Algebra SS 2017

128 Pages·2017·0.741 MB·German

by  Anne Henke, notes taken by David Holzmüller and Sam Thelin

Algebra SS 2017 (Prof. Henke)
Mitschrift David Holzmüller, Korrekturen Sam Thelin
4. September 2017
Inhaltsverzeichnis
1 Gruppen 3
2 Untergruppen 8
3 Erzeugendensysteme von Gruppen 12
4 Normalteiler und Quotientengruppe 16
5 Isomorphiesätze 21
6 Endlich erzeugte abelsche Gruppen 26
7 Operationen von Gruppen auf Mengen 30
8 Sylowsätze 35
9 Auflösbare Gruppen 40
10 Ringe und Ideale 45
11 Struktursätze für Ringe 50
12 Einheiten und Nullteiler 56
13 Polynomringe 61
14 Euklidische Ringe 66
15 Maximale Ideale und Primideale 70
16 Faktorielle Ringe 74
17 Polynomringe über faktoriellen Ringen 78
18 Faktorisieren in Polynomringen 83
19 Körpererweiterungen 87
20 Einfache Körpererweiterungen 92
21 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 96
1
INHALTSVERZEICHNIS 2
22 Algebraischer Abschluss 101
23 Endliche Körper 105
24 Galoiserweiterungen 109
25 Hauptsatz der Galoistheorie 114
26 Kreisteilungspolynome 119
27 Auflösbarkeit von Polynomgleichungen 123
Kapitel 1
Gruppen
Definition 1.1 (Gruppe). Eine Gruppe (G,∗) ist eine Menge G mit einer binären Ver-
knüpfung ∗ : G×G → G,(g,h) (cid:4)→ g ∗h, sodass gilt:
(G1) (a∗b)∗c = a∗(b∗c) für alle a,b,c ∈ G.
(G2) Es existiert e ∈ G, sodass für alle a ∈ G gilt: a∗e = a = e∗a.
(G3) Für alle a ∈ G existiert a(cid:2) ∈ G mit a∗a(cid:2) = e = a(cid:2) ∗a.
Falls zusätzlich gilt:
(G4) a∗b = b∗a für alle a,b ∈ G,
so heißt G kommutativ/abelsch. Wir nennen e neutrales Element, a(cid:2) inverses Element zu
a. |G| heißt Ordnung der Gruppe G. Notation: Schreibe G statt (G,∗). Die Verknüpfung
∗ ist oft + oder ·. Man spricht entsprechend von einer additiven beziehungsweise einer
multiplikativen Gruppe. Wird die Gruppe additiv geschrieben, dann schreiben wir meist
0 und −a statt e und a(cid:2). In der multiplikativen Schreibweise schreiben wir 1 und a−1 statt
e und a(cid:2). Schreibe auch ab statt a·b. Schreibe a−b := a+(−b). (Brüche werden nicht
geschrieben.)
Bemerkung 1.2.
(a) Das neutrale Element ist eindeutig: Seien e,f neutrale Elemente in G, dann folgt
e = e∗f = f.BeimerstenGleichheitszeichen benutzt man,dassf neutrales Element
ist; beim zweiten Gleichheitszeichen benutzt man, dass e neutrales Element ist.
(b) Sei a ∈ G. Das inverse Element a(cid:2) zu a ist eindeutig: Seien a(cid:2),a(cid:2)(cid:2) Inverse zu a. Dann
gilt:
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:2)(cid:2)
a = ae = a(aa ) = (aa)a = ea = a .
(c) Es gilt (a−1)−1 = a und (ab)−1 = b−1a−1.
Beispiel 1.3.
(1) G = {e} mit e ∗ e = e, die „triviale Gruppe“, ist eine abelsche Gruppe. Die leere
Menge ist keine Gruppe.
3
KAPITEL 1. GRUPPEN 4
(2) Ist (R,+,·) ein Ring, dann ist (R,+) eine abelsche Gruppe, z.B. Z,Z ,Q,R,C. Ist
n
(K,+,·)eineKörper,dannist(K,+)eineabelsche Gruppeund(K×,·)eineabelsche
Gruppe, wobei K× = K \{0}, z.B. Q,R,C,Z , p Primzahl.
p
Beispiel 1.4.
