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Álgebra de Baldor ahora con una
Álgebra
BALDOR
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Baldor:
Aritmética
Geometría y
MR
trigonometría
C
M
Y
CM
MY
CY
CMY
K
M
R
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CÓDIGO DE ACCESO:
GEP-AB2012-LG
Número y forma son los pilares sobre los cuales se ha construido el enorme Durante más de diez siglos la cultura matemática de Europa padeció de un
edifi cio de la Matemática. Sobre aquél se erigieron la Aritmética y el Álgebra; completo aletargamiento. Salvo muy esporádicas manifestaciones entre las
sobre éste, la Geometría y la Trigonometría. En plena Edad Moderna, ambos que se pueden destacar la de los musulmanes, el progreso de las ciencias
pilares se unifi can en maravillosa simbiosis para sentar la base del análisis. en general se mostró paralizado. A partir del siglo XVI, en Alemania, Francia
Del número —en su forma concreta y particular— surgió la Aritmética, pri- e Inglaterra comenzó a prepararse un ambiente favorable para el gran avan-
mera etapa en la historia de la Matemática. Más tarde, cuando el hombre ce de los siglos siguientes, el cual fundamentó el nacimiento de la ciencia
dominó el concepto de número y lo hizó de manera abstracta y general, dio moderna. Nombres como los de Cardano, Tartaglia, Neper y Vieta, inician la
un paso adelante en el desarrollo del pensamiento matemático, así nació el corriente que iba a tener sus más altos exponentes en hombres como Des-
Álgebra. cartes, Newton y Leibniz.
Los griegos han dejado una estela maravillosa de su singular ingenio en casi Inglaterra comenzó en esta época a brindar su contribución al engrandeci-
todas las manifestaciones culturales. De manera que en las formas concretas miento de las ciencias. El inglés Francis Bacon, en el siglo XVI, dio el primer
lograron elaborar un insuperable plástica y en las formas puras nos legaron paso para establecer el método científi co al obtener la primera reforma de
las corrientes perennes de su fi losofía y las bases teóricas de la Matemáti- la lógica desde los tiempos de Aristóteles. En las universidades de Oxford y
ca ulterior. Nuestra cultura y civilización son una constante recurrencia a lo Cambridge se formaron generaciones de científi cos y fi lósofos que habrían
griego. Por ello, no podemos ignorar la contribución de los pueblos helénicos de incorporar el imperio inglés a las corrientes culturales de Europa. Infinidad
al desarrollo de la Matemática. El cuerpo de las doctrinas matemáticas que de sabios ingleses cruzaron el mar para estudiar en las universidades de
establecieron los griegos tiene sus aristas más sobresalientes en Euclides, París, Bolonia, Toledo, etc.
Arquímedes y Diáfano.
Con Newton comienza la era de la Matemática moderna aplicada a esta-
Con Arquímedes —hombre griego— se inicia la lista de matemáticos mo- blecer la ley de gravitación universal. Los trabajos de Newton tuvieron su
dernos. Hierón, rey de Siracusa, ante la amenaza de las tropas romanas a las base en las tres leyesdescubiertas por Johannes Kepler, quien pudo llegara
órdenes de Marcelo, solicita a Arquímedes llevar a cabo la aplicación de esta dichas leyesgracias a la invenciónde los logaritmos de John Napier o Neper.
ciencia. De manera que él diseña y prepara los artefactos de guerra que de- Estudia la relación que existe entre las progresiones aritméticas y geomé-
tienen por tres años al impetuoso general romano. En la guarda se puede ob- tricas y determinó las propiedades de los logaritmos, las cuales abrevian
servar cómo las enormes piedras de más de un cuarto de tonelada de peso, considerablemente el cálculo numérico. Gracias a este nuevo instrumento
lanzadas por catapultas, rechazaban a los ejércitos romanos y cómo los de cálculoastronómico. Kepler y Newton pudierondar una nueva y moderna
espejos ustorios convenientemente dispuestos incendian la poderosa fl ota. visión del mundo sideral.
