Álgebra lineal II con Aplicaciones en Estadística

403 Pages·1.114 MB·Spanish

by  José Alfredo Jiménez Moscoso

Notas de Clase
´
Algebra Lineal II
Con Aplicaciones en
Estad´ıstica
Jos´e Alfredo Jim´enez Moscoso
FacultaddeCiencias
UniversidadNacionaldeColombia
SedeBogota´
A
Mi Esposa
Mi Hija
Mis Padres
´
Indice General
Pro´logo V
1. Preliminares 1
1.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Conceptosba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Operacionesconmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. Operacioneselementalessobrelosrenglones . . . . . . . 6
1.1.4. Trazadeunamatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Inversadeunamatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1. Me´todo de Gauss-Jordan para encontrar la inversa de una
matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Matricesespeciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Matricesparticionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1. Definicionesyoperaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2. Determinantesdematricesparticionadas. . . . . . . . . . 33
1.5.3. Inversasdematricesparticionadas . . . . . . . . . . . . . 36
1.6. Espaciovectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6.1. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.2. Espaciosconproductointerno . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.6.3. Complementoortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.6.4. Subespaciosasociadosaunamatriz . . . . . . . . . . . . 52
1.7. Sistemasdeecuacioneslineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.7.1. Me´tododeeliminacio´ndeGauss . . . . . . . . . . . . . . 56
1.8. Transformacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.8.1. Representacio´nmatricialdeunatransformacio´nlineal . . 58
1.9. Matricesconentradascomplejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.9.1. Definicio´nypropiedadesba´sicas . . . . . . . . . . . . . . 60
1.9.2. Espaciosvectorialescomplejos. . . . . . . . . . . . . . . 63
I
II I´NDICEGENERAL
1.9.3. Solucio´ndesistemaslinealesconentradascomplejas . . . 64
2. Valorespropiosyvectorespropios 67
2.1. Valorespropiosyvectorespropios . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2. Matricessemejantesydiagonalizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3. Valorespropioscomplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4. Diagonalizacio´ndematricessime´tricas. . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5. Vectorespropiosgeneralizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6. Me´todositerativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.6.1. Me´tododelapotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3. Descomposicio´ndematrices 123
3.1. Triangularizacio´ndeunamatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2. Factorizacio´nQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.3. Ra´ıcescuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.3.1. Ra´ıcescuadradasdematricessime´tricas . . . . . . . . . . 151
3.3.2. Descomposicio´ndeCholesky . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.4. Polinomiom´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5. Formacano´nicadeJordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.6. Descomposicio´nenvaloressingulares . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.6.1. Descomposicio´nenvaloressingulares . . . . . . . . . . . 171
3.6.2. Descomposicio´npolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4. Matricescomplejas 177
4.1. Clasesespecialesdematricescomplejas . . . . . . . . . . . . . . 177
4.1.1. Matriceshermitianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.1.2. Matricesanti-hermitianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.1.3. Matricesunitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.1.4. Matricesnormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.2. Factorizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.2.1. Formacano´nicadeJordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.2.2. Descomposicio´nenvaloressingulares . . . . . . . . . . . 195