(1) Ist (V,+,·) ein Vektorraum, dann ist (V,+) eine abelsche Gruppe. Insbesondere ist
M (K) = {n×n-Matrizen über dem Körper K} ein Vektorraum, also eine Gruppe
n
bezüglich Matrixaddition.
(2) Die „allgemeine lineare Gruppe“:
• GL(V) := {f : V → V | f linear und bijektiv} mit Komposition von Abbil-
dungen ist eine Gruppe (im Allgemeinen nicht abelsch). Neutrales Element ist
id : V → V,x (cid:4)→ x. Eine Abbildung ist bijektiv genau dann, wenn sie invertier-
bar ist. Das Inverse zu einem Element f ∈ GL(V) ist seine Umkehrfunktion
f−1.
• GL (K) := {n× n-Matrizen über K, die invertierbar sind} mit Matrixmulti-
n
plikation ist eine Gruppe. Das neutrale Element ist I . Im Allgemeinen gilt
n
AB (cid:6)= BA. Ist |K| = ∞, so enthält GL (K) unendlich viele Elemente. Ist
n
|K| = q, dann gilt
|GL (K)| = (qn −1)(qn −q)(qn −q2)···(qn −qn−1).
n
Beweis: Eine n×n-Matrix ist invertierbar, genau dann, wenn sie aus n linear
unabhängigen Zeilenvektoren besteht. Es gibt qn verschiedene Vektoren im Kn.
Um eine invertierbare Matrix zu bilden, darf die i-te Zeile nicht im Span der
i−1 Zeilen davor liegen; letzterer Span hat qi−1 Elemente.
(3) Definiere die spezielle lineare Gruppe SL (K) := {A ∈ GL (K) | det(A) = 1},
n n
die orthogonale Gruppe O (K) := {A ∈ GL (K) | AA(cid:3) = I } und die spezielle
n n n
orthogonale Gruppe SO (K) = {A ∈ O (K) | det(A) = 1} = SL (K)∩O (K). Dies
n n n n
sind Gruppen. Zum Beispiel ist SL (K) abgeschlossen bezüglich Multiplikation und
n
Inversenbildung, da die Determinante multiplikativ ist.
Beispiel 1.5.
(a) Sei X (cid:6)= ∅ eine Menge. Definiere S := {f : X → X | f bijektiv}. Dann ist (S ,◦)
X X
mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe. Hierbei ist
(f ◦g)(x) := f(g(x))
für alle x ∈ X und f,g ∈ S . S heißt symmetrische Gruppe auf X. Neutrales
X X
Element ist id . Die Inverse zu f ist die Umkehrfunktion f−1. Es ist S abelsch,
X X
genau dann, wenn |X| ∈ {1,2}.
(b) Sei X = {1,...,n}, für n ∈ N. Dann heißt S := S symmetrische Gruppe vom
n {1,...,n}
Grad n. Es gilt |S | = n!. Elemente in S heißen Permutationen. Wir benutzen die
n n
folgenden beiden Notationen für Permutationen:
Matrixnotation: Sei σ : {1,...,n} → {1,...,n} mit σ(1) = a ,...,σ(n) = a .
1 n
Schreibe kurz
(cid:2) (cid:3)
1 ... n
σ = .
a ... a
1 n
KAPITEL 1. GRUPPEN 5
Zykelnotation: Sei {a ,...,a } ⊆ {1,...,n} mit paarweise verschiedenen Zah-
1 r
len a . Definiere den r-Zykel σ = (a ...a ) als die Abbildung σ : {1,...,n} →
i 1 r
{1,...,n} mit
a (cid:4)→ a
1 2
a (cid:4)→ a
2 3
.
.
.
a (cid:4)→ a
r 1
undσ(a) = afürallea ∈ {1,...,n}\{a ,...,a }.r heißtLänge desZykels(a ...a ).