Al caer Megara y verse bloqueado, Siracusa se rinde (212 a. C.). Marcelo,
asombrado ante el saber de quien casi lo había puesto en fuga con sus John Neper, nació en el Castillo de Merchiston, cerca de Edimburgo, Esco-
ingeniosidades, requiere su presencia. Ante la negación de Arquímedes de cia, en 1550; y murió en el mismo lugar en 1617. No era lo que hoy suele
prestar sus servicios al soberbio general vencedor de su Patria, un soldado llamarse un matemático profesional. En 1614 dio a conocer la naturaleza de
romano le da muerte con su espada. los logaritmos. Su invención se divulgó de manera rápida en Inglaterra y en
el Continente. Cuando un amigo le dijo a Neper que Henry Briggs, profesor
de Gresham Collage de Londres, lo visitaría, éste contestó: “Ah, Mr. Briggs
no vendrá”. En ese mismo momento Briggs tocaba a la puerta y hacía su
entrada en el castillo. Durante más de un cuarto de hora, Briggs y Neper se
Nuestra portada
miraron sin pronunciar una sola palabra. Briggs inició la conversación para
A los árabes se debe el desarrollo de una de las más importantes ramas de la Matemática: el reconocer los méritos del escocés. Así nació una de las amistades más
Álgebra. Al-Juarismi, el más grande matemático musulmán, dio forma a esta disciplina, la cual fructíferas para la Matemática. La guarda nos ilustra el largo viaje de Briggs
después iba a ser clásica. Nació en la ciudad persa de Huwarizmi, hoy Khiwa, a fi nes del siglo (unos 600 km) desde Londres a Edimburgo. Puede verse la diligenciaen que
VIII.Murió hacia el 844 (230 de la Hégira). En la biblioteca del califa Al-Mamún compuso en el Briggs realiza el viaje y se acerca al Castillo de Merchiston.
825 (210 de la Hégira) su obra Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-al-muqabala”, de la que
se deriva el nombre de esta ciencia. Al-gabr signifi ca ecuación o restauración, al-muqabala son
términos que hay que agregar o quitar para que la igualdad no se altere. Por esto, en rigor, el
Álgebra no es más que una teoría de las ecuaciones.
ÁLGEBRA
DR. ANGEL AURELIO BALDOR DE LA VEGA
Fundador, Director y Jefe de la
Cátedra de Matemáticas
del Colegio Baldor,
La Habana, Cuba.
Jefe de la Cátedra de Matemáticas,
Stevens Academy, Hoboken,
New-Jersey, U.S.A.
Profesor de Matemáticas,
Saint Peter’s College, Jersey City,
New-Jersey.
Con gráfi cos y 6,523 ejercicios y problemas con respuestas.
Primera edición ebook
México, 2016
info editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo
Revisión técnica: Alex Polo Velázquez
Diseño: Juan Bernardo Rosado Solís
Ilustración: José Luis Mendoza Monroy
Diagramación: Seditograf / Carlos Sánchez
Álgebra
Derechos reservados:
© Dr. Aurelio Baldor
© 1983, Compañía Editora y Distribuidora de Textos Americanos, S.A. (CCEDTA)
Códice Ediciones y Distribuciones, S.A. (Códice América, S.A.)
© 1983, Publicaciones Cultural, S.A. de C.V.
© 2000, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V.
Derechos reservados:
© 2004, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V.
© 2007, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN ebook: 978-607-744-435-0 primera edición
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de
la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el
consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición: Publicaciones Cultural, S.A. de C.V., 1983
Primera edición: Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V., 2005
Segunda edición: Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V., 2007
Primera edición ebook: Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V., 2016
Dr. Aurelio Baldor (breve semblanza)
Aurelio Baldor nació en La Habana, Cuba, el 22 de octubre de 1906. Fue un gran hombre dedicado a la
educación y la enseñanza de las matemáticas. En su tierra natal fue el fundador y director del Colegio
Baldor durante las décadas de los años cuarenta y cincuenta. Tras el establecimiento del gobierno de
Fidel Castro, en 1960 se trasladó junto con su familia a México y, fi nalmente, a Estados Unidos, don-
de vivió en las ciudades de Nueva Orleans y Nueva York, lugar en el que impartió clases de matemáti-
cas. Falleció en la ciudad de Miami el 3 de abril de 1978.
Introducción
Es una gran satisfacción para nosotros participar en esta nueva edición del libro más importante en
enseñanza del álgebra en idioma español, Álgebra de Baldor.
Realizar la nueva edición de un libro tan conocido y exitoso ha sido a la vez un reto y un gran gozo
para nosotros. Las opiniones para tomar muchas de las decisiones que se hicieron en esta edición
provinieron de gente experta en el tema, así como la pedagogía, la edición y el diseño.