4.2.3. Descomposicio´npolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5. Formasbilineales 201
5.1. Formasbilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.2. Formascuadra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.3. Diagonalizacio´ndeunaformacuadra´tica. . . . . . . . . . . . . . 213
5.3.1. Diagonalizacio´nporcompletacio´ndecuadrados . . . . . 213
5.3.2. Diagonalizacio´nportransformacio´nortogonal . . . . . . 224
I´NDICEGENERAL III
5.4. Leydelainerciaparaformascuadra´ticas . . . . . . . . . . . . . . 227
5.5. Aplicacionesalageometr´ıaanal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.5.1. Rotacio´ndeejesenR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.5.2. Clasificacio´ndelasecuacionescuadra´ticas . . . . . . . . 240
5.5.3. Rotacio´ndeejesenR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.5.4. Clasificacio´ndelassuperficiescua´dricas . . . . . . . . . 250
5.6. Clasificacio´ndelasformascuadra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . 251
6. Formasherm´ıticas 259
6.1. Formaherm´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.2. Formacuadra´ticacompleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.3. Diagonalizacio´ndeunaformaherm´ıtica . . . . . . . . . . . . . . 265
6.4. Clasificacio´ndeformascuadra´ticascomplejas . . . . . . . . . . 269
6.5. Ordenparcialentrematrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7. Normasmatriciales 273
7.1. Definicio´nyresultadosba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.2. Tiposdenormasmatriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.3. Condicio´ndeecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8. Matricesidempotentes 291
8.1. Definicio´nypropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9. Inversageneralizadadematrices 305
9.1. Definicio´nypropiedadesba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
9.2. Propiedadesdelasinversasgeneralizadas . . . . . . . . . . . . . 309
9.3. Me´todosparacalcularinversasgeneralizadas . . . . . . . . . . . 311
9.4. Vectoresyvalorespropios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.5. Solucio´ndesistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
10.Aplicaciones 347
10.1. Matricesestoca´sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
10.2. ModelosGene´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
10.2.1. Herenciaautoso´mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
10.2.2. LoscuadrosdePunnett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
10.3. Modeloderegresio´nlineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
10.3.1. Me´todosdeestimacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
10.4. Multicolinealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
10.4.1. Solucionesalproblemadelamulticolinealidad . . . . . . 371
IV I´NDICEGENERAL
A. 377
A.1. A´lgebradelosnu´meroscomplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
A.1.1. Operacionesfundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 378
A.1.2. Representacio´npolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
´ındicedematerias 390
Pro´logo
Ela´lgebradematriceshallegadoaserenlaactualidadunelementoesencialde
los conocimientos matema´ticos necesarios para ingenieros y cient´ıficos. Adema´s,
los conocimientos de los me´todos fundamentales del a´lgebra matricial son nece-
sariosparasocio´logos,economistas,estudiantesdepedagog´ıaydecomercio.
A pesar de las diversas aplicaciones del a´lgebra matricial, en la mayor´ıa de
textosdea´lgebralinealnoseintroducenestostemas,poresoenmuchoscasosno
se encuentra un libro que se ajuste a los requerimientos y necesidades de ciertas
materias. Estas notas de clase esta´n basadas en el curso de A´lgebra Lineal II de
la carrera de Estad´ıstica, el cual he tenido a mi cargo durante tres an˜os y que he
preparado usando diferentes textos. Se resaltan principalmente los libros referen-
ciadosenlabibliograf´ıacomoApostol(1985),Asmar(1995),Barbolla(1998),Bru
(2001) y Searle (1982) los cuales fueron de gran apoyo en la elaboracio´n de estas
notas.
