Additive Zahlentheorie: Zweiter Teil Spezielle Zahlenmengen

143 Pages·1956·7.31 MB·German

by  Hans-Heinrich Ostmann (auth.)

ERGEBNISSE DER MATHEMATIK
UND IHRER GRENZGEBIETE
UNTER MiTWIRKUNG DER SCHRIFTLEITUNG DES
"zENTRALBLATT FüR MATHEMATIK"
HERAUSGEGEBEN VO:-.l
L.V. AHLPORS· R. BAER· R. COURANT· J.L. OOOB
S. EILENBERG . P. R. HALMOS· T. NAKAYAMA
H. RADEMACHER· F. K. SCHMIDT . B. SEGRE . E. SPERNER
NEUE FOLGE· HEFT 11 =======
ADDITIVE
ZAHLENTHEORIE
VON
HANS-HEINRICH OSTMANN
ZWEITER TEIL
SPEZIELLE ZAHLENMENGEN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
ISBN 978-3-662-00843-0 ISBN 978-3-662-00842-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-00842-3
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER DBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
OHNE AUSDRDCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES IST ES AUCH NICHT
GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANI
SCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFĂLTIGEN
@ BY SPRINGER·VERLAG BERLIN HEIDELBERG 1956
URSPRONGLICH ERSCHIENEN BEI SPRINGER·VERLAG OHG.
BERLIN· GOTTINGEN · 1956
Vorwort.
Der hier vorliegende Bericht ist der zweite Teil des Ergebnisberichtes
über additive Zahlentheorie und behandelt, wie schon im Vorwort des
ersten Teils erwähnt, spezielle Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen.
Für die Untersuchung solcher Mengen genügt zumeist schon die Kennt
nis gewisser Struktureigenschaften, so daß die gewonnenen Resultate
in der Regel gleich für ganze Klassen von Mengen Gültigkeit haben.
Dieser Gesichtspunkt ist namentlich für die Abschnitte 18, 19 und 20
maßgebend. - Entsprechend der Entwicklung allgemeiner Begriffs
bildungen und Sätze innerhalb der additiven Zahlentheorie, wie der
Dichtentheorie, der Theorie der Basismengen usw., interessiert natur
gemäß die Kenntnis der diesbezüglichen wesentlichen Größen bei
speziellen Mengen. Insbesondere ordnet sich diesem Gesichtspunkt ohne
weiteres auch die Aufgabe unter, die charakteristischen <p (x)-Dichten
einer gegebenen Menge zu bestimmen, obwohl der speziell additiv
zahlentheoretische Charakter nicht immer unmittelbar in Erscheinung
tritt.
Ein Sach-, Autoren- und Literaturverzeichnis, das sich auf beide
Teile des Berichtes erstreckt, ist am Ende dieses Buches zusammen
gestellt.
Zum Schluß möchte ich meinen schon im Vorwort des ersten Teils
ausgesprochenen Dank an alle wiederholen, die mich mit Rat und Tat
unterstützt haben; insbesondere möchte ich nochmals den Herren
Dr. HORNFECK, Dipl.-math. WINKLER und Stud.-Referendar WIRSING
für das unermüdliche Lesen der Korrektur danken; dem Verlag ge
bührt wiederum besondere Anerkennung für das verständnisvolle Ein
gehen auf meine Wünsche sowie für die ausgezeichnete Ausstattung des
Buches.
Berlin, Freie Universität und Oberwolfach, im Januar 1956.
Hans-Heinrich Ostmann.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
18. Einige Dichterelationen. Rationale und pseudorationale Mengen 1
19. Multiplamengen, erzeugende Mengen . . . . . . . . . . .. 12
Allgemeines S. 12. - k-freie Zahlen S. 20. - Weitere Beispiele S. 27.
20. Durch multiplikative zahlentheoretische Funktionen definierte
Mengen. . . . . . . . . . . . . . . 29
21. Die Primzahlen und verwandte Mengen 45
Primzahlsatz S. 45. - Weitere Eigenschaften von II(x) und ~ S. 5l.
- GOLDBAcH-Problem S. 54. - GOLDBACH-WARING-Problem S. 55.
- Mengen mit Primteilerbedingungen ihrer Elemente S. 59. -
Weitere Summen mit ~ als Summand S. 73.
22. Die Menge der k-ten Potenzen .. . . . . 77
WARING-Problem S. 80. - FERMAT-Problem S. 84.
23. Weitere spezielle Ergebnisse 97
Literaturverzeichnis 102
Autorenverzeichnis 130
Sachregister 134
Errata zu Teil I VI
Bezeichnungen.
