A Matemática do Ensino Médio

249 Pages·2006·43.381 MB·Portuguese

by  coll.

A Matemática do
Ensino Médio
Volume
]
Elon Lages Lima
Paulo CezarPinto Carvalho
EduardoWagner
Augusto CésarMorgado
COLEÇÃODOPROFESSORDEMATEMAT!CA
SOCIEDADEBRASILEIRADEMATEMÁTICA
�

A Matemática
do Ensino Médio
Volume 1
.. ªr".-'. �����-�-�����∙��∙∙�∙∙�������:−�.∙�.�−.∙.�.�∙�������������'���������∙���������� JJ��.���������−��∙���������∙�������������∙��∙�����−∙������������∙�� ∙���. ����∙∙∙���������∙��−���−���c.. �−∙�'�.��.",...-..��������∙−������−��∩−���
Copyright©2006,2005,2004,2003,2001,1999(duasedições),
1997(duasedições)byElonLagesLima,PauloCezarPintoCarvalho,
EduardoWagnereAugustoCesarMorgado
Direitosreservados,1997pelaSociedadeBrasileiradeMatemática
EstradaDonaCastorina,110—Horto
22460—320,RiodeJaneiro-RJ
ImpressonoBrasil/PrintedinBrazil
ColeçãodoProfessordeMatemática
Capa:RodolfoCapeto
Ilustração:TinaVelho
"P:AT“ é
Distribuiçãoevendas: : '
_m—
SociedadeBrasileiradeMatemática
e-mail:vendalívros©sbm.org.br
Tel.:[phone]
www.sbm.org.br
Bemadquiridocom
recursosfinanceirosda
FINEP
ISBN:85—8581810—7
��� ����� �� ������������� �������������������������� ��� ������� �������� ����������
A Matemática
do Ensino Médio
Volume 1
Nona Edição
Elon LagesLima
Paulo CezarPinto Carvalho
EduardoWagner
Augusto CesarMorgado
.
ColeçãodoProfessordeMatemática
SOCIEDADE
""Bansuemg
nemariana-ruca
∙∙∙∙∙∙∙
.
socremns
«'BRASILEIRA
DEMATEMÁTICA
∙COLEÇÃODOPROFESSORDEMATEMÁTICA
Logaritmos-E.L.Lima
AnáliseCombinatóriaeProbabilidadecomassoluçõesdosexercícios-A.C.Morgado,
J.B.Pitombeira,P.C.P.Ca.rvalhoe.'P.Fernandez
MedidaeFormaemGeometria(Comprimento,Área,VolumeeSemelhança)-
E.L.Lima.
MeuProfessordeMatemáticaeoutrasHistórias-E.L.Lima
CoordenadasnoPlanocomassoluçõesdosexercícios-E.L.Limacomacolaboração
deP.C.P.Carvalho
Trigonometria,NúmerosComplexos-M.P.doCarmo,A.C.Morgado,E.Wagner,
NotasHistóricasdeJ.B.Pitombeira.
CoordenadasnoEspaço-E.L.Lima.
ProgressõmeMatemáticaFinanceira—A.C.Morgado,E.WagnereS.C.Zani
ConstruçõwGeométricas-E.WagnercomacolaboraçãodeJ.P.Q.Carneiro
IntroduçãoàGeometriaEspacial-P.C.P.Carvalho
GeometriaEuclidianaPlana.-J.L.M.Barbosa.
Isometrias E.L.Lirna
A Matemática doEnsinoMédio Voll - E.L.Lima, P.C.P.Carva.lho. E.Wagner e
A.C.Morgado
A Matemática do EnsinoMédio Vol.2- E.L.Lima, P.C.P.Carva.lho, E.Wagner e
A.C.Morgado
A Matemática doEnsino Médio Vol.3- E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e
A.C.Morgado
MatemáticaeErwino-E.L.Lima
TemaseProblemas-E.L.Lima,P.C.P.Carval—ho,E.WagnereA.C.Morgado
EpisódiosdaHistóriaAntigadaMatemática A.Aaboe
ExamedeTextos:AnálisedelivrosdeMatemática-E.L.Lima
TemaseProblemasElementares-E.L.Lima,P.C.RCai-valho1E.WagnereA.C.Morgado
COLEÇÃOINICIAÇÃOCIENTÍFICA
NúmerosIrracionaiseTranscendentes-D.C.deFigueiredo
Primalidadeem'IlempoPolinomial-UmaIntroduçãoaoAlgoritmoAKS—S.C.Coutinho
COLEÇÃOTEXTOS UNIVERSITÁRIOS
Introdução&ComputaçãoAlgébrica'comoMaple-L.N.deAndrade
ElementosdeAritmética-A.Hcfez
MétodosMatemáticosparaaEngenharia-E.C.deOliveira.eM.Tygel
GeometriaDiferencialdoCurvaseSuperfícies—M.P.doCarmo
MatemáticaDiscreta—L.Lovász,J.Polikán (:K.Vesztergombi
ÁlgebraLinear∙�H.P.Bueno
IntroduçãoàsEmçõsdeumaVariávelComplexa—C.S.Fernandez,N.C.BernardesJr.
