:19) = 0.
(cid:16) (cid:17)
Avecdesopérationssurdeslignes,onobtient
1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 1
ker( 1 1 −0 −0 ) = ker( 0 1 −1 −2 ) = ker( 0 1 0 1 ),
2 0 1 1 0 0 1 3 0 0 1 −3
− −
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
1
donc on obtient comme sous-espace des solutions la droite engendrée par −1 , donc l’inter-
3
(cid:18)−1 (cid:19)
sectionestdonnéparladroite
1 0 1 2 1
1 1 +1 1 = 3 0 +1 0 = 0 .
h− · 2 · 0 i h− · 1 · 1 i h 2 i
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
Voicilacaractérisationalternativedusous-espaceengendréparunensemble:
Lemme 1.12. Soient V un K-espace vectoriel et E V un sous-ensemble non-vide. Alors nous
⊆
avonsl’égalité
E = W
h i
W V sous-espacet.q.E W
≤ \ ⊆
oùletermeàdroitedel’égalitéestl’intersectiondetouslessous-espacesW deV quicontiennentE.
Démonstration. Pourdémontrerl’égalitédedeuxensembles,ilfautmontrerlesdeuxinclusions.
« » : Tout sous-espace W qui contient E, contient aussi toutes les combinaisons linéaires des élé-
⊆
mentsdeE,doncW contient E .Enconséquence, E estcontenudansl’intersectionàdroite.
h i h i
« » : Comme E fait partie des sous-espaces dans l’intersection à droite, il est clair que cette
⊇ h i
intersectionestcontenuedans E .
h i
Définition 1.13. Soient V un K-espace vectoriel et E V un sous-ensemble. On dit que V est
⊆
engendréparE (entantquesous-espacevectoriel)siV = E .
h i
CelarevientàdirequetoutélémentdeV s’écritcommecombinaisonlinéairedevecteursdansE.
10 1 RAPPELS:ESPACESVECTORIELS,BASES,DIMENSION,HOMOMORPHISMES
Définition1.14. SoientV unK-espacevectorieletW V dessous-espacesdeV pouri I = .
i
≤ ∈ 6 ∅
Onpose
W := W ,
i i
h i
i I i I
X∈ [∈
le sous-espace de V engendré par tous les éléments de tous les W . On l’appelle la somme des W ,
i i
i I.
∈
SiI = 1,2,...,n ,onpeutdécrire n W explicitementcomme
{ } i=1 i
n Pn
W = w w W ,...w W .
i i 1 1 n n
{ | ∈ ∈ }
i=1 i=1
X X
PourunI général,cecisegénéraliseainsi:
W = w i I : w W etw = 0pourseulementunnombrefinidei I .
i i i i i
{ | ∀ ∈ ∈ 6 ∈ }
i I i I
X∈ X∈ (cid:0) (cid:1)
Nousutilisonslanotation ′i Iwi pourindiquerwi 6= 0pourseulementunnombrefinidei ∈ I.
∈
Exemple1.15. CommentcPalculer/obtenirlasommededeuxsous-espaces?
La réponse est très facile si les deux sous-espaces sont donnés par des générateurs : Si U = E et
h i
V = F sontdessous-espacesd’unK-espacevectorielV,alorsU +V = E F .
h i h ∪ i
(Laquestiondedonnerunebasepourlasommeestuneautre...voirplusloin.)
Quandest-cequeleswi ∈ Wi dansl’écriturew = ′i Iwi sontuniques?
∈
Définition1.16. SoientV unK-espacevectorielePtW V dessous-espacesdeV pouri I = .
i
≤ ∈ 6 ∅
OnditquelasommeW = W estdirectesipourtouti I ona
i I i ∈
∈
P
W W = 0.
i j
∩
j I i
∈X\{}
Notationpourlessommesdirectes: W .
i I i
SiI = 1,...,n ,onnoteparfoislesélé∈mentsd’unesommedirecte n W parw w w
{ } L i=1 i 1⊕ 2⊕···⊕ n
(où,évidemment,w W pouri I).
i ∈ i ∈ L
Exemple1.17. Dansl’exemple1.11(b),lasommeV +W n’estpasdirectecarl’intersectionV W
∩
estunedroiteetdoncnonnulle.
Proposition1.18. SoientV unK-espacevectoriel,W V dessous-espacesdeV pouri I =
i
≤ ∈ 6 ∅
etW = W .Alorslesassertionssuivantessontéquivalentes:
i I i
∈
(i) W P= W ;
i I i
∈
(ii) pourtoLutw ∈ W ettouti ∈ I ilexisteununiquewi ∈ Wi telquew = ′i Iwi.
∈
Démonstration. «(i) (ii)» : L’existence de tels w W est claire. DémoPntrons donc l’unicité en
i i
⇒ ∈
prenant
w = ′w = ′w
i i′
i I i I
X∈ X∈