Table Of ContentАркадий Мерзляк, Виталий Полонский, Ефим Рабинович, Михаил Якир
ЗАДАЧНИК
К ШКОЛЬНОМУ КУРСУ
А ® 5 ПРЕСС
Аркадий Мерзляк, Виталий Полонский, Ефим Рабинович,
Михаил Якир
ЗАДАЧНИК
к ШКОЛЬНОМУ
КУРСУ
«Магистр-3» Москва «АСТ-ПРЕСС»
1998
УДК 51
ББК 22
М 52
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С.
М 52 Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. — М.:
АСТ-ПРЕСС: Магистр-8, 1998. - 656 с.
18ВИ 5-7805-0212-9
18ВК 966-557-035-8
Задачник, составленный в форме конспекта опытного учителя,
содержит более 4000 задач с большим числом примеров, их решени
ями и разбором. На разнообразном материале авторам удалось сис
тематизировать по методам решений все типы задач по тригономет
рии, взяв за основу принцип от простого к сложному.
Адресован учащимся 8—11-х классов, абитуриентам, преподава
телям математики.
МШ 2 Ш Ш УДК 51
8Ш9(03)-98 ББК 22
© А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский,
Е.М. Рабинович, М.С. Якир, 1997
I5БN 5-7805-0212-9
© «АСТ-ПРЕСС», 1998
I5ВN 966-557-011-0 © «Магистр-8», 1998
От авторов
Это не сборник задач, хотя в книге их более
4000. Несмотря на большое число решенных при
меров, это и не решебник, наличие которого у
ученика так раздражает учителя. Скорее всего, это
добротный конспект, написанный учителем не толь
ко для «служебного пользования», но и дидакти
ческий материал, который удобно положить на пар
ту каждому ученику.
Известно, что задача может служить не только
целью, но и средством обучения. Учиться решать
задачи с помощью ключевых (опорных, базис
ных) — идея древняя. Именно по схеме «ключевая
задача + упражнения» построено предлагаемое по
собие. Этой книгой авторы продолжают серию
«Учимся решать задачи по...».
Кратко остановимся на содержании каждой
главы. Материал главы I адресован прежде всего
новичкам, потому что ее значительную часть со
ставляет «азбука» тригонометрии. Правда, и опыт
ный читатель сможет найти свои задачи в пунктах
«тождества с дополнительными условиями», «дока
зательства неравенств», «суммирования» и т.д.
з
Глава II посвящена периодическим функци
ям — одному из наиболее трудных и тонких по
нятий школьной математики. В главе III авторы
помимо традиционных задач на функции рассмат
ривают общие вопросы, связанные с понятием об
ратимости.
Обширнейший материал главы IV преследует
цель сформировать основы графической культуры,
способствует активизации умений и навыков в по
строении графических образов, связанных с триго
нометрическими функциями. Тригонометрическим
уравнениям, неравенствам и их системам посвящены
главы V и VI.
Не секрет, что задачи с параметрами вызывают
у учащихся, по меньшей мере, робость. Мы наде
емся, что преодолеть ее поможет глава VII. Одному
оригинальному, возможно экзотическому, приему
посвящена глава VIII.
Авторы выражают искреннюю благодарность
всем своим ученикам, участвовавшим в апробации
рукописи этой книги.
Г лава I
Преобразования тригонометрических выражений
§1. Азбука тригонометрии
Советуем читателю эту таблицу знать наизусть.
а оио 3л 0ла = -^0г 45° =т4 60” =| 90° = \180°= ж«0-.^ 360°= 2л
1 1 УТ уТ
81П а 0 2 VI" 2 2 1 0 -1 0
1 VI" 1
С08а 1 2 <2 2 2 0 -1 0 1
1 \Т
\%а 0 1 — 0 — 0
УТ" 3
1 VI"
с \%а — <ъ 1 уТ з 0 — 0 —
Пример 1.1. Найти значение выражения
соз-д + 2 81П 2 + д д + 4 созл - 6 зшя.
Решение. С08 + 2 31П тг + 4" 1Я2 ?■ + 4 СОЗ Л - С*Е т +
о 2 о 3 4
+ 6 31ПЛ = | + 2 • 1 + | • (73)2 + 4 • (-1) -1 + 6 -0 =
= ^ + 2 + 1 —4 — 1 = — 1,5.
Ответ: -1,5.
5
Преобразования тригонометрических выражений___________
Упражнения
1.2. Найти значение выражения:
а) 2 соз 0° + 3 зт 90° + 418 180°;
б) 5 зт 270° - 2 соз 0° + 3 с!е 90°;
в) зт л + сох л + л;
г) соз 90° - соз 180° + зт 270° + 18 360°;
д) 218 0° + 8 соз 270е - 6 зШ 90°;
е) 18 45° • зт 60° • с\% 30°;
. _ ■ 2 ^ I 2 ^ ■ • 2 ^ . 2 ^ . 2 ^
ж) 2 зт — + соз — + зт2 — + 182 — - с!е —;
6 3 4 3 6
0,3 - 81П ~г - СОЗ2^ + 4 \%~т
V 0 ^ 4
з) ------------------ я------------------;
2 зт — + 1
о
■ 2 ^ ж 2 ^
1,5 - зт2-^ + Зсоз2-г
\ о 4.
