45 Adımda Matematik 1. Kitap

71 Pages·2017·3.05 MB·Turkish

CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 01 5. p: “2.3 = 3.2 dir.”
q: “–4 bir doğal sayıdır”
1. Aşağıdaki ifadelerin bir önerme olup olmadığını belir- r: “Ankara, Türkiye’nin başkentidir”
tiniz. t: “En küçük asal sayı 1 dir”
a. Asal sayıların hepsi tek sayıdır. önerme önermelerinden birbirine denk olanları bulunuz.
b. Türkiye 7 farklı coğrafi bölgeden oluşur. önerme p/r
q/t
c. Çay içmeye gelen var mı? önerme değil
d. 22 = 4 önerme
6. Aşağıda verilen önermelerin değillerini yazınız.
e. 1,2 > 1,1 önerme
a. p: “Bazı aylar 30 gündür”
f. Üçgenin iç açıları dar açıdır. önerme
p′: Bazı aylar 30 gün değildir.
b. q: “Yüzölçümü en büyük olan ilimiz İstanbul’dur.”
q′: Yüz ölçümü en büyük olan ilimiz İstanbul değildir.
2. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini yanların-
daki boşluğa yazınız.
c. r: “Bütün asal sayılar pozitiftir.”
a. “4 + 2 < 7” 1
r′: Bütün asal sayılar pozitif değildir.
b. Her doğal sayının karesi kendisinden büyüktür.
0
7. Aşağıda verilen önermelerin değillerini yazınız.
c. En küçük iki doğal sayının toplamı 1 dir. 0
a. p: “–2 > –1 dir.”
d. Topkapı Sarayı, İstanbul’dadır. 1
p′: -2G-1
e. Güneş’e en yakın gezegen Dünya’dır. 0
1 3
b. p: “ + =2 dir.”
2 2 er
eft
D
q′: 1 + 3 !2 ve
2 2 p
a
3. 8 tane önermenin birbirine göre kaç farklı durumu var- c. r: “4 ≠ 1 + 4 tür.” atı Kit
dır? y
r′: 4=1+2 ebi
28 = 256 Ed
e
d. s: “ 21 ≥ 31 tür.” Dili v
k
ür
1 1 T
s′: 1 a
2 3 md
dı
A
4. n = 4 0
3
353
CEVAP ANAHTARLARI
8. p : Bir hafta 7 gündür. 13. (p ∧ 1) ∨ p′
q : 0 pozitif bir sayıdır.
bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz.
r : 32 ≤ 9
1
önermeleri için (p′ ∨ r) q bileşik önermesinin doğruluk de-
ğerini bulunuz.
0
9. p ∨ q ≡ 0, q ∨ r ≡ 1 olduğuna göre, p′ ∧ (q ∨ r′) bileşik
önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
0 14. (p′ ∨ 1)′ ∧ (p ∨ 0)′
bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz.
0
10. Aşağıda verilen doğruluk tablosunu doldurunuz.

p q p′ p′ ∧ q
1 1 0 0
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 0
15. Aşağıdaki doğruluk tablosunu doldurarak
(p ∨ q)′ = p′ ∧ q′
denkliğinin ispatını yapınız.

p q p′ q′ p ∨ q (p ∨ q)′ p′ ∧ q′
11. p ∨ (p ∧ q′)
1 1 0 0 1 0 0
bileşik önermesinin doğruluk tablosunu yapınız.
0 1 1 0 1 0 0
p q q′ p∧q' pv (p ∧ q’) 1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1
0 1 0 0 0
er
eft 0 0 1 0 0
D
e
v
p
a
Kit
yatı 16. Aşağıdaki doğruluk tablosunu doldurunuz.
bi
e
d
E
e p q p′ p′ ∧ q (p′ ∧ q) ∨ p
v
Dili 1 1 0 0 1
k 12. (p ∨ q)′ ∧ p
ür 0 1 1 1 1
T
a bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz.
d 1 0 0 0 1
m
dı 0
A 0 0 1 0 0
0
3
354
CEVAP ANAHTARLARI
17. p ≡ 1, q′ ≡ 1, r ≡ 0 20. p′ ∧ q ≡ 1
r ∨ q′ ≡ 0
önermeleri için verilen bileşik önermelerin doğruluk de-
ğerlerini bulunuz. olduğuna göre, p ∨ (q ∧ r) bileşik önermesinin doğruluk
değerini bulunuz.
a. (p′ ∧ r)′ ∨ q (0/0)Q0/0Q0/0
p/0 0Q(1/0)
b. (p ∨ q′) ∧ r (1Q0)00/1/0/0
q/1 0Q0
c. (p ∨ q) ∧ (p ∨ q) /(100)/(1Q0) r/0 /0
/1/1
/1
21. p: “0, bütün doğal sayılardan küçüktür.”