[a] bedeutet für ree~les a die größte ganze Zahl g::;>;; a, dagegen (a) die
kleinste ganze Zahl g ;;?; a; es ist <a) = - [-aJ.
p heißt Primteiler von n, wenn PI n , p> 1 und p Primzahl ist; hingegen werden
im vorliegenden Text p = 1 und p = 0 zumeist zu den Primzahlen
mitgerechnet werden.
<a, b) ist die Menge aller reellen x mit a ::;>;; x :;;: b, dagegen (a, b) die Menge
der x mit a < x < b. (0 )
x [x] /1x [x]
'~1 = '~1' 1=.1]1; leere Summen z. B. '~1 sind gleich Null, leere
Produkte gleich Eins zu setzen.
f(x) heißt monoton wachsend (fallend), wenn aus x ::;>;; y stets f(x) :::;;;; f(y)
(bzw. f(x) ;;?;f(y)) folgt, dagegen streng monoton wachsend (fallend),
wenn aus x < y stets f(x) < f(y) (bzw. f(xl > f(y)) folgt.
f(X)I: = f(b) - f(a).
x -+ a+ bedeutet "x -+ a und x > a", entsprechend x -+ a-, wenn x -+ a
und x < a gilt.
f(a +) = lim f(x), f(a-) = lim f(x).
x~a+ x~a-
f(oo) = lim f(x), f(- =) = lim f(x) (falls vorhanden).
x~OO x~-oo
f(x) ~ g(x) (x -+ a ~ ± 00) bedeutet lim I(x) = 1 (lies etwa: f(x)
x~ a g(x)
ist asymptotisch gleich g (x) für x -+ a).
v, V bzw. n, (\ bedeuten Vereinigung bzw. Durchschnitt von Mengen.
\}( C lB heißt: \}( ist echte Teilmenge von lB; \}( ~ lB bedeutet \}( ist Teilmenge
von lB.
Ist r eine Menge, so bezeichne (wenn nichts anderes gesagt ist) r n die Menge
aller n-tupel (gv g2' ... , gn)' g, E r (i = 1, 2, ... , n).
bezeichnet das Konjunktionssymbol "und".
A
n. bedeutet die Implikation; für "A n. B" lies etwa "mit A ist auch B
richtig" oder "aus A folgt B" usw . ......, bezeichnet die in beiden Rich
tungen gültige Implikation.
E [E(x)] bedeutet die Menge aller xE\}(, die zugleich der Bedingung
",Em
E (x) genügen; beispielsweise bedeutet, wenn Ir die Menge aller
ganzen Zahlen ist, E [x;;;;:: 2 A 31 x] die Menge aller durch drei
xE@;
teilbaren ganzen Zahlen x ;;::: 2.
=Dr (lies etwa "per definitionem gleich") führt eine Abkürzung ein; ist
beispielsweise B ein bereits bekannter Ausdruck, so bedeutet A =Dr B
(oder: B =nr A), daß für den Ausdruck B abkürzend auch A ge
schrieben wird.
Weitere Bezeichnungen siehe in 1.1.
18. Einige Dichterelationen.
Rationale und pseudorationale Mengen.
18.1. Dichterelationen. In Ergänzung zu 8. aus Teil I seien hier noch
einige Relationen zwischen Dichten von Mengen zusammengestellt.
Es sei wieder im = {mo, mt, m2, ••• } gesetzt. Der folgende Satz ist
evident.
Satz 1. qJ (x) besitze die Eigenschaft 8.2. (17). Ist die erste Differen
zen/olge von im beschränkt: mn + 1 - mn < k (n > 0), so gilt
! !
<5 (Wl;qJ(x)) > c'J(3;qJ(x)) >0, c'J*(im;qJ(X)) > c'J*(3;!p(x)) >0,
l1
!
b* (Wl; qJ (x)) :::: b* (3; qJ (x)) > O.
Ist andererseits
mn + 1 - mn < k tür höchstens endlich viele n > 0, (1)
!
so ist
c'J" (im; qJ (x)) < c'J* (Wl; qJ (x)) ::::;; k 1 c'J* (3; qJ (x) ),
k!
~* (Wl; qJ (x)) < 1 ~* (3; qJ (x)).
Gilt (1) tür iedes k > 0 und ist überdies J* (3 ; qJ (x)) < 00, so existiert
und verschwindet die natürliche qJ (x)-Dichte von Wl, und die Voraus
setzung über im ist gleichwertig damit, daß entweder im endlich oder
lim (mn + 1 - m,,) = 00 ist. - Schließlich folgt aus cf· (2l) > 21 (DRAZIN
" .... 00
[1]), daß ai - a; = n tür alle ganzen n mit {ai' ai} C 2l lösbar ist.
Hinsichtlich des Einflusses der Lücken einer Menge auf ihre Dichten s.
ferner SALEM-SPENCER [2].
