Álgebra linear: uma introdução moderna

722 Pages·2016·198.04 MB·Portuguese

by  David Poole

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David Poole v
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ÁLGEBRA
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ÁLGEBRA
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LINEAR
LINEAR
uma introdução moderna
Tradução da 4ª- edição norte-americana
Álgebra linear: uma introdução moderna foi escrito com o objetivo de uma introdução moderna
mostrar aos estudantes que álgebra linear é um assunto estimulante e Á
de enorme utilidade.
L
O livro foi estruturado de forma bastante flexível, para que possa ser G
usado em diferentes cursos, com diversos enfoques. Escrito de forma Tradução da 4ª- edição norte-americana
clara, direta e objetiva, aborda temas como vetores, matrizes, autovalores e E
autovetores, ortogonalidade, espaços vetoriais e distância e aproximação.
B
A apresentação de conceitos-chave de modo concreto, antes de mostrá-los
R
em toda sua generalidade, torna o assunto mais acessível ao estudante.
A ênfase em vetores e geometria e os inúmeros exercícios e exemplos A
Outras obras
que reforçam o fato de a álgebra linear ser uma ferramenta valiosa para
a modelagem de problemas aplicados consistem no principal diferencial
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deste livro. A apresentação de pequenos esboços biográfi cos de muitos CÁLCULO – VOLUME 1
dos matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento da álgebra I TRADUÇÃO DA 7ª- EDIÇÃO
N
linear ajuda a colocar uma face humana no assunto e contribui para que os NORTE-AMERICANA
estudantes percebam a matemática como uma conquista social e cultural James Stewart
E
e não apenas científi ca.
CÁLCULO – VOLUME 2
A
APLICAÇÕES: Destina-se a disciplinas introdutórias de álgebra linear nos TRADUÇÃO DA 7ª- EDIÇÃO
cursos de Engenharia, Física, Química, Ciência da Computação, Matemática, R NORTE-AMERICANA
Estatística, Economia, Administração de Empresas, entre outros. James Stewart
ÁLGEBRA LINEAR E
SUAS APLICAÇÕES
TRADUÇÃO DA 4ª- EDIÇÃO
NORTE-AMERICANA
Gilbert Strang
CÁLCULO NUMÉRICO:
APRENDIZAGEM COM
APOIO DE SOFTWARE
ISBN 13 978-85-221-2390-2
ISBN 10 85-221-2390-X 2ª- EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADA
Selma Arenales e
Artur Darezzo
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9 788522 123902
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Álgebra Linear
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Tradução da 4 edição norte-americana
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Poole, David
Álgebra linear: uma introdução moderna / David
Poole; tradução técnica Martha Salerno
Monteiro, Celia Mendes Carvalho Lopes. -- 2. ed.
-- São Paulo: Cengage Learning, 2016.
Título original: Linear algebra: a modern
introduction. 4. ed. norte-americana.
Bibliogra ia.
ISBN 978-85-221-2401-5
1. Algebra linear I. Título.
15-11228 CDD-512.5
Índice para catálogo sistemático:
1. Álgebra linear : Matemática 512.5
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Álgebra Linear
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Tradução da 4 edição norte-americana
David Poole
Tradução técnica
Martha Salerno Monteiro
Bacharel e mestre em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística (IME) da Universidade de São Paulo. PhD in
Mathematics pela University of New Mexico (EUA). Docente da Universidade de São Paulo junto ao Departamento de
Matemática do IME-USP desde 1981. Membro da diretoria do Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática do
IME-USP de 1998 a 2015, tendo sido diretora desse Centro no período de 2007 a 2011.
Celia Mendes Carvalho Lopes
Bacharel e mestre em Matemática e doutora em Estatística pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São
Paulo. Professora adjunta I na Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie, onde trabalha desde 2002, já
tendo ministrado disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e de Álgebra Linear.
Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos
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Álgebra Linear: Uma Introdução Moderna – © 2015, 2011, 2006 Cengage Learning
Tradução da 4a edição norte-americana
© 2017 Cengage Learning Edições Ltda.