18. Aşağıdaki boşlukları doldurunuz. q: “Her doğal sayının karesi kendinden büyüktür.”
a. p′ v 0 ≡ 0 ise p ≡ 1 önermeleri için
b. p ∧ 1 ≡ 1 ise p′ ≡ 0 (p ∧ q) ∨ (p ∨ q′)
c. p′ ∧ q ≡ 1 ise p ∨ q′ ≡ 0 bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
d. (p ∨ 0) ∨ q ≡ 0 ise p ∨ q ≡ 0 p/0 (0/0)0(001)
e. p ∨ q ≡ 1 ise (p ∨ q)′ ≡ 0 q/0 /001
/1
er
eft
D
e
v
p
a
19. p ∨ q = 0 Kit
q ∨ r = 0 atı
y
bi
e
olduğuna göre, p′ ∧ (q ∨ r) bileşik önermesinin doğruluk Ed
değerini bulunuz. e
v
Dili
q/0 1/(000) k
ür
T
r/0 /1/0 a
d
m
dı
p/0 /0 A
0
3
355
CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 02 5. (p ⇒ q′)′
1. p: “Ahmet harçlığından düzenli olarak para biriktirir.” bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz.
q: “Ahmet bisiklet alır.”
(p'0q')'/p/q
önermeleri veriliyor.
Buna göre,
p ⇒ q: Ahmet harçlığından düzenli olarak para biriktirirse
bisiklet alır.
p′ ⇒ q′: Ahmet bisiklet alırsa harçlığından düzenli olarak
para biriktirir. 6. (p ⇒ q′) ⇒ p′
önermelerini yazınız. bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz.
(p'0q')&p'
(p'0q')0p' /1/(q0p')
2. p = 1, q = 0 ve r = 1 olduğuna göre, (p0q)0p/(p0p')/(q0p') q0p
(p′ ⇒ q) ∨ (r ⇒ q′)
bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
0&0)0(1&1)
/101/1
7. (p′ ∨ q) ⇒ (p ∧ q)
3. p′ ⇒ q ≡ 0
q ∨ r ≡ 1 bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz.
olduğuna göre p, q ve r önermelerinin doğruluk değerle- (p'0q)'0(p/q) /p/1
rini bulunuz.
/(p0q')0(p/q) /p
p/0
/(p/(q'0q)
q/0
r/1
er
eft
D
e
v
p
a
Kit
atı 4. Aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
y
bi
e
d
E p q p′ p′ ⇒ q p ∨ (p′ ⇒ q)
e
Dili v 1 1 0 1 1 8. “Ali çalışırsa sınavda başarılı olur.” önermesinin
k 1 0 0 1 1 tersi: Ali çalışmazsa sınavda başarılı olmaz.
ür
T
a 0 1 1 1 1 karşıtı: Ali sınavda başarılı olursa çalışır.
d
dım 0 0 1 0 0 karşıt–tersi: Ali sınavda başarılı olmazsa çalışmaz.
A
0
3
356
CEVAP ANAHTARLARI
9. p ⇒ q′ önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini yazı- 13. p ⇒ q ≡ 0
nız. q ∨ r ≡ 1
Tersi: p'&q olduğuna göre, (p ⇒ r) ⇔ q bileşik önermesinin doğruluk
Karşıtı q'&p değerini bulunuz.
Karşıt tersi: p'&q p/1 (1&1),0
q/0 /1,0
r/1 /0
10. (p ∨ q) ⇒ p önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini
yazınız.
Tersi: (p0q)'&p
Karşıtı p&(p0q)
Karşıt tersi: p'&(p0q)'
14. p ∨ q ≡ 0
olduğuna göre, (p ⇔ q) ⇒ 1 bileşik önermesinin doğruluk
değerini bulunuz.
1&1/1
15. p′ ⇒ q′ ≡ 0
11. Aşağıdaki doğruluk tablosunu doldurarak p ⇒ q ≡ q′ ⇒ p′
olduğunu gösteriniz. olduğuna göre, (p ⇒ q) ⇔ p bileşik önermesinin doğruluk
değerini bulunuz.