Sa tz 2. Er/üllt qJ (x) die Bedingungen 8.2. (19), so folgt aus der
Konvergenz von ~ qJ (m)-I, m > 0,
mElm
c'J. (9R; qJ (x)) = O.
Beweis: Setzt man .I qJ(m)-l = ft(t), ft(oo) = ft, so ist (ver
O<m;:;;;t
mElm
mittels 8.2. Folgerung nach Satz 3)
z z
J J
M (x) = qJ (t) dft (t) = qJ (x) ft (x) - ft (t) dqJ (t)
1- 1-
z
J +
=qJ(x)(ft+ o(l))- (ft o(l))dqJ(t)
1-
z
J
= qJ(x) 0(1) - ftqJ(l) - 0(1) dqJ(t) = O(qJ(X)).
1-
Ergehn. d. Mathem. N. F. H. 11, Ostmann Il. 1
2 18. Einige Dichterelationen. Rationale und pseudorationale Mengen.
Satz 3. q; (x) genüge den Forderungen 8.2. (19). Dann sind die
m m
q; (x)-Dichten von Ä. X (Ä. > 1, ganz) mit denen von durch die folgen
den Relationen miteinander verknüpft:
< 1 J1 (an. ()). f-:-.... J. p (x)
=Tuv;lJ~,q;x x~f~ p(J.-x)'
i
b*(m;q;(x)) . tim ~~/:~ < b*(Ä. X m;q;(x))
x=1,2, ...
< -1b *(m·q;(x)) . l-im -J. p(x-)
- J. ' x=l,2, ... P (J. x)'
1 - J. p (x) -
T b* (9)1; q; (x)) . lim p (J. x) ::;: b* (Ä. X m; q; (x))
x=1,2, ...
1 - - J. (x)
< T b* (m; q; (x)) . tim PJ. x .
x = 1.2, ... P ( )
Für viele Funktionen steht in (22) und (23) das Gleichzeitszeichen; z. B.
x x" Vn_
p (x) = x, = --, = -----, = x u. a.
log x (log log x)ß
Beweis: Man setze x = Ä y + r (0 < r < Ä; r, y ganz). Dann ist
auf Grund der Monotonie von ([! (x)
+
(J. X M) (- 1, x) (J. X M) (- 1, J. y) M (- 1, y) J. p (y 1)
+ + + + + +
P (x 1) - P (J. y r 1) - J. p (y 1) . P (J. y r 1)
> 111" (-~l. J. p(y + 1) (x > 0),
+ +
= J.p(y 1) p(J.(y 1»
und hieraus folgen die behaupteten Abschätzungen nach unten, da mit x
offenbar auch y alle positiven ganzen Zahlen durchläuft. Andererseits
gilt
b (Ä. X m· (x)) < (J. x M) (- 1, J. x-i) = M (- 1~ - 1) . J. p (xl
v ' q; - p (J. x) J. p (x) p (J. x)
< M (- 1, x-i) f J. p (y)
= J. P (x) y·=I1n,2 • ... -P( J.Y)
für alle x > 1, womit (21) bewiesen ist. Ähnlich erhält man (22) und
(23), indem man
lim (J. x M) (-1, x) lim (J._ _> < M) (- 1, J. x-i) « 00)
+
x=1,2, ... p (x 1) x=1,2,... p(J. x) -
beachtet.
18. Einige Dichterelationen. Rationale und pseudoratio~ale Mengen. 3
Zusatz. Ersetzt man in Satz 3 die Menge A. X ffil durch eine Menge
58· = {bo, b1, ••.} mit der Eigenschaft bp-'A. m. (m.E ffil, A. > 0 reell), so
erhält man zu (22) und (23) verwandte Relationen. Beispielsweise ergibt
sich unter der zusätzlichen Voraussetzung, daß lim (! q;( (X)) = 1 (e > 0)
x .... oo q; (! x
existiert:
1 1 - -
Tc5*(ffil;q;(x)) = c5*(58;q;(x)), Tc5*(ffil;q; (x)) = c5* (58; q; (x)).
Zum Beweis beachte man, daß aus den Voraussetzungen 8.2. (19) über
q;(x) noch q;(x) ,..., q;([x]) folgt. Die Behauptung ergibt sich dann leicht aus
([Ä(t+ ([Ä (t-
M e)]) ~ B (x) :s;: M e)]) (0< e< 1. - ~ ; x ~ xo(e)),
da ohne Einschränkung Ä > 1 angenommen werden kann (ist Ä = 1, so
2 X iB
verwende man etwa -2-)'
Siehe hierzu ferner FRE]MANN [1].