Antes de hacer cualquier modifi cación nos dimos a la tarea de indagar por qué ha sido tan exitoso
este libro y conocer de forma detallada sus virtudes, que son muchas, por ello estamos manteniendo
y destacando las mismas, para garantizar a los estudiantes y profesores la gran calidad autoral de
Aurelio Baldor y la experiencia de Grupo Editorial Patria.
Por otra parte, haciendo eco a las sugerencias que nos hicieron preparamos esta edición que entre
sus características importantes incluye:
I. La revisión exhaustiva del contenido técnico y por ello, por mencionar algunos aspectos, se actua-
lizaron las defi niciones de función, exponente y los ejemplos y ejercicios, en particular tomando
en cuenta el lenguaje moderno y la actualización de terminología, tipos de cambio y monedas
utilizadas en Latinoamérica.
II. En cuanto a la pedagogía y el diseño, se revaloró la importancia de las secciones y temas así
como de la forma en que la edición anterior presenta la información a los estudiantes. Como
resultado, en esta edición presentamos un diseño moderno y atractivo en el que incluimos nuevos
gráfi cos e ilustraciones que facilitarán su comprensión.
III. Un aspecto moderno y especialmente útil es la adición de un CD diseñado para ser un gran apoyo
para los alumnos y profesores en el proceso de enseñanza y aprendizaje del tema. Este CD no
sustituye al libro o al profesor, pues su uso está ligado al libro a través de las secciones que lo
integran y es un obsequio que para su uso requiere que el lector se registre inicialmente a través
de nuestra página de Internet así como su equipo, y después de ello no requiere estar conectado
ya que se le enviará un password a todos los compradores de nuestra edición.
El CD requiere de gran interactividad con el alumno y se compone de:
a. Videos con las aplicaciones del Álgebra a la vida cotidiana.
b. Claros y útiles ejemplos paso a paso, que los alumnos podrán repetir un sinnúmero de veces.
c. Banco con cientos de ejercicios y secciones con datos de interés.
d. Una sección de autoevaluación por tema en la que se podrá ejercitar el avance y conocimiento
adquirido; este material se puede imprimir y enviar a través de Internet a los profesores o
correos marcados.
e. Herramientas como glosario de términos clave y otras más.
Esperamos que te guste esta edición tanto como a nosotros,
Los editores
Nota de los editores a la primera edición
Para responder a la gentil deferencia que han tenido con esta obra los profesores y alum-
nos de América Latina, hemos introducido, en la presente edición, una serie de mejoras
que tienden a que este libro sea más efi caz e interesante.
Hemos procurado que la presentación constituya por sí sola una poderosa fuente
de motivación para el trabajo escolar. El contenido ha sido cuidadosamente revisado y se
han introducido diversos cuadros y tablas para un aprendizaje más vital y efectivo. El uso
del color, en su doble aspecto estético y funcional, hace de esta obra, sin lugar a dudas,
el Álgebra más pedagógica y novedosa de las publicadas hasta hoy en idioma español.
Los editores estimamos oportuno introducir algunos añadidos que contribuyan a
completar el contenido de los programas vigentes. Tales añadidos son, por citar sólo
algunos, las notas sobre el concepto de número; nota sobre las cantidades complejas e
imaginarias y el cuadro de los tipos básicos de descomposición factorial.
Esperamos que el profesorado de Hispanoamérica sepa aquilatar el ingente esfuer-
zo rendido por todos los técnicos que han intervenido en la confección de esta obra.
Sólo nos queda reiterar nuestro más profundo agradecimiento por la acogida que le han
dispensado siempre.
Los editores
Con acendrada devoción y justo orgullo, dedico este esfuerzo edi-
torial, a la inolvidable memoria de mi madre, Profesora Ana Luisa
Serrano y Poncet, que fuera Presidenta de esta Empresa de 1921
a 1926.
Dr. José A. López Serrano
Concepto de número en los pueblos primitivos (25000- poseían; así surgió la Aritmética. El origen del Álgebra fue pos-
5000 a. C.). Medir y contar fueron las primeras actividades terior. Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara
matemáticas del hombre primitivo. Haciendo marcas en los un concepto abstracto del número, base indispensable para la
troncos de los árboles lograban, estos primeros pueblos, la formación de la ciencia algebraica.
medición del tiempo y el conteo del número de animales que
PPRREELLIIMMIINNAARREESS
ÁLGEBRA es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más 1
general posible.