COLEÇÃOMATEMÁTICAAPLICADA
IntroduçãoàInferênciaEstatistica∙∙H.BolfarineeMSandoval
COLEÇÃOOLIMPÍADAS
OlimpíadasBrasileirasdeMatemática,gea 16—ª—ª-G.Moreira,E.Motta,E.Tengan,
L.Amâncio,N.Saldanha,P.Rodrigues
��
Conteúdo
1∙
Capítulo Conjuntos
1.Anoçãodeconjunto 1
2.Arelaçãodeinclusão 3
3.Ocomplementardeum conjunto 10
4.Reuniãoeinterseção14
5.Comentáriosobreanoçãodeigualdade 17
6.Recomendaçõesgerais 18
Exercícios 20
Capítulo2—NúmerosNaturais
1.Introdução 25
2.Comentário:definições,axiomas,etc. 26
3.Oconjuntodosnúmerosnaturais 29
4.Destaquepara oaxiomadaindução 32
5.Adição Multiplicação 33
(:
6.Ordem entreosnúmerosnaturais 34
Exercícios 36
Capítulo3—NúmerosCardinais
1.Funções 38
2.Anoçãodenúmerocardinal 42
3.Conjuntosfinitos 45
4.Sobreconjuntosiníinitos 47
Exercícios 49
Capítulo4—NúmerosReais
1.Segmentoscomensuráveiseincomensuráveis 52
2,A retareal 55
3.Expressõesdecimais 59
4.Desigualdades G'?
5.Intervalos 70
6.Valorabsoluto 72
7.SequênciaseProgressões 74
Exercícios 76
-
Capítulo5 FunçõesAfins
0.Oprodutocartesiano 78
1.OplanonuméricoRº 82
2..Afunçãonl'nn 87
à.A funçãolinear 92
4.CaracterizaçãodafunçãoMim 98
5.Funçõespoligonnis 102
Exercicios 104
Capítulo6-FunçõesQuadráti 'as
1.Definiçãoepreliminares, 113
2.Um problemamuitoantigo 118
3.Aformacanônicadotrinõmio 121
4.Ográficodafunçãoquadrática 124
5.Umapropriedadenotáveldaparábola 136
G.Omovimentouniformementevariado 142
7.Caracterizaçãodasfunçõesquadráticos 145
Exercícios 151
Capítulo7-FunçõesPolinomiais
1.Funçõespolinomiaisvs.polinômios 160
���∞������������������
2.Determinandoum polinômioupartirdeseusvalores 163
3.Gráficosdepolinômios 165
Exercícios169
—
Capítulo8 FunçõesExponenciaiseLogaritmicas
Introdução 171
Potênciasdeexpoenteracional 173
A funçãoexponencial 178
Caracterizaçãodafunçãoexponencial 1813
Funçõesexponenciaiseprogressões 185
Funçãoinversa. 186
Funçõeslogurítmicãs 190
Caracterizaçãodasfunçõeslogm-ítmicus 194
191
10.Afunçãoexponencialdebasee 203
11Comoverificarquef(x-i-Iz)/['(:c)dependeapenasdeir 209
Exercicios 211
Capítulo9-FunçõesTrigonométricas
1.Introdução 213
2.AfunçãodeEuler&amedida deângulos 217
3.Asfunçõestrigonométricas 224
4.Asfórmulasdeadição 228
5.A leidoscossenosealeidossenos 233
� ������������������������
Prefácio
OprogramadeMatemáticadaprimeirasériedoEnsinoMédiotemcomo
temacentralasfunçõesreaisdeumavariávelreal,estudadassobolponto
devistaelementar,istoé,semousodoCálculoInfinitesimal.Cornopre—
liminaraesseestudoepreparaçãoparaassériessubsequentes,sãoapre—
sentadasnoçõessobreconjuntos,aidéiageraldefunçãoeasdiferentes
categoriasdenúmeros (naturais,inteiros,racionaise,principalmente,
reais)-
Opresentelivrocobreesseprograma. Elecontém amatéria lecio—
nada noprimeiro dostrêsmódulos do curso de aperfeiçoamento para
professores deMatemática,iniciadono segundosemestrede 1996, no
IMPA,tendocomoinstrutoresosprofessoresA.C.O.Morgado,E.Wagner,
PauloCézarCarvalhoeoautor.Aestescarosamigosecompetentescola-
boradoresdevoumarevisãocríticadomanuscrito,asugestãodealguns
exemplosinteressanteseainclusãodenumerososexercícios. Poressa
valiosaparticipação,registromeusagradecimentos.
