43 лекции по линейной алгебре

204 Pages·3.08 MB·Russian

by  Попов А.М.

А.М. Попов

43 ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЕ

Для студентов I курса бакалавриата,
обучающихся по направлениям
«Прикладная математика. Информатика»,
«Математика. Компьютерные науки»,
«Математика. Прикладная математика»,
«Информационные технологии»

Москва
Издательство Российского университета дружбы народов
2014
ББК 22.14 У т в е р ж д е н о
П58 РИС Ученого совета
Российского университета
дружбы народов

Попов А.М.
П 58 43 лекции по линейной алгебре: Учеб. пособие. –
М.: РУДН, 2014. – 205 с.

Вошедшие в лекции разделы изучаются в курсе алгебры на
математических специальностях бакалавриата.
Подготовлено на кафедре нелинейного анализа и оптимизации.

© Попов А.М., 2014
© Российский университет дружбы народов, Издательство, 2014
2
Лекция 1.

1. КОМБИНАТОРИКА. БИНОМ НЬЮТОНА

1.1. Комбинаторика.
Пусть Х = {х , х , …, х } – множество из n элементов.
1 2 n
Определение. Размещением из n элементов по k называ-
ется упорядоченное подмножество, состоящее из k элемен-
тов, выбранных из множества Х. Подмножества, отличаю-
щиеся порядком, считаются различными.
Количество таких размещений обозначается Ak и назы-
n
вается коротко количеством размещений из п по k.
Пример. {х , х , х }, {х , х , х }, {х , х , х } – различ-
3 2 5 3 2 4 2 3 4
ные размещения из п по 3.
Мы будем записывать также размещения в виде х х х ;
3 2 5
х х х ; х х х .
3 2 4 2 3 4
Определение. Сочетанием из n элементов по k называ-
ется (неупорядоченное) подмножество, состоящее из k эле-
ментов, выбранных из множества Х. Подмножества, отли-
чающиеся порядком, считаются одинаковыми.
Количество таких сочетаний обозначается Ck и называ-
n
ется коротко количеством сочетаний из п по k.
Пример. {х , х }, {х , х }, {х , х }, {х , х }, {х , х },
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4
{х , х } – все сочетания из 4 по 2.
3 4
Мы будем записывать также сочетания в виде х х , х х ,
1 2 1 3
х х и т.д.
1 4
Определение. Перестановкой из n элементов называет-
ся размещение из п элементов по п.
Количество таких перестановок обозначается P .
n
Пример. {х , х , х }, {х , х , х }, {х , х , х },{х , х , х },
1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 1 3
{х , х , х }, {х , х , х } – все перестановки из трѐх элементов.
3 2 1 1 3 2
Утверждение 1.1. Ak = п(п -1)(п – 2)…(п – k + 1).
n
Доказательство индукцией по k (для произвольного п,
k п).
3
k = 1. Очевидно, A1= п , так как размещениями из п по 1
n
являются подмножества в Х, состоящие из одного элемента, а
количество таких подмножеств равно количеству элементов
в Х, то есть п.
Пусть утверждение верно для k - 1. То есть  m  k-1
Ak1 = m(m -1)(m – 2)…(m – k + 2).
m
Докажем его для k. Рассмотрим k мест:
1 2 … k - 1 k . Произвольное размещение из п по

k получается размещением на 1-е место любого из п элемен-
тов множества Х (таких возможностей имеется п), а на ос-
тавшиеся k - 1 мест - произвольного размещения из остав-
шихся m = n – 1 элементов множества Х (таких размещений
имеется Ak1). Отсюда Ak= п Ak1 и по предположению ин-
n1 n n1
дукции Ak= п Ak1= n(n -1)(n –2)…(n – k + 1)= n! /(n – k)! .
n n1

Следствие. P = An = n!
n n
Утверждение 1.2. Ck = n(n -1)(n – 2)…(n – k + 1) / k! .
n
Доказательство. Так как все размещения из п по k полу-
чаются выборками из множества Х различных сочетаний из
k элементов, а затем их всевозможными перестановками, то
Ak= Ck P  Ck = Ak/ P = n(n -1)(n – 2)…(n – k + 1) / k! =
n n k n n k
= n! /((n – k)! k!) .
Утверждение 1.3. а) C0 = Cn = 1, б) Cnk = Ck,
n n n n
в) Ck1 = Ck1 + Ck.
n1 n n
Упражнение. Доказать утверждение с помощью формул.
Доказательство утверждения 1.3 без вычислений.
а) Очевидно, из п элементов ничего не выбирать или выбрать
все элементы можно только одним способом.
б) Очевидно, каждому выбранному сочетанию из п по k со-
ответствует сочетание оставшихся в Х п – k элементов, и
4
количество сочетаний выбранных элементов равно количест-
ву сочетаний оставшихся элементов.
в) сочетания из п + 1 элементов по k + 1 можно выбирать
двумя способами: или выбрать все k + 1 элементов из первых
п элементов – это можно сделать Ck1 способами, или обяза-
n
тельно включить в сочетание (п + 1)-й элемент, а остальные
k элементов выбирать из первых п элементов – это можно
сделать Ck способами.
n