CARÁCTER DEL ÁLGEBRA Y SU DIFERENCIA CON LA ARITMÉTICA 2
El concepto de la cantidad en Álgebra es mucho más amplio que en Aritmética.
En Aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores deter-
minados. Así, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que
éste habrá que escribir un número distinto de 20.
En Álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de
letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, a representa el valor que noso-
tros le asignemos, y por tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra
elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un
valor determinado, ésta no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del
que le hemos asignado.
NOTACIÓN ALGEBRAICA 3
Los símbolos usados en Álgebra para representar las cantidades son los números y las
letras.
6 Baldor álgebra
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o
desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, ...
Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w,
x, y, z.
Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comi-
llas; por ejemplo: a’, a’’, a’’’, que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio
de subíndices; por ejemplo: a , a , a , que se leen a subuno, a subdós, a subtrés.
1 2 3
4 FÓRMULAS
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio
de letras son las fórmulas algebraicas.
Fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un
principio general.
Así, la Geometría enseña que el área de un rectángulo es igual al producto de su base por
su altura; luego, llamando A al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la fórmula
A = b × h
representará de un modo general el área de cualquier rectángulo, pues el área de un rectán-
gulo dado se obtendrá con sólo sustituir b y h en la fórmula anterior por sus valores en el caso
dado. Así, si la base de un rectángulo es 3 m y su altura 2 m, su área será:
A = b × h = 3 m × 2 m = 6 m2
1
El área de otro rectángulo cuya base fuera 8 m y su altura 3 m sería:
2
A = b × h = 8 m × 31 m = 28 m2 (*)
2
5 SIGNOS DEL ÁLGEBRA
Los signos empleados en Álgebra son de tres clases: signos de operación, signos de relación
y signos de agrupación.
6 SIGNOS DE OPERACIÓN
En Álgebra se verifi can con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: suma,
resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican
con los signos siguientes:
(*) En el capítulo XVIII, página 270, se estudia ampliamente todo lo relacionado con las fórmulas algebraicas.
Preliminares 7
El signo de la suma es +, que se lee más. Así a + b se lee “a más b”.
El signo de la resta es −, que se lee menos. Así, a − b se lee “a menos b”.
El signo de la multiplicación es ×, que se lee multiplicado por. Así, a × b se lee “a
multiplicado por b”.
En lugar del signo × suele emplearse un punto entre los factores y también se indica la
⋅
multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así, a b y (a)(b) equivalen a a × b.
Entre factores literales o entre un factor numérico y uno literal el signo de multiplicación
suele omitirse. Así abc equivale a a × b × c; 5xy equivale a 5 × x × y.
El signo de la división es ÷, que se lee dividido entre. Así, a ÷ b se lee “a dividido entre
b”. También se indica la división separando el dividendo y el divisor por una raya horizontal.
m ÷
Así, equivale a m n.
n
El signo de la elevación a potencia es el exponente, que es un número pequeño coloca-
do arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada
base, se toma como factor. Así,
a3 = aaa; b5 = bbbbb
Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad. Así, a equivale a a1;
mnx equivale a m1n1x1.
El signo de raíz es , llamado signo radical, y bajo este signo se coloca la cantidad a la
cual se le extrae la raíz. Así, a equivale a raíz cuadrada de a, o sea, la cantidad que elevada
al cuadrado reproduce la cantidad a; 3 b equivale a raíz cúbica de b, o sea la cantidad que
elevada al cubo reproduce la cantidad b.
COEFICIENTE 7
En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coefi ciente del otro
factor.
Así, en el producto 3a el factor 3 es coefi ciente del factor a e indica que el factor a se toma
como sumando tres veces, o sea 3a = a + a + a; en el producto 5b, el factor 5 es coefi ciente
de b e indica que 5b = b + b + b + b + b. Éstos son coefi cientes numéricos.
En el producto ab, el factor a es coefi ciente del factor b, e indica que el factor b se toma
como sumando a veces, o sea ab = b + b + b + b + ... + a veces. Éste es un coefi ciente
li teral.
En el producto de más de dos factores, uno o varios de ellos son el coefi ciente de los
restantes. Así, en el producto abcd, a es el coefi ciente de bcd; ab es el coefi ciente de cd; abc
es el coefi ciente de d.
Cuando una cantidad no tiene coefi ciente numérico, su coefi ciente es la unidad. Así, b
equivale a 1b; abc equivale a 1abc.