2a edição brasileira
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reproduzida, sejam quais forem os meios empregados, sem a permissão
David Poole
por escrito da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos
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Albuquerque
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Título original: Linear algebra: a modern introduction
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(ISBN 13: 978-1-285-46324-7; ISBN 10: 1-285-46324-2)
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Tradução técnica da 1ª edição: Martha Salerno Monteiro (co-
contato pelo telefone 0800 11 19 39
ord.), Célia Mendes Carvalho Lopes, Fernanda Soares Pinto
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Cardona, Iole de Freitas Druck, Leila Maria Vasconcellos
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Figueiredo, Maria Lúcia Sobral Singer e Zara Issa Abud
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Tradução técnica desta edição: Martha Salerno Monteiro e
Celia Mendes Carvalho Lopes
© 2017 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
Revisão: Mayra Clara Albuquerque Venâncio dos Santos
ISBN 13: 978-85-221-2401-5
Diagramação: Triall Editorial ISBN 10: 85-221-2401-9
Indexação: Maria Dolores Sierra Mata
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Editora de aquisições: Guacira Simonelli
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Impresso no Brasil
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Dedicado à memória de
Peter Hilton, que era um
matemático, educador e
cidadão exemplar – um vetor
unitário em todos os sentidos.
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vi Álgebra Linear
Sumário
Prefácio ix
Ao Professor xvii
Ao Estudante xxiii
Capítulo 1 Vetores 1
1.0 Introdução: O Jogo da Pista de Corrida 1
1.1 A Geometria e a Álgebra de Vetores 3
1.2 Comprimento e Ângulo: O Produto Escalar 18
Investigação: Vetores e Geometria 32
1.3 Retas e Planos 34
Investigação: O Produtor Vetorial 48
Projeto de Texto: As Origens dos Produtos Escalar e Vetorial 49
1.4 Aplicações 50
Vetores Força 50
Revisão do Capítulo 55
Capítulo 2 Sistemas de Equações Lineares 57
2.0 Introdução: Trivialidade 57
2.1 Introdução aos Sistemas de Equações Lineares 58
2.2 Métodos Diretos de Resolução de Sistemas Lineares 64
Projeto de Texto: Uma História sobre o Método de Eliminação de Gauss 82
Investigação: Mentiras que Meu Computador me Contou 83
Pivoteamento Parcial 84
Contando Operações: Uma Introdução
à Análise de Algoritmos 85
2.3 Conjuntos Geradores e Dependência Linear 88
2.4 Aplicações 99
Alocação de Recursoss 99
Balanceamento de Equações Químicas 101
Análise de Redes 102
Circuitos Elétricos 104
Modelos Econômicos Lineares 107
Jogos Lineares Finitos 109
Vinheta: O Sistema de Posicionamento Global 121
2.5 Métodos Iterativos de Resolução de Sistemas Lineares 124
Revisão do Capítulo 134
vi
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Sumário vii
Capítulo 3 Matrizes 136
3.0 Introdução: Matrizes em Ação 136
3.1 Operações com Matrizes 138
3.2 A Álgebra de Matrizes 154
3.3 A Inversa de uma Matriz 163
3.4 A Fatoração LU 180
3.5 Subespaços, Base, Dimensão e Posto 191
3.6 Introdução às Transformações Lineares 211
Vinheta: Robotics 226
3.7 Aplicações 230
Cadeias de Markov 230
Modelos Econômicos Lineares 235
Crescimento Populacional 239
Grafos e Digrafos 241
Revisão do Capítulo 251
Capítulo 4 Autovalores e Autovetores 253
4.0 Introdução: Um Sistema Dinâmico sobre Grafos 253
4.1 Introdução aos Autovalores e Autovetores 254
4.2 Determinantes 263
Projeto de texto: O que veio primeiro: a matriz ou o determinante? 283
Vinheta: Método de Condensação de Lewis Carroll 284
Aplicações Geométricas de Determinantes 286
4.3 Autovalores e Autovetores de Matrizes n 3 n 292
Projeto de Texto: A História de Autovalores 301
4.4 Semelhança e Diagonalização 301
4.5 Métodos Iterativos para o Cálculo de Autovalores 311
4.6 Aplicações e o Teorema de Perron-Frobenius 325
Cadeias de Markov 325
Crescimento Populacional 330
O Teorema de Perron-Frobenius 332
Relações de Recorrência Lineares 335
Sistemas de Equações Diferencias Lineares 340
Sistemas Dinâmicos Lineares Discretos 348
Vinheta: Classificando Times Esportivos e Pesquisando na Internet 356
Revisão do Capítulo 364
Capítulo 5 Ortogonalidade 366
5.0 Introdução: Sombras em uma Parede 366
5.1 Ortogonalidade em Rn 368
5.2 Complementos e Projeções Ortogonais 378