Satz 4. m:1> m:2, . .• sei eine Mengen/olge mit m:i f\ m:1 ~ [0, aJ
(i =F j, a > 0). Dann ist
c5*( V m: q; (x)) > .. I c5*(m: ;q;(x)).
i; j
i;;;; 1 ,;;;; 1
L
Ist überdies Ai(x) tür x >0 gleichmäßig konvergent, und existiert
i;;;;l x
c5*(m:i;q;(x)) tür alle i> 1, so existiert c5*(V m:i;q;(x)), und es ist
.;;;;1
c5* (V m:i; q; (x)) = .. I c5* (m:i; q; (x)).
i;;;;1 ,;;;;1
Beweis: Setzt man 58 = V m:" so ist offenbar
L i;;;;l 1;
=
B (a, x) Ai(a, x)?:: At(a, x) ,
q;(x) i;;;;l q;(x) - ;=1 q;(x)
woraus unmittelbar beide Behauptungen folgen.
Über die Dichten des Durchschnitts gegebener Mengen läßt sich all
gemein nicht viel sagen. Ein mit dieser Frage verwandtes Ergebnis
ist der folgende Existenzsatz von GILLIS [1]:
Satz 5. ~,ffil2"'" ffiln, ••• sei eine unendliche Folge nicht not
wendig verschiedener Mengen. Es gebe ein ganzes A. > 1, so daß
1-.!.
k A
lim + + + = 0 (c5* (ilR.) = 11.; v = 1, 2, ... )
k = T,2, .. .1"1 #2 . . . #k
ist. Dann existieren zu jedem e > 0 Mengen ffiln" ffiln., •.. , ffilnA (ni =F ni
tür i =F j) in der Folge mit
1J*(,.01 ffiln,,) > 1111,1111.' .. I1nA (1-e). (3)
1*
4 18. Einige Dichterelationen. Rationale und pseudorationale Mengen.
m m m
Kommt eine Menge, etwa e, unendlich oft in v 2, ••• vor, so ist
der Satz trivial, da dann (3) mit mn, = mn• = ... = mn" = me sogar
für jedes A > 1 zutrifft. - Besitzt die Folge !l1., f-t2' ... eine positive
untere Grenze, etwa f-t, so ist die Voraussetzung des Satzes offenbar für
jedes ganze A > 1 erfüllt. Daher gilt (GILLIS [lJ).:
Satz 6. Ist Cl* (mn) > f-t > 0 tür alle n = 1, 2, ... , so gibt es zu
iedem 13 > 0 und jedem ganzen A > 1 Mengen mn" mn., ••. , mn"
(ni =l= n; tür i =l= I), so daß
~*(/]l mn,,) > l' - 13 (4)
ist.
Wendet man Satz 6 auf die spezielle Folge
m, {Cl} + m, {c2} + m, . . . (0 < Cl< C2 < .. " m E 1: beliebig)
an, so erhält man unmittelbar (OSTMANN)
m
Sa tz 7. Ist eine beliebige Menge positiver asymptotischer Dichte f-t,
so gibt es zu iedem ganzen A > 1 (und iedem 13 > 0) paarweise verschiedene
ganze Zahlen a > 0 (i = 1, 2, ... , A), so daß
i
11*(/:;1 ({a,,} +m)) > 0 (bzw. >f-t"-B > 0,0 <13 <l")
ist. Vberdies können die a sämtlich noch einer beliebig gegebenen unend
i
lichen Menge (i E 1: entnommen werden.
Zusatz. Im Fall Ä. = 2 besagt das die Existenz zweier Zahlen a, b
(0 < a < b), so daß Cl*(({a} + m) 1\ ({b} + m)) > f-t2-13 > 0 ist, und
mit c =b - a erkennt man daher noch unmittelbar: Es existiert stets
ein ganzes c > 0, so daß
11*(m 1\ ({c} + m)) > 0 (bzw. >f-t2 - 13)
m m + m)
istl. Wendet man dies Resultat auf 1 =Df 1\ ({c} an und
1 Dieses Ergebnis läßt sich auch leicht direkt bestätigen. Man bestimme
nämlich ein ganzes b ~ 2 so, daß } < !5*(ffil) ::;;; b ~ 1 ist. Dann sei
ffilb = E [m"+l-m,,::;;; bJ. Für ffil-ffilb =Df ffil' = {m~, m~, m;, ... } gilt
m"E Im
wegen m~+l - m~ :;;:; b + 1 sicher
[ X] M' (x) 1 1
M'(x)::;;; b+1 +1, also -x-:::;;:b+l+-;;'
mithin
+.!.)
+ +
«5*(ffil) = lim Mb(x) M'(x) lim (Mb(X) _1_
- x ::;;; - x b+ 1 x
x=1,2,··· z=I,2,···
< !5*(ffilb) + «5*(ffil ,