p q p′ q′ p ⇒ q q′ ⇒ p′
p'/1 p/0 (0&1),0
1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 q'/0 q/1 /1,0
0 1 1 0 1 1
/0
0 0 1 1 1
er
eft
D
e
v
16. p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) p
a
Kit
denkliğini aşağıdaki doğruluk tablosunu doldurarak ispat atı
y
ediniz. bi
e
d
E
12. Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulu- p q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) p ⇔ q ve
nuz. 1 1 1 1 1 1 Dili
k
a. (1 ⇒ 0) ⇔ 1 ≡ 0,1/0 0 1 1 0 0 0 Tür
a
b. (1 ⇔ 1) ⇒ (1 ∧ 0) ≡ 1&0/0 1 0 0 1 0 0 md
dı
0 0 1 1 1 1 A
c. (1 ∨ 0)′ ⇒ (0 ∧ 1)′ ≡ 0&1/1 0
3
357
CEVAP ANAHTARLARI
17. (p ⇔ 1) ∨ p′ 22. (p′ ∧ 0) ∨ (p′ ∨ 1)
bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz. önermesinin totoloji olduğunu gösteriniz.
p0p'/1 Totoloji
18. (p ⇔ p)′ ∧ q 23. (p ⇔ p) ⇒ (p ∧ p′)
önermesinin çelişki olduğunu gösteriniz.
bileşik önermesinin en sade şeklini bulunuz.
Çelişki
1'/q
/0/q
/0
24. p ⇒ (q′ ∨ p)
önermesinin totoloji olduğunu doğruluk tablosu yaparak
gösteriniz.
19. (p ⇒ 1) ⇔ (p ∨ 1)

p q q′ q′ ∨ p p ⇒ (q′ ∨ p)
bileşik önermesinin çift gerektirme olduğunu gösteriniz. 1 1 0 1 1
0 1 0 0 1
1,1
1 0 1 1 1
/1 0 0 1 1 1
20. p: ñ2 + ñ3 = ñ5
q: ñ2 . ñ3 = ñ6
ADIM 03
r: ñ3 – ñ2 = 1
1. Tam sayılar kümesinde tanımlı
olduğuna göre,
P(x) : –2 ≤ x < 3
(p ⇒ r) ⇔ (q ∨ r)
önermesinin çözüm kümesini bulunuz.
bileşik önermesinin çift gerektirme olduğunu gösteriniz.
-2,-1,0.1,2
p/0 (0&0),(100) # -
er q/1 /1+1
eft
D r/0 /1
e
v 2. P(x) : “x3 < 10, x bir pozitif tam sayı”
p
a
Kit önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.
atı
y
bi 1,2
de # -
e E 21. Aşağıdaki önermelerin totoloji mi, çelişki mi olduğunu in-
Dili v celeyelim.
k a. (p ⇒ 1) ⇒ (p ∧ 0)
Tür 3. P(x, y) : “x + y = 5, x ve y pozitif tam sayı”
a Çelişki
d
m önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.
dı b. (p ⇒ 0) ∨ p
A
0 Totoloji (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
3
# -
358
CEVAP ANAHTARLARI
4. Tam sayılar kümesinde tanımlı 1
8. ∀ x ∈ R–, <0
x
P(x, y) : |x + y| ≤ 4 önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
açık önermesi veriliyor. önermenin doğruluk değeri 1’ dir.
Buna göre, aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini
bulunuz.
a. P(1, 3) önermesinin doğruluk değeri 1 dir. 9. ∀ x ∈ Z, x – 2 > 4
b. P(–2, –3) p(4 – 3) önermesinin doğruluk değeri 0 dır. önermenin değilini yazınız.
∃ x ∈ Z, x – 2 ≤ 4
5. Aşağıda verilen önermeleri ∃ veya ∀ sembollerini kulla-
rak yazınız ve doğruluk değerlerini bulunuz. x
10. ∃ x ∈ R, =3
x +1
a. Her gerçek sayının kendisine bölümü 1 e eşittir.
önermenin değilini yazınız.
b. Bazı tam sayıların 3 fazlası 5 ten küçüktür.
∀ x ∈ R, x 3
x+1

c. Her gerçek sayının karesi kendisinden büyüktür.
x
a. 6xdR, =1
x
b. 7xdZ,x+315
c. 6xdRx22x
11. (∀x, x ≥ 3) ∧ (∃x, |x – 1| = 0)
bileşik önermesinin değilini yazınız.
