Algebraische Grundlagen der Informatik: Zahlen — Strukturen — Codierung — Verschlüsselung

378 Pages·2001·13.76 MB·German

by  Prof. Dr. Kurt-Ulrich Witt (auth.)

Kurt-Ulrich Witt
Algebraische Grundlagen
der Informatik
Aus dem Programm ____________- ----...
Mathematik/ Informatik
Diskrete Mathematik
von M. Aigner
Diskrete Mathematik für EInsteiger
von A. Beutelspacher
Uneare Algebra
von A. Beutelspacher
Moderne Verfahren der Kryptographie
von A. Beutelspacher, I. Schwenk und K.-D. Wolfenstetter
Einführung In die Computergraphik
von H.-I. Bungartz, M. Griebel und eh. Zenger
Grundlagen der Theoretischen Informatik mit Anwendungen
von G. Vossen und K.-U. Witt
Grundlegende Algorithmen
vonV.Heun
vieweg _________________
Kurt-Ulrich Witt
Algebraische
Grundlagen
der Informatik
Zahlen - Strukturen - Codierung -
Verschlüsselung
~
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhältlich.
Prof. Dr. Kurt-UIrich Witt
Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg
Fachbereich Angewandte Informatik
Grantham-Allee 20
53757 Sankt Augustin
[email protected]
1. Auflage Juni 2001
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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 2001
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Höchste inhaltliche und technische Qualität unserer Produkte ist unser Ziel. Bei der Produktion
und Auslieferung unserer Bücher wollen wir die Umwelt schonen: Dieses Buch ist auf säurefreiem
und chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt. Die Einschweißfolie besteht aus Polyäthylen und damit
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
ISBN 978-3-528-03166-4 ISBN 978-3-322-91825-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91825-3
Vorwort
Die professionelle Konzeption, Implementierung und Anwendung von Informations
und Kommunikationstechnologien ist heutzutage mehr denn je ohne mathemati
sche Grundlagen undenkbar. Professioneller und privater Einsatz und Gebrauch
von Medien und Geräten wie z. B. das Internet, Handys, Audio- und Video-CDs,
digitaler Rundfunk und digitales Fernsehen, sind nur deshalb in der vorhandenen
Qualität möglich, weil mathematisch abgesicherte Verfahren zu deren Sicherstel
lung zur Verfügung stehen und eingesetzt werden.
Dieses Buch vermittelt Einsichten in grundlegende mathematische Konzepte
und Methoden, auf denen diese Verfahren beruhen. Das Buch richtet sich an
Studierende der Informatik sowie an Studierende der Mathematik in Haupt- oder
Nebenfach. Es gibt eine Einführung in grundlegende mathematische Begriffe und
Prinzipien wie Mengen, Logik, Relationen und Funktionen sowie in Induktion und
Rekursion, und es beschäftigt sich darauf aufbauend intensiv mit zahlentheoreti
schen und algebraischen Grundlagen.
An zwei Themen, die für die eingangs genannten Anwendungen von großer Be
deutung sind, nämlich an der Verschlüsselung und Signatur sowie an der Codierung
von Informationen, wird gezeigt, wie diese mathematischen Konzepte und Metho
den eingesetzt werden, um Qualitäten wie Sicherheit, Vertraulichkeit, Verbindlich
keit und Fehlertoleranz zu erreichen.
Das Studium dieses Buches vermittelt Ihnen nicht nur die erwähnten Einsich
ten, sondern die Auseinandersetzung mit seinen Inhalten schult Ihre Fähigkeiten,
abstrakt und logisch zu denken, sich klar und präzise auszudrücken, neue Pro
bleme anzugehen und zu wissen, wann Sie ein Problem noch nicht vollständig
gelöst haben. Es liefert Ihnen ein zeitinvariantes methodisches Rüstzeug für die
Beschreibung und die Lösung von Problemen.
Ich habe versucht, die mathematischen Darstellungen durch informelle Zwi
schentexte zu motivieren und zu erläutern, so dass das Buch nicht nur als Be
gleitung und Ergänzung von mathematischen Lehrveranstaltungen nützlich, son
dern insbesondere auch zum Selbststudium geeignet ist.
