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Catedrático de
Profesora Ti
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Profesor Tit
EDITO!
Barcelona-Bo:
MANUEL CASTELLET
Catedrático de la Universidad Autónoma de Barcelona
IRENE LLERENA
Profesora Titular de la Universidad de Barcelona
Con la colaboración de
CARLOSCASACUBERTA
Profesor Titular de la Universidad de Barcelona
/
EDITORIAL REVERTE, S. A.
Barcelona-Bogotá-Buenos Aires-Caracas-México
A Albert, Josep y Mar<
Título de la obra original:
Álgebra Lineal i Geometria
Edición original en lengua catalana publicada por:
Publicacions de la Universitat Autonoma de Barcelona
Versión española por:
Carlos Casacuberta
Profesor Titular de la Universidad de Barcelona
Revisado por los autores
Copyright © M. CASTELLET, I. LLERENA
Propiedad de:
EDITORIAL REVERTÉ, S. A.
Loreto, 13-15, Local B
08029 Barcelona
E-mail: [email protected]
Internet: http://www.reverte.com
Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por
cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento in
fornático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo pú
blicos, queda rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares
del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.
Edición en español
© EDITORIAL REVERTÉ, S. A., 2000
Impreso en España -Printed in Spain
ISBN -84-291-5009-9
Depósito Legal: B -46212 -2000
Impreso por BIGSA, Industria Gráfica
08930 Sant Adria del Besós (B arcelona)
A Albert, Josep y Marc
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mais qui les m.
trice serait bient.
Et surtout leurs adeptes y trouvent des jouissances analo
a
gues celles que donnent la peinture et la musique. Ils
admirent la délicate harmonie des nombres et des formes;
ils s'émerveillent quand une découverte nouvelle leur ouvre
une perspective inattendue; et lajoie qu'ils éprouvent ainsi
n'a-t-elle pas le caractere esthétique, bien que les sens n'y
prennent aucune part? ..
a
C'est pourquoi je n'hésite pas dire que les mathémati
ques méritent d'etre cultivées pour elles-memes et que les
a
théories qui ne peuvent etre appliquées la physique doi
vent l'etre comme les autres.
...Mais, le mathématicien pur qui oublierait l'existence
a
du monde extérieur serait semblable un peintre qui sau
rait harmonieusement combiner les couleurs et les jormes,
a
mais qui les modeles, jeraient déjaut. Sa puissance créa
trice serait bientót tarie.
Henri Poincaré
Índice
I Divisibilidad en 1
1.1 División entl
1.2 Mínimo com
1.3 Números pri
1.4 Congruencia
1.5 Los anillos 2 -
1.6 Ecuaciones c
1.7 Notahistári< f\
1.8 Ejercicios . .
1.9 Ejercicios pa
II Divisibilidad en (
lI.1 Definición dI
11.2 División entl
11.3 Mínimo com
lIA Polinomios i
11.5 Ceros de un
lI.6 Polinomios i
lI.7 Los anillos}
11.8 Nota histári<
11.9 Ejercicios.
lI.10 Ejercicios pa
~:
III Grupos
lIU Definición y
. lII.2 Permutacion
llI.3 Subgrupos.
lIlA Homomorfisl
lIL5 Grupo cociel
lII.6 Producto dil
Índice
I Divisibilidad en los números enteros
1.1 División entera. Ideales . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 10
1.3 Números primos entre sí y números primos 13
1.4 Congruencias.. . . . . . . . . 15
1.5 Los anillos Z/ (m) . . . . . . .
17
1.6 Ecuaciones diofánticas lineales 18
1.7 Nota histórica . 19
it
1.8 Ejercicios . . . . . . . . . .
20
1.9 Ejercicios para programar 22
~
II Divisibilidad en el anillo de polinomios
11.1 Definición del anillo de polinomios . . . . . . . . . 23
11.2 División entera e ideales en K[x] . 25
11.3 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 27
11.4 Polinomios irreducibles y polinomios primos entre sí . 30
11.5 Ceros de un polinomio ..... 32
11.6 Polinomios irreducibles de R[x] 34
11.7 Los anillos K[x]/(m(x)) . 35
11.8 Nota histórica . 38
11.9 Ejercicios . 39
11.10 Ejercicios para programar 40
III Grupos
IIU Definición y ejemplos 41
111.2 Permutaciones. 43
111.3 Subgrupos......
47
lIlA Homomorfismos...
49
111.5 Grupo cociente. Subgrupos normales 51
111.6 Producto directo de grupos . . . . . . 55
~
III.7 Grupos cíclicos.
57 VII Sistemas de ecuacionl rf;i
III.8 Grupos finitos
58 VII.1 Planteo del probh "
III.9 Nota histórica .
62 VII.2 Existencia de solu ~
r
III.10 Ejercicios . . . .
63 VII.3 Regla de Cramer. H
III.11 Ejercicios para programar
66 VII.4 Resolución de un: ~
VII.5 Método de Gauss
VII.6 Cálculo de la matI
IV Espacios vectoriales VII.7 Nota histórica . .
IV.1 Definición y ejemplos . . . . . 67 VII.8 Ejercicios..... í~
IV.2 Subespacios vectoriales ....
70 VII.9 Ejercicios para prc
IV.3 Bases de un espacio vectorial.
72
IVA Fórmula de Grassmann. Suma directa de subespacios..
77
VIII Estructura de los end<
IV.5 Suma directa de espacios vectoriales.
79
VIII.1 Vectores propios y
IV.6 Espacio vectorial cociente.
80
Polinomio caracter.
IV.7 Coordenadas.
82
VIII.2 Diagonalización de
IV.8 Nota histórica . . . . . . .
84
VIII.3 Polinomio IIÚnimo
IV.9 Ejercicios..........
85 VIllA Subespacios invaria
IV.10 Ejercicios para programar
87 VIII.5 Grado del polinomi _
VIII.6 El teorema de Cayl iT
VIII.7 Matriz canónica (gl
V Aplicaciones lineales
VIII.8 Matriz canónica de
V.1 Definición y ejemplos . 89
VIII.9 Nota histórica ..
V.2 Matriz asociada a una aplicación lineal 94 VIII. 10 Ejercicios . F
V.3 Teorema de isomorfismo .
99
VIII. 11 Ejercicios para prog
VA El espacio de las aplicaciones lineales
102
V.S El álgebra de endomorfismos 103
IX Espacios afines
V.6 El espacio dual . 105
IX.1 Definición de espaci,
V.7 Subespacios ortogonales. 109
IX.2 Traslaciones. Otra c
V.8 Nota histórica . 111
IX.3 Vari~dades lineales
V.9 Ejercicios .
111
IXA Intersección y suma
V.lO Ejercicios para programar
114
IX.5 Dependencia lineal c
IX.6 Coordenadas baricér
VI Determinantes IX.7 Ecuaciones de una v.
IX.8 COQlrdenadas cartesi.
VI.1 Determinante de n vectores. 115
IX.9 Ecuaciones de una v;
VI.2 Determinante de una matriz 121
cartesianas '" . .
VI.3 Determinante de un endomorfismo . 122
IX.1O Razón simple. . . .
VI.4 Regla de Laplace . 124
IX.11 Orientación de un es
VI.5 Cálculo del rango de una matriz 128
IX.12 Semiespacios .
VI.6 Nota histórica . 132
IX.13 Nota histórica ...
VI.7 Ejercicios..........
132 IX.14 Ejercicios. . . . . .
VI.8 Ejercicios para programar 134 IX.15 Ejercicios para progr;