6. Sembolik mantık dilinde verilen aşağıdaki önermeleri sö- (7x,x13)0(6 x-1 !0)
zel olarak ifade ediniz ve doğruluk değerlerini bulunuz.
a. ∃ x ∈ N, x2 = x
b. ∀ x ∈ R, x2 ≥ 0
x
c. ∃ x ∈ Z, =0
x
12. (∃ x ∈ R, x = 2) ⇒ (∀ x ∈ R, x > 3)
a. Bazı doğal sayıları karesi karesi kendisine eşittir.Doğru-
luk değeri 1' dir.
bileşik önermesinin değilini yazınız. er
b. Her gerçek sayının karesi 0’dan büyük veya eşittir. Doğ- eft
D
ruluk değeri 1'dir. (7xdR,x=2)'/(7xdR,x#3) e
7 A v
c. Bazı tam sayıların kendine oranı 0' dır Doğruluk değeri ap
0 dır. Kit
atı
y
bi
e
d
E
e
7. ∀ x ∈ R, |x| > 0 13. "nxa =e r2sxi yisöen t exm =i n0i kduırl"la nöanrearkm "e xsi!ni ois ipsoet xis!te2n ixy"o ör.n Oerlmmaeysian-i Dili v
k
önermesinin doğruluk değerini bulunuz. ispot etmeliyiz. Tür
a
x ! 0 ifadesinde iki tarafa x toplarsak d
x = 0 için 0 =0 olduğundan m
önermenin doğruluk değer 0 dır. 2 x ! x elde ederiz. Bu da öneminin doğru olması denebilir. 0 Adı
3
359
CEVAP ANAHTARLARI
14. a = 2 n + 1 (n ∈ z) 19. 2, 3 ve 4 sayıları üç ardaşık doğal sayıdır ve toplamı 9 dur.
9 sayısı tam bölünmediğinden "Ardaşık doğal sayısının
+ b = 2 m + 1 (m ∈ z) olur.
toplamı 6 ile tam bölünür" önermesi doğru değildir.
a + b = 2 (n + m) +2
k
a + b = 2k + 2 ifadesi çift sayı olduğundan a + b toplamı çift 20. n = 1 için P(1) : 2.1 = 1.(1+1) ⇒ 2 = 2
sayıdır.
olduğundan P(1) doğrudur.
n = k için P(k) : 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1) doğru olduğunu
kabul edelim.
15. Ardaşık üç çift sayı a, b ve c olsun.
n = k + 1 için,
a = 2 n
b = 2 n + 2 p(k+1) = 2 + 4 + 6 + ... + 2(k + 1) = (k+1).(k+2)
c = 2 n + 4
olduğunu ispatlayalım.
+
a + b + n = 6n = 6 (n + ı) ifadesi çift sayı olduğundan a + beş 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k.(k + 1)
toplamı çift sayıdır.
Eşitliğin her iki tarafına 2(k+1) ekleyelim.
2+4 + 6 + ... + 2k+2 (k +1) = k(k +1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + ......+ 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k +1)
16. x = 2 için
22 > 2 2 + 4 + 6+ ... + 2(k + 1) = (k + 1).(k + 2) ⇒ p(k + 1) doğrudur.
doğru
4 > 2
P(k + 1) doğru olduğundan ∀n ∈ N+ için
x = 3 için 32 > 3 P(n) önermesi doğru olur.
doğru
9 > 3
1.2.3
21. n = 1 için p(1) : 12 = ⇒ 1 = 1, p(1) Doğru
6
x = 4 için 42 > 4 n = k için P(k) : 12 + 22 + 32 + ... + k2 = k(k + 1).(2k + 1)
doğru 6
14 > 4
doğru olduğunu kabul edelim.
n = k + 1 için,
x = s için
s2 > s P(k + 1) = 12 + 22 + 32 + ... + (k + 1)2 = (k+1).(k+2).(2k+3)
doğru
2s > s 6
olduğunu ispatlayalım.
12 + 22 + 32 + ... + k2 = k(k + 1).(2k + 1)
6
17. x = –3 için (–3)2 – (–3) – 12 = 0
Eşitliğin her iki tarafına (k+1)2 ekleyelim.
9 + 3 – 12 = 0
12+22+32 + ... + k2 + (k +1)2 = k(k + 1).(2k + 1) +(k+1)2
0 = 0 doğru 6
Defter x = 4 için 42 – 4 – 12 = 0 12 + 22 + 32 + ... + (k + 1)2 = k(k + 1).(2k + 1) + 6(k+1)2
ve 16 – 4 – 12 = 0 6
p 12 – 12 = 0
a
Kit 0 = 0 doğru = (k + 1).(k(2k + 1) + 6(k + 1))
yatı olduğundan x2 – x – 12 = 0 denkleminin çizim kümesi {–3, 6
bi
e 4} olur.