Das Schreiben und das Publizieren eines solchen Buches ist nicht möglich
ohne die Hilfe und ohne die Unterstützung von vielen Personen, von denen ich
an dieser Stelle allerdings nur einige nennen kann: Als Erstes erwähne ich die
Autoren der Lehrbücher, die ich im Literaturverzeichnis aufgeführt habe. Alle
dort aufgeführten Bücher habe ich für den einen oder anderen Aspekt verwendet.
VI Vorwort
Ich kann sie Ihnen allesamt für weitere ergänzende Studien empfehlen. Zu Dank
verpflichtet bin ich auch vielen Studierenden, deren kritische Anmerkungen in
meinen Lehrveranstaltungen zu Themen dieses Buches ich beim Schreiben berück
sichtigt habe. Namentlich erwähnen möchte ich hier cand. info Harald Deuer, der
mir nicht nur wertvolle inhaltliche Hinweise gegeben hat, sondern der mir auch
jederzeit bei Problemen der Textverarbeitung hilfreich zur Seite gestanden hat.
Trotz dieser Hilfen wird das Buch Fehler und Unzulänglichkeiten enthalten. Diese
verantworte ich allein - für Hinweise zu deren Beseitigung bin ich dankbar.
Die Publikation eines Buches ist nicht möglich ohne einen Verlag, der es he
rausgibt. Ich danke dem Vieweg-Verlag für die Bereitschaft der Publikation und
insbesondere Frau Schmickler-Hirzebruch für ihre Unterstützung und ihre Geduld
bei der Entstehung des Buches.
Mein größter und herzlichster Dank gilt allerdings meiner Familie für den
Freiraum, den sie mir für das Schreiben dieses Buches gegeben hat.
Bedburg, im Mai 2001
w.
K.-U.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Inhaltsverzeichnis VII
Abbildungssverzeichnis XIII
I Grundlagen 1
1 Mengen und Einführung in die Logik 5
1.1 Definition von Mengen . . . . . . . . 5
1.2 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Alphabet der Aussagenlogik . . 9
1.2.2 Syntax der Aussagenlogik - aussagenlogische Formeln. 9
1.2.3 Semantik aussagenlogischer Formeln 10
1.2.4 Logische Folgerung. . . . . . . 14
1.2.5 Kalküle . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.6 Aussagenlogische Äquivalenzen . . . 18
1.2.7 Normalformen und aussagenlogische Basen 19
1.2.8 Resolutionskalkül . . . . . . . . 22
1.3 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Alphabet der Prädikatenlogik . . . . . . . . 26
1.3.2 Syntax der Prädikatenlogik - prädikatenlogische Formeln. 26
1.3.3 Semantik der Prädikatenlogik . 28
1.4 Beweismethoden . . . . . 31
1.4.1 Direkter Beweis. . . . . . . 32
1.4.2 Indirekter Beweis. . . . . . 33
1.4.3 Beweis durch Widerspruch 33
1.4.4 Ringschluss ... . 34
1.5 Teilmengen ....... . 34
1.6 Operationen auf Mengen. 36
1.7 Boolesche Algebra 39
1.8 Übungen ......... . 43
VIII Inhaltsverzeichnis
2 Relationen und Funktionen 47
2.1 Relationen ........ . 48
2.1.1 Ordnungen ... . 51
2.1.2 Äquivalenzrelationen . 52
2.2 Umkehrrelationen und Komposition von Relationen. 55
2.2.1 Umkehrrelationen ..... . 55
2.2.2 Komposition von Relationen 56
2.2.3 Reflexiv-transitive Hüllen 57
2.3 Funktionen 57
2.4 Übungen......... 61
3 Induktion und Rekursion 63
3.1 Peano-Axiome: Definition von N 63
3.2 Vollständige Induktion . 64
3.3 Rekursion ......... . 67
3.3.1 Fibonacci-Zahlen.. 70
3.3.2 Ackermannfunktion 72
3.4 Verallgemeinertes Rekursionsschema 75
3.5 Alphabete, Wörter, Sprachen 77
3.6 Übungen................ 80
11 Zahlenmengen 83
4 Die Menge der natürlichen Zahlen 87