OprofessordeMatemática,principalmenteaquelequeatuanocha-
mado Segundo Grau,no escasso tempo que lhe resta da faina diária
para prepararsuasaulas,contapraticamentecomumaúnicafontede
referência:olivro—textoqueadota(ouosoutros,quedelepoucodiferem).
Visandodaraoprofessormaiorapoiobibliográíico,aSociedadeBra-
sileiradeMatemática,comacolaboraçãodoIMPA,vem publicandona
sua “Coleçãodo Professor deMatemática”uma sériedemonografias,
cadaumadelasdedicadaaumtópicoespecífico,principalmenteanível
doEnsinoMédio. A presente publicação,quepretende seroprimeiro
livrodeumatrilogia,temamesma finalidade.Sóqueagora,emvezde
exporoprograma deMatemática dosegundograusobformadetemas
os
isolados,estaremosdividindo assuntosporsérie.
Em todoestelivro,procuramosdeixarclaroqueaMatemática ofe—
receumavariedadedeconceitosabstratosqueservemdemodelospara
situaçõesconcretas,permitindoassimanalisar,preveretirarconclusões
deformaeíicazemcircunstânciasondeumaabordagemempíricamuitas
vezesnãoconduzanada. Todosostemasaquiabordadossãoapresen-
tadosdentrodessaótica.
Assim équeosconjuntossãoomodelo matemático para aorgani-
zaçãodopensamentológico;osnúmerossãoomodeloparaasoperações
decontagememedida;asfunçõesaíins,asquadráticas,asexponenciais,
estudada
aslogaritmicaseastrigonométricas,cadaumadelasé comoo
modelomatemáticoadequadopararepresentarumasituaçãoeSpecífica.
A fimdesaberqualo.tipodefunçãoquedeveserempregadopara
resolver um determinadoproblema, é necessário comparar as carac-
terísticas desse problema com as propriedades típicas da função que
setem emmente. Esteprocesso requerqueseconheçam osteoremas
decaracterizaçãoparacadatipodefunção.Semtalconhecimentoéim-
possível aplicarsatisfatoriamenteosconceitosemétodosmatemáticos
para resolveros problemas concretos queocorrem,tanto no dia-a—dia
comonasaplicaçõesdaMatemáticaàsoutrasciênciaseàtecnologia.
Vários desses teoremas de caracterização são expostos aqui, de
formaelementar. Acho quetodos osprofessores devem conhecê-los e
ensinarseusalunosausa-losdeformaconsciente. Quantoàsdemons—
traçõesdessesteoremas,embora acessíveis,elasforamincluídasaqui
paraoentendimentodosprofessores. Nãoconsideroessencialrepassa-
lasaosestudantes,salVoemcasosespeciais,acritériodecadaprofessor.
Oimportanteéteremmentequeasaplicaçõesaquisugeridasdes—
pertamointeresse,justificamoesforço,exibemaeficiênciaeautilidade
dosmétodos daMatemáticamas,poroutrolado,sópodem serlevadas
abomtermosecontaremcomumabaseconceitualadequada..
ApublicaçãodestelivrocontoucomoapoiodaFAPERJ,emconvê—
niocom&CAPES,comavaliosaesemprepresentecolaboraçãodoIMPA
ecomaproverbial expertisedeWilson Góes
RiodeJaneiro,26denovembro,1996
ElonLagesLima