Ed = (k + 1).(2k2 + 7k + 6)
ve 6
Dili
ürk = (k + 1).(k + 2).(2k + 3) ⇒ P(k + 1) doğru olur.
a T 18. n = 2 3.2 + 1 = 7 sayısı 4 ile tam bulunduğundan " doğal 6
md sayı olmak üzere, 3 n + 1 ifade 4 ile tam bölünür." öner-
dı mesi doğru değildir. P(k + 1) doğru olduğundan ∀n ∈ N+ için
A
0 P(n) önermesi doğrudur.
3
360
CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 04 c. C = {x| 4 < x ≤ 10, x = 2k, k ∈ Z}
C = (6, 8, 10)
1. Aşağıdaki ifadelerden küme belirtenlerin karşısına “”, C
belirtmeyenlerin karşısına “” işareti koyunuz. 6
8 10
a. Haftanın C ile balayan günleri ✓
b. Sınıfımızdaki uzun boylu öğrenciler 
c. Karesi negatif olan doğal sayılar ✓
d. Sınıfımızdaki kız öğrenciler ✓
d. D = {Alfabemizdeki sesli harfler}
e. 12 yi tam bölen doğal sayılar ✓ D = (a, e, ı, i, o, ö, u, ü,) D
a o
f. 10 dan küçük herhangi üç rakam 
e ö
ı u
2. KIRIKKALE i ü
kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümeyi liste yönte-
miyle gösteriniz.
(K, I, R, A, L, E)
3. A = {y| 4 < y ≤ 20, y = 4k, k tam sayı}
olduğuna göre, s(A) kaçtır? e. E = {x| x, 35 in asal çarpanları}
E = (7, 5)
E
S (A) = 4
5
7
4. Aşağıda ortak özellik yöntemi ile verilen kümeleri liste ve
Venn şeması ile gösteriniz.
a. A = {x| 4 < x2 ≤ 9, x tam sayı}
A = (–3, –4) A
-3
er
3 eft
D
e
5. Aşağıda verilen kümelerin boş küme olup olmadıklarını v
p
belirtiniz. a
Kit
b. B = {x| (x – 3).(x + 4) = 0}  A = {x| x2 = 1, x ∈ R} Boş küme değil yatı
bi
e
B = (3, 4) B  B = {x| x > 10, x asal sayı} Boş küme değil Ed
e
v
 C = {x| x, Türkçe’de “Ğ” ile başlayan kelime} Boş küme Dili
3  D = {x| |x| = –3, x ∈ R} Boş küme ürk
T
a
-4  E = {x| 4 < x < 5, x ∈ R} Boş küme değil md
dı
A
0
3
361
CEVAP ANAHTARLARI
6. Aşağıda verilen kümelerin hangisinin sonlu, hangisinin 9. Bir okulun A sınıfındaki öğrencilerin kümesi A olsun.
sonsuz küme olduğunu belirtiniz.
K = {Sınıftaki kız öğrenciler}
 A = {x| 3 < x < 7, x ∈ Z} Sonlu küme L = {Sınıftaki erkek öğrenciler}
M = {Sınıftaki sarışın kız öğrenciler}
 B = {x| 3 < x < 7, x ∈ R} Sonsuz küme
N = {Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenciler}
 C = {x| x2 = 4, x ∈ Z} Sonlu küme
kümeleri veriliyor.
 D = {x| x2 > 4, x ∈ Z} Sonsuz küme Buna göre, aşağıdaki doğru–yanlış tablosunda uygun
yerleri işaretleyiniz.
 E = {x| |x| < 3, x ∈ Z} Sonlu küme

Doğru Yanlış
 F = {x| |x| < 3, x ∈ R} Sonsuz küme
a. K ⊂ L 
b. N ⊂ L 
c. M ⊂ K 
7. A = N d. K ⊂ A 
e. L ⊂ A 
B = M
C = K f. M ⊂ A 
D = P
g. N ⊂ A 
E = L
8. K
1
4
{3} 10. A = {a, b, {c, d}, e, {f}}
kümesi veriliyor.
Buna göre, aşağıdaki boşluklara ⊂, ⊃, ⊄, ∈, ∉ sembolle-
Kümesinin tüm alt kümelerini yazınız.
rinden uygun olanlarını yazınız.
er
eft 1 , 4 , 3
D # -# -%# -/
p ve 1,4 , 1, 3 , 4, 3 a. b ∈ A b. f ∉ A
a # -% # -/% # -/
Kit
yatı %1,4#3-/,# - c. {a} ⊂ A d. {c, d} ∈ A
bi
e
d
E
e e. {e} ⊂ A f. A ⊃ {b}
v
Dili
k
ür g. d ∉ A h. {{f}} ⊂ A
T
a
d
m
Adı ı. A ⊃ {a, b} i. {a, e} ⊂ A
0
3
362