4.1 Rechenregeln . 87
4.2 Abzählbarkeit. 89
4.3 Übungen.... 91
5 Die Menge der ganzen Zahlen 93
5.1 Definition von Z .. 93
5.2 Rechenregeln in Z . 95
5.3 Abzählbarkeit von Z 96
5.4 Übungen ...... . 96
6 Die Menge der rationalen Zahlen 97
6.1 Definition von Q ... 97
6.2 Rechenregeln in Q . . 98
6.3 Abzählbarkeit von Q . 99
6.4 Übungen ....... . 100
7 Die Menge der reellen Zahlen 101
Inhaltsverzeichnis IX
8 Darstellungen natürlicher Zahlen 103
8.1 b-adische Darstellung ..... 103
8.1.1 Stellenwertsysteme .. 104
8.1. 2 Divisionsrestverfahren 105
8.2 Addition b-adischer Zahlen . 107
8.3 Multiplikation b-adischer Zahlen 108
8.4 Übungen.......... 109
9 Ganze Zahlen. Subtraktion 111
9.1 Vorzeichen-jBetrags-Darstellung 111
9.2 Komplementdarstellungen. Subtraktion 112
9.2.1 Das b-Komplement ....... . 112
9.2.2 Addition in b-Komplementdarstellung 116
9.3 Übungen .................... . 121
10 Gleitpunktzahlen 123
10.1 Festpunktdarstellung ........... . 123
10.2 Umwandlung Dezimalbruch in Dualbruch 124
10.3 Gleitpunktdarstellung ...... . 125
10.3.1 Normalisierte Darstellung .... . 126
10.3.2 Rechnerinterne Darstellung ... . 127
10.4 Addition und Subtraktion von Gleitpunktzahlen 128
10.5 Übungen ...................... . 130
III Einführung in die elementare Kombinatorik 133
11 Permutationen 137
11.1 Permutationen ohne Wiederholung 137
11.2 Permutationen mit Wiederholung. 140
11.3 Übungen .............. . 140
12 Kombinationen 141
12.1 Kombinationen ohne Wiederholung. 141
12.2 Kombination mit Wiederholung. 142
12.3 Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . 143
13 Binomialkoeffizienten 145
IV Einführung in die Zahlentheorie 149
14 Teilbarkeit und Primzahlen 153
14.1 Größter gemeinsamer Teiler 155
14.2 Euklidischer Algorithmus 157
14.3 Vollkommene Zahlen 160
14.4 Primzahlen ....... . 162
x
Inhaltsverzeichnis
14.5 Offene Fragen . 165
14.6 Übungen .... 166
V Algebraische Strukturen 169
15 Einführung 173
16 Halbgruppen 179
16.1 Unterhalbgruppen ...... . 180
16.2 Halbgruppenhomomorphismen 181
16.3 Kongruenzrelationen 184
16.4 Übungen ...... . 187
17 Gruppen 189
17.1 Gruppenisomorphismen 190
17.2 Zyklische Gruppen .. . 193
17.3 Untergruppen ..... . 194
17.3.1 Permutationsgruppen 195
17.3.2 Der Satz von Lagrange . 197
17.3.3 Elementordnungen ... 200
17.3.4 Der Kleine Satz von Fermat . 203
17.4 Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . 205
18 Ringe und Körper 207
18.1 Ringe ..... . 207
18.2 Körper. . . . . . . . . . . . . . . 208
18.2.1 Rechenregeln in Körpern 209
18.2.2 Unterringe, Unterkörper, Ring- und Körperhomomorphismen 210
18.2.3 Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 211
18.2.4 Nullteiler. Invertierbare und nicht invertierbare Elemente.
Einheitengruppe . . . . . 212
18.3 Restklassenringe und Primkörper 214
18.4 Chinesischer Restsatz ..... . 217
18.5 Polynomringe und -körper ... . 224
18.5.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften 224
18.5.2 Teilbarkeit und Euklidischer Algorithmus 225
18.5.3 Quotientenringe und Irreduzibilität . . . 228
18.5.4 Anwendungsbeispiel: Kanalcodierung . 230
18.5.5 Einsetzungen in Polynome. Nullstellen . 231
18.6 Primzahltests ................ . 232
18.7 Primitivwurzeln und diskreter Logarithmus 238
18.8 Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . . ... 242