Esteescritosera´ unaayudaadicionalparaaquellosestudiantesquetomanvar-
ioscursosenloscualesdebentenerolesser´ıanprovechososlosconocimientosdel
a´lgebra de matrices. Aun cuando en estas circunstancias siempre es inadecuado
comenzaruncursodeteor´ıadematrices,estasnotaslepermitira´ allectoradquirir
lapra´cticanecesariaenelmanejodematrices.
El objetivo principal de estas notas consiste en capacitar al lector a fin de que
adquiera la habilidad de usar el a´lgebra de matrices. Este material busca propor-
cionarallectorlosconceptosdediagonalizacio´nyfactorizacio´nmatricial,formas
cuadra´ticaseinversasgeneralizadasdeunamanerasencilla;durantesudesarrollo
seplanteanejemplosyejerciciosrelacionadosconlateor´ıa.
Estasnotasesta´nescritasenformaprogramadaporlocualleayudara´ allector
aalcanzarsuprincipalobjetivo.Acadalectorleproporcionaunmedioindividual
para estudiar el tema expuesto y es muy u´til como texto auto-dida´ctico. Adema´s,
le permitira´ al lector avanzar a su propio ritmo. De esta manera, las notas pueden
usarlasestudiantescondiferentesaptitudes,conocimientosyrapidezdelectura.
Por supuesto que estas notas pueden contener errores, espero que me los co-
V
VI PRO´LOGO
menten en una forma constructiva, que me permita corregirlos. Esta es tal vez la
u´nicaformacomoenunambienteacade´micosepodra´ iravanzando.
Agradezcolacolaboracio´ndelDepartamentodeMatema´ticasquienatrave´sde
su oficina de publicaciones me permitio´ la divulgacio´n de este material. Tambie´n
quiero dar las gracias tanto a los colegas que evaluaron este manuscrito como a
misestudiantesdelcursodeA´lgebraLinealII delacarreradeEstad´ıstica,porsus
sugerencias y comentarios, los cuales fueron muy u´tiles en la redaccio´n de estos
apuntes.
Jose´ AlfredoJime´nezM.
Cap´ıtulo 1
Preliminares
Este cap´ıtulo es una recopilacio´n de conceptos, procedimientos y resultados
ba´sicos que, por lo general, forman parte del primer curso deA´lgebra Lineal. Por
consiguiente, una gran parte de estos resultados aparecen sin prueba; adema´s, en
algunoscasosseconsiderantemasqueellectordebemanejaryqueporsuimpor-
tanciasonretomadosposteriormente.
El propo´sito fundamental de este material es servir como prerrequisito para
los siguientes cap´ıtulos y, como ya se menciono´, no se profundizara en los temas
considerados en este cap´ıtulo. Si el lector tiene amplios conocimientos del con-
tenido de este apartado puede pasar de inmediato al siguiente cap´ıtulo, aunque es
recomendablequedesarrollelassecciones1.5y1.9.
1.1. Matrices
En esta seccio´n se introducen los conceptos y las reglas ba´sicas del a´lgebra
de matrices. Dentro de los diferentes elementos estudiados por elA´lgebra Lineal,
unodelosma´sutilizadoseseldematriz.EstosedebeaquelaTeor´ıadeMatrices
ofrece,entreotras,laposibilidaddetrabajarco´modamenteconmodelosdegrandi-
mensio´n,tantoennu´merodevariables,comodeecuacionesodatos,yaquebrinda
unanotacio´nsimpleycompactaparadesignarampliosconjuntosdeinformacio´n.
1.1.1. Conceptosba´sicos
En esta seccio´n se presenta la definicio´n formal del te´rmino “matriz”, las ma-
trices se denotan con letras mayu´sculas y con minu´sculas los elementos que las
1
2 CAPI´TULO1. PRELIMINARES
constituyen.
Definicio´n 1.1. Una matriz A de taman˜o m×n es un arreglo rectangular de m·n
nu´meros reales (o complejos1) dispuestos en m filas y n columnas, escritos entre
corchetes(opare´ntesis),comosigue
 
a a ... a ... a
 11 12 1j 1n
 
 ... ... ... ... ... ... 
 
 
A=a a ... a ... a ,
 i1 i2 ij in
 ... ... ... ... ... ... 
 
a a ... a ... a
m1 m2 mj mn
donde los sub´ındices indican la “fila” y la “columna” de localizacio´n en la ma-
trizdecadanu´meroreal(ocomplejo);alosnu´merosa ,a ,...,a selesllama
11 12 mn
elementosoentradasdelamatriz.
Observacio´n
Cuandom=n,lamatrizrecibeelnombredecuadrada;siesm(cid:54)=n,sedenomi-
narectangular.Alconjuntodetodaslasmatricesdetaman˜om×n,selenotara´ por
M .
mn
Definicio´n1.2. Matricesiguales
Sean las matrices reales A=[a ] y B=[b ], se dice que son iguales, cuando
ij ij
teniendoelmismotaman˜o,severificaque
∀ i=1,2,...,m;
a =b
ij ij
∀ j=1,2,...,n.
1Siellectornoesta´familiarizadoconestosnu´merospuedeconsultarelape´ndice.