5.3 O Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt e
a Fatoração QR 388
Investigações: A Fatoração QR Modificada 396
Determinação de aproximação de autovalores pelo algoritmo QR 398
5.4 Diagonalização Ortogonal de Matrizes Simétricas 400
5.5 Aplicações 408
Formas Quadráticas 408
Representação Gráfica de Equações Quadráticas 415
Revisão do Capítulo 425
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viii Álgebra Linear
Capítulo 6 Espaços Vetoriais 427
6.0 Introdução: Fibonacci no Espaço (Vetorial) 427
6.1 Espaços Vetoriais e Subespaços 429
Projeto de Texto: O Surgimento de Espaços Vetoriais 443
6.2 Independência Linear, Base e Dimensão 443
Investigação: Quadrados Mágicos 460
6.3 Mudança de Base 463
6.4 Transformações Lineares 472
6.5 Núcleo e a Imagem de uma Transformação Linear 481
6.6 A Matriz de uma Transformação Linear 497
Investigação: Mosaicos, Reticulados e a Restrição Cristalográfica 515
6.7 Aplicações 518
Equações Diferenciais Lineares Homogêneas 518
Revisão do Capítulo 527
Capítulo 7 Distância e Aproximação 529
7.0 Introdução: A Geometria do Taxista 529
7.1 Espaços com Produto Interno 531
Investigação: Vetores e Matrizes com Elementos Complexos 543
Desigualdades Geométricas e Problemas de Otimização 547
7.2 Normas e Funções Distância 552
7.3 Método de Aproximação por Mínimos Quadrados 568
7.4 A Decomposição por Valores Singulares 590
Vinheta: Compressão de Imagem Digital 607
7.5 Aplicações 610
Aproximação de Funções 610
Revisão do Capítulo 618
APÊNDICE A Notação Matemática e Métodos de Demonstração A1
APÊNDICE B Indução Matemática B1
APÊNDICE C Números Complexos C1
APÊNDICE D Polinômios D1
Respostas a Exercícios Ímpares Selecionados RESP1
Índice Remissivo IR1
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Prefácio
A última coisa que se sabe quando se escreve
um livro é o que colocar primeiro.
– Blaise Pascal
Pensées, 1670
A nova edição de Álgebra Linear: Uma Introdução Moderna preserva a abordagem
e as características que os leitores acreditaram ser os pontos fortes das edições ante-
riores. No entanto, simplifiquei um tanto o texto, adicionei diversos esclarecimentos
e renovei os exercícios.
Quero que os alunos vejam álgebra linear como uma disciplina estimulante e
apreciem sua enorme utilidade. Ao mesmo tempo, pretendo ajudá-los a dominarem
conceitos básicos e técnicas da álgebra linear necessários para outros cursos, tanto
em matemática quanto em outras disciplinas. Também quero ajudá-los a admirar a
reciprocidade entre matemática teórica, aplicada e numérica, que permeia o assunto.
Este livro foi pensado para uso em curso introdutório, de um ou dois semestres
em álgebra linear. Em primeiro lugar, é direcionado a estudantes, e fiz o melhor que
pude para escrever o livro de modo que alunos não apenas achem sua leitura agradá-
vel, mas também sintam vontade de lê-lo. Como nas primeiras três edições, levei em
conta o fato que alunos que cursam álgebra linear provavelmente são provenientes
de cursos variados. Além dos alunos de cursos superiores em matemática, haverá
estudantes de engenharia, física, química, ciências da computação, biologia, ciência
ambiental, geografia, economia, psicologia, administração e educação, bem como
outros alunos que participam do curso como optativa ou para cumprir os requisitos
de graduação. Sendo assim, o livro equilibra teoria e aplicações práticas; é escrito
em estilo coloquial, mas permanece totalmente rigoroso; e combina uma exposição
tradicional ao aprendizado centrado no aluno.
Não existe um estilo de aprendizado que seja universalmente o melhor. Em cada
classe, haverá alguns alunos que trabalham melhor de maneira independente e ou-
tros que funcionam melhor em grupos; alguns que preferem aprender com aulas
expositivas e outros que têm mais sucesso em ambientes de oficinas, fazendo ati-
vidades investigativas; uns que se divertem com manipulações algébricas, uns que
são adeptos de cálculos numéricos (com ou sem um computador) e outros que exi-
bem forte intuição geométrica. Nesta edição, continuo a apresentar o material em
uma variedade de formas – algébrica, geométrica, numérica e verbal – de modo que
todos os tipos de estudantes possam encontrar um caminho a seguir. Também pro-
curei apresentar os tópicos teóricos, computacionais e aplicados de maneira flexível,
porém integrada. Ao fazê-lo, tenho esperança de que todos os estudantes serão ex-
postos às muitas facetas da álgebra linear.
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