1 r 1 r
2-Zykel heißen Transpositionen. Zum Beispiel sei
(cid:2) (cid:3)
1 2 3 4 5
σ = ,
3 4 1 5 2
dann ist σ = (13)(245). Zwei Zykel (a ...a ) und (b ...b ) heißen disjunkt, falls
1 r 1 s
{a ,...,a }∩{b ,...,b } = ∅. Man sieht leicht: Disjunkte Zykel kommutieren.
1 r 1 s
Jede Permutation lässt sich eindeutig als Produkt disjunkter Zykel schreiben: Sei
σ ∈ S . Betrachte die Menge {a,σ(a),σ2(a),...} ⊆ {1,...,n}. Es gibt in der ersten
n
Menge Wiederholungen. Angenommen, σi(a) = σj(a) mit i < j. Nach Multiplika-
tion mit σ−i = (σ−1)i folgt a = σj−i(a). Sei k ≥ 1 minimal mit σk(a) = a. Dann
ist {a,σ(a),σ2(a),...} = {a,σ(a),σ2(a),...,σk−1(a)}. Wiederholt man obiges Argu-
ment, so sieht man: alle Zahlen in der zweiten Menge sind verschieden. Wir erhalten
also den Zykel (a,σ(a),σ2(a),...,σk−1(a)). Wiederhole nun diesen Vorgang mit ei-
nem Element in {1,...,n}\{a,σ(a),σ2(a),...,σk−1(a)}.
Sei σ = σ ···σ Darstellung von σ als Produkt disjunkter Zykeln der Längen
1 k
l ,...,l . Ohne Einschränkung sei l ≥ ... ≥ l . Dann heißt (l ,...,l ) Zykeltyp
1 k 1 k 1 k
von σ. Also hat σ = (13)(245) = (245)(13) den Zykeltyp (3,2). Es ist (l ,...,l ) ist
1 k
eine Partition von n.
Bemerkung 1.6.
(a) Sei G eine Gruppe, a ∈ G. Die Abbildungen r : G → G,x (cid:4)→ x· a und l : G →
a a
G,x (cid:4)→ a·x sind bijektive Abbildungen, denn (r )−1 = r und (l )−1 = l .
a a−1 a a−1
(b) Eine Gruppentafel/Multiplikationstafel von G ist eine Matrix, deren Zeilen und Spal-
ten durch dieElemente vonG indiziert sind. DieEinträge in„Zeilea“ sind dieBilder
unter der Abbildung l von G. Die Einträge in „Spalte a“ sind die Bilder unter der
a
Abbildung r von G. Aus (a) folgt, dass in jeder Zeile/Spalte jedes Element aus G
a
genau einmal vorkommt; eine solche Matrix nennt man auch „lateinisches Quadrat“.
(c) Beispiele: Für |G| = 1,2,3 gibt es jeweils genau eine Multiplikationstafel:
· 1 a b · 1 a a2
· 1 a
· 1 1 1 a b 1 1 a a2
1 1 a =
1 1 a a b 1 a a a2 1
a a 1
b b 1 a a2 a2 1 a
KAPITEL 1. GRUPPEN 6
Die Multiplikationstafel für drei Elemente wurde hierbei mit a2 = b umgeschrieben.
Dies entspricht dem Rechnen modulo drei. Für |G| = 4 gibt es zwei verschiedene
Gruppentafeln. Diesezu finden, ist eineguteÜbungsaufgabe. Hier einerster Hinweis
dazu: Sei G = {1,a,b,c}. Die erste Zeile und erste Spalte der Multiplikationstafel
ergibt sich durchMultiplikation mit demneutralenElement 1.UmdieMatrixweiter
auszufüllen, müssen wir nun Fälle unterscheiden. Betrachten Sie als ersten Fall:
a·b = 1. Warum gilt dann auch b·a = 1? Füllen Sie nun den Rest der Matrix mit
Hilfe der lateinischen-Quadrat-Eigenschaft aus. Welche Fälle müssen als nächstes
betrachtet werden? Obwohl es mehr als zwei Fälle sind, warum gibt es nur zwei
verschiedene Multiplikationstafeln?
Bemerkung 1.7. Seien G,H Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G → H heißt (Grup-
pen)homomorphismus, falls
ϕ(x· y) = ϕ(x)· ϕ(y)
G H
für alle x,y ∈ G. Falls zusätzlich
• ϕ injektiv ist, heißt ϕ Monomorphismus.