“ . я *
2зт з
|7Г ЛГ
31П — - соз тг + —
ч 2 4
к )-------------- л— ;
, ТС , ЗТТ
2 зт — - зт —
О 2
л) У(2 зт 45° - I)2 - >((1 - 2соз45°)2;
м) У(с1ё 30° + 2)2 + У(<8 60° - 2)2;
н) 2 зт 2а + 3 соз (180°— За) + с!8 (75°— а) при а = 45°;
о) 2 зт (За + 15°) + 3 с!8 (90° - 2а) - 18 (4а - 15°) +
+ 2 соз 2а при а = 15°.
1.3. Найти значение выражения
зт (а + 45°) + 2 зт (а - 45°) + 4 соз 2а + 2 соз (а + 135°)
при а) а = 45°; б) а = 135°.
1.4. Найти значение выражения
зт а - соз 2а - соз За + зт 2а
л
при а) а — 30 ; б) а -
6
Преобразования тригонометрических выражений
1.5. Найти значение выражения зт (а + /3) зт (а - /3) при
а) а = 45% /? = 15% б) а = у, /3 = ^.
1.6. Найти значение выражения:
Ж ж
а) (зта + зт/3)2 — (зта - зт/З)2 при а = /3 = —;
б) 2 соз (а — 3/3) + 3 с1§ (/3 + 10е) - 18 (а - 75°) +
+ зт 03 — 5°) при а = 135°, /3 = 35°;
в) 18 (2а - /3) + соз а с!8 (6а + 6/3) при а = 20°, /3 = - 5°.
1.7. Верно ли неравенство:
а) зт 30° + соз 45° > 1; б) зт % + зт % > 1?
4 3
* ♦ *
Свойство 1. Областью значений синуса и косинуса яв
ляется промежуток [-1; 1], областью значений тангенса и
котангенса — множество всех действительных чисел.
Пример 1.8. Возможно ли равенство:
7 8
а) соз а = ^ ; а) 18 а =
8 ;
б) соз а = —; г) соз а = а - а — 1?
7
Решение, а) Да, так как -1 < — < 1.
О
б) Нет, так как — > 1.
в) Да, так как тангенс может быть равен любому дей
ствительному числу.
г) Да, если — 1 ^ а2 — а — 1^1. Найдем, при каких зна
чениях а выполняется это неравенство;
[а2 - а — 1^1, Га2- а - 2^0,
[а2- а - 1 ^-1 , |а2-а ^ 0 ,
Г(а+1)(а-2)*5 0, Г-1 « л ^ О,
|а(а-1 )* 0 , {[2;?;
Ответ; да, если -1 « а ^ 0 или 1 € а < 2,
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
1.9. Возможно ли равенство:
4 , ^3“
а) соз а = —; и) соз а = -рр
^ . уТ . 1
б) зта = — ; к) соз а = —
3 ’ зт 18°
т — п
. утГ кгЪ -у.Г Г лл/) лзшт 1аЛ —= . •
в) соз а = т + п
где т > 0 и п> О;
г) зт а = — >П7Г; м) соз а = где а > 1;
д) соз а = - уТ; н) «т а =
е) соз а = УТ- 2; о) соз а = у;
ж) зт а = \^2~— 1; л) зт а = а + —, где а* О?
а
з) соз а = \^28~— У10
1.10. При каких значениях а (а и Ь) возможно равенство:
а) соз х = а2 + 1; г) соз х = 2а — а2 — 2;
2 ~ . а + 1
б) зт х = а - 1; 3) 18 х
а - Г
ч в . а + 6 „
в) соз х = ё) зт х = г, где а*о1
а - г а — Ь
Пример 1.11. Найти наибольшее и наименьшее значения
выражения
Л соза(2- 81Па)
а) 1 -4 соз а; б) ------21------------.
соз а
Решение, а) Так как — 1 < соз а ^ 1, то
- 4 =5-4 соз а 5 4, — 3 ^ 1 — 4 СОЗ а < 5.
8
Преобразования тригонометрических выражений
Следовательно, наименьшее значение равно -3 и достигается
при соз а = 1, наибольшее значение равно 5 и достигается
при соз а — — 1.
Ответ: 5; -3.
_ соз а (2 - зт а)
б) ------------ = 2 - зт а. Наименьшее значение вы-
соз а
ражения 2 -з т а , равное 1, достигается при зта = 1, но
соз а (2 - зт а)
при этом соз а = 0 и выражение соз а Не 0ПРеде"
лено. Следовательно, наименьшего значения не существует.
Аналогично наибольшее значение выражение 2 - зт а
достигает при зта = -1, но при этом также соз а = 0. Сле
довательно, и наибольшего значения нет.
Ответ: не существуют.
Пример 1.12. Найти область значений выражения
1 ^ 1
а) -— ; б)
2 - соз 2х’ 3 зт х — 2*
Решение, а) Имеем -1 ^ соз 2х ^ 1, -1 ^ - соз 2х ^ 1,
1^2 — соз 2х $ 3, 1 Э= ^
2 - соз 2х 3
Ответ:
1
б) Имеем -1 ^ зт х ^ 1, — 3 ^ 3 зт х ^ 3,
- 5 ^ Ззтх - 2 ^ 1.
Далее воспользуемся тем фактом, что если числа а и Ь
оба положительные или оба отрицательные, то из неравенства
„ , 1 1
а < о следует, что — >
При 0< 3 зт дс - 2 ^ 1 получаем, что ^ 1,
3 81П X 2
причем равенство достигается при зтдс = 1.
При - 5 ^ 3 5111 х - 2 < 0 получаем, что
1 < _ I
3 зтх - 2 5’
9