• ϕ surjektiv ist, heißt ϕ Epimorphismus.
• ϕ bijektiv ist, heißt ϕ Isomorphismus.
• G = H ist, heißt ϕ Endomorphismus.
• ϕ bijektiv und G = H ist, heißt ϕ Automorphismus.
Gruppe G heißt isomorph zu Gruppe H, falls es einen Isomorphismus ϕ : G → H gibt;
schreibe dafür auch G (cid:13) H.
Beispiel 1.8. Seien V,W K-Vektorräume.
(1) Ist T : V → W linear, dann ist T ein Gruppenhomomorphismus, denn T(v +w) =
Tv +Tw.
(2) Sei n ∈ N, dann ist det : (GL (K),·) → (K×,·) ein Gruppenhomomorphismus,
n
denn det(AB) = det(A)det(B).
Bemerkung 1.9.
(a) Sei ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt für alle g ∈ G:
ϕ(1 ) = 1 und ϕ(g−1) = ϕ(g)−1.
G H
(b) Die Komposition zweier Gruppenhomomorphismen ist ein Gruppenhomomorphis-
mus. Das Inverse eines bijektiven Gruppenhomomorphismus ist ein Gruppenhomo-
morphismus. Isomorphie ist also eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen un-
ter dieser Äquivalenzrelation heissen Isomorphieklassen.
(c) Isomorphe Gruppen verhalten sich oft gleich: Gilt eine Aussage für eine Gruppe G,
dann auchfür alle dazuisomorphen Gruppen. ZumBeispiel: Isomorphe Gruppenha-
ben „im Wesentlichen“ dieselbe Multiplikationstafel: Ist ϕ : G → H ein Isomorphis-
mus, so gilt insbesondere ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y). Damit sehen die Multiplikationstafeln
der isomorphen Gruppen G und H wie folgt aus:
KAPITEL 1. GRUPPEN 7
· y · ϕ(y)
G H
und .
x x·y ϕ(x) ϕ(x·y)
Macht man in der Gruppentheorie Eindeutigkeitsaussagen, so bedeutet dies oft Ein-
deutigkeit bis auf Isomorphie.
Beweis zu (a): Es gilt
ϕ(1) = ϕ(1·1) = ϕ(1)·ϕ(1) ,
also nach Multiplikation mit ϕ(1)−1 auch 1 = ϕ(1)ϕ(1)ϕ(1)−1 = ϕ(1).
Außerdem gilt
ϕ(g)ϕ(g−1) = ϕ(gg−1) = ϕ(1) = 1 = ϕ(1) = ϕ(g−1g) = ϕ(g−1)ϕ(g) .
Da das Inverse eines Gruppenelementes eindeutig bestimmt ist, folgt, dass ϕ(g−1)
das Inverse zu ϕ(g) sein muss.
Kapitel 2
Untergruppen
Definition 2.1. Sei G eine Gruppe, U ⊆ G eine Teilmenge. Dann heißt U Untegruppe
von G (U ≤ G), wenn gilt:
(U1) U (cid:6)= ∅,
(U2) a,b ∈ U ⇒ ab ∈ U,
(U3) a ∈ U ⇒ a−1 ∈ U.
Bemerkung 2.2. Sei G eine Gruppe.
(a) Sei U ≤ G Untergruppe. Dann ist U eine Gruppe im Sinne von Definition 1.1.
(b) Seien A,B ⊆ G,c ∈ G. Definiere
A·B := {a·b | a ∈ A,b ∈ B}
c·B := {c·b | b ∈ B} = {c}·B
B ·c := B ·{c}
A−1 := {a−1 | a ∈ A} .
Dann gilt:
(i) U ≤ G ⇔ U (cid:6)= ∅,U ·U ⊆ U,U−1 ⊆ U ⇔ 1 ∈ U,U ·U ⊆ U,U−1 ⊆ U.
G
(ii) U ≤ G impliziert U−1 = U (und U ·U = U). Siehe Bemerkung 1.2(c).
Beispiel 2.3.
(a) Sei G eine Gruppe. Dann ist {1} ≤ G und G ≤ G.
(b) Es gilt (Z,+) ≤ (Q,+) ≤ (R,+) ≤ (C,+). Außerdem ist ({−1,1},·) ≤ (Q×,·) ≤
(R×,·) ≤ (C×,·) und ({1,−1,i,−i},·) ≤ (C×,·).
Beispiel 2.4. Die Untergruppen von (Z,+) sind genau die Teilmengen d ·Z, für d ∈ Z
(oder d ∈ N ).
0
Beweis. (a) Behauptung: Sei d ∈ Z. Dann ist (dZ,+) ≤ (Z,+).
Beweis.
8
KAPITEL 2. UNTERGRUPPEN 9
(U1) 0 = d·0 ∈ dZ ⇒ dZ (cid:6)= ∅.
(U2) dz +dz = d(z +z ) ∈ dZ.
1 2 1 2
(U3) Es gilt −(dz) = d(−z) ∈ dZ.
(b) (i) Sei U ⊆ Z,U (cid:6)= {0} und U ≤ Z. Dann existiert u ∈ U mit u (cid:6)= 0 und −u ∈ U.
Somit gilt U ∩N (cid:6)= ∅. Sei also d := min(U ∩N).
(ii) Behauptung: dZ = U.
Beweis. „⊆“: Da U Gruppe ist, gilt U +U ⊆ U, −U ⊆ U. Nach Definition ist
d ∈ U. Darausfolgtd,d+d,d+d+d,... ∈ U und−d,−d−d,−d−d−d,... ∈ U,
also dZ ⊆ U.
„⊇“:Seiu ∈ U,dannexistiertz ∈ Zmitu = dz+r,undmit0 ≤ r < d(Division
mit Rest). Da U eine Gruppe ist, folgt r = u− dz ∈ U. Da d = min(U ∩ N)
gilt, ist r = 0, also u = dz ∈ dZ. Dies zeigt U ⊆ dZ.
Damit ist U = dZ gezeigt.
Bemerkung 2.5. Sei ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann heißt Ker(ϕ) =
{g ∈ G | ϕ(g) = 1 } Kern von ϕ und im(ϕ) = {ϕ(g) | g ∈ G} Bild von ϕ.
H
Dann ist ϕ injektiv genau dann, wenn Ker(ϕ) = {1 }. Und ϕ ist surjektiv, genau dann,
G
wenn im(ϕ) = H.
Beweis. Wir wissen ϕ(1) = 1.
(i) Sei ϕ injektiv. Sei a ∈ Ker(ϕ). Dann folgt ϕ(a) = 1 = ϕ(1), also a = 1.
(ii) Sei Ker(ϕ) = {1} und ϕ(x) = ϕ(y). Dann ist 1 = ϕ(x)ϕ(y)−1 = ϕ(xy−1), also
xy−1 ∈ Ker(ϕ) = {1}, also xy−1 = 1 und damit x = y.
Lemma 2.6. Sei ϕ : G → H ein Homomorphismus. Dann ist
Ker(ϕ) ≤ G und im(ϕ) ≤ H.
Beweis. Da 1 = ϕ(1) ist, folgt Ker(ϕ) (cid:6)= ∅. Seien x,y ∈ Ker(ϕ), d.h. 1 = ϕ(x) = ϕ(y),
dann ist ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = 1·1 = 1 und damit xy ∈ Ker(ϕ). Außerdem ist ϕ(x−1) =
ϕ(x)−1 = 1−1 = 1, also x−1 ∈ Ker(ϕ).
Der Teil im(ϕ) ≤ H bleibt dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.
Beispiel 2.7.
(i) Sei σ ∈ S . Definiere sgn(σ) := (−1)ω(σ), wobei
n
ω(σ) := |{(i,j) | 1 ≤ i < j ≤ n,σ(j) < σ(i)}|
die Anzahl der Fehlstellen/Fehlstellungen von σ ist. Dann ist
(cid:4) σ(i)−σ(j)
sgn(σ) = .
i−j
i<j
Beispiel:
(cid:2) (cid:3)
1 2 3
σ = = (13)(2) = (13) .
3 2 1