1.2. Бином Ньютона.
Теорема. (a + b)n=C0an +C1an-1b + C2an-2b2 +…+Cn bn =
n n n n
n
= Ckankbk . Эта формула называется биномом Ньютона.
n
k0
Первое доказательство (индукцией по п).
п = 1. Утверждение очевидно: (a + b)1 =C0a1 +C1b1 = a + b.
1 1
Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п.
n1
(a + b)n = (a + b)(a + b)n-1 = (a + b) Ck an1kbk=
n-1
k0
n1 n1 k1s n1 n
=Ck ankbk+Ck an(k1)bk1  Ck ankbk+Cs-1ansbs=
n-1 n-1 n-1 n-1
k0 k0 k0 s1
n1 из утв.1.3, а,в n
= aп +(Ck Ck1)ankbk+ bп = Ckankbk .
n-1 n1 n
k1 k0

Второе доказательство (без вычислений).
Раскроем скобки в выражении
(a + b)n = (a + b)(a + b)… (a + b), (1.1)
выбирая из каждого двучлена справа или a или b, и записы-
вая их в произведение с сохранением порядка множителей.
Так, например произведение aababb… получится, если мы
выберем из первого двучлена a, из 2-го a, из 3-го b, из 4-го a,
из 5-го b, из 6-го b и т.д. Если мы теперь все множители a за-
пишем слева, а множители b справа, то получим одночлен
5
вида an-kbk. Все одночлены такого вида получаются при вы-
боре из п двучленов в (1.1) подмножества (сочетания) из k
двучленов, в которых при раскрывании скобок мы выбираем
в качестве множителей элементы b (а из остальных двучле-
нов, естественно, выбираются в качестве множителей эле-
менты a). Количество таких подобных одночленов равно ко-
личеству сочетаний из n по k. Если мы их всех просуммиру-
ем, то получим слагаемое Ckankbk в разложении бинома
n
Ньютона.

Утверждение 1.4.
а) C0 +C1+C2+…+Cn = 2n,
n n n n
б) C0 +C2+C4+…= C1 +C3+C5+…= 2n-1
n n n n n n
Доказательство а). Из бинома Ньютона при a = b =1
(1 + 1)n = C0 + C1 + C2+…+ Cn.
n n n n
Доказательство а) для умных, но ленивых. Сумма
C0+C1+C2+…+Cn равна количеству всех подмножеств в
n n n n
множестве Х из п элементов, включая  и само множество Х.
Это количество можно посчитать иначе. Для выделения лю-
бого подмножества в Х мы для каждого элемента из Х долж-
ны указать, входит этот элемент в наше подмножество или
нет. Таким образом, для каждого элемента имеется 2 воз-
можности – быть включенным в любое подмножество или
нет, а для п элементов из Х имеется 2n возможностей быть
включенными или нет в различные подмножества. Включая
или не включая произвольный элемент в подмножества, мы
получаем различные подмножества. Таким образом, количе-
ство различных подмножеств в Х равно 2n .

Упражнение. Доказать утверждение 1.4, б) с помощью
формулы бинома Ньютона при a = 1, b = - 1.

6
Лекция 2.

2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Будем считать известными множества натуральных чисел
N, целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных
чисел R.
Определение. Комплексным числом будем называть упо-
рядоченную пару действительных чисел (a,b), a,b  R.
Множество комплексных чисел будем обозначать буквой С.
С = {(a,b), a,b  R}.
I. Определим на множестве С операции:
1. по определению (a,b)+ (с,d) = (a+с, b+d) – операция сло-
жения,
2. по определению (a,b) (с,d) = (aс - bd, ad+bc) – операция
умножения,
3. для с  R по определению с (a,b)= (ca, cb) – операция
умножения комплексных чисел на действительные.
II. Утверждение. Для определенных на С операций вы-
полняются свойства:
1. (z + z ) + z = z +( z + z )  z , z , z  C, z =(a ,b ),
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1
z = (a ,b ), z =(a ,b ),
2 2 2 3 3 3
2.  элемент 0 = (0,0) C такой, что 0 +z = z + 0 = z  zC.
С С С
0 называется нейтральным элементом в C по сложению.
С
3.  z  C, z =(a ,b),  z  C такой, что z+ z = 0 . В самом
С
деле, z = (- a, - b). z обозначается как - z и называется
элементом, противоположным к z.
4. z + z = z + z  z , z  C,
1 2 2 1 1 2
5. (z z ) z = z ( z z )  z , z , z  C,
1 2 3 1 2 3 1 2 3
6.  элемент 1 = (1,0) C такой, что 1  z = z  1 = z  zC.
С С С
1 называется нейтральным элементом в С по умножению
С
или единицей.
7.  z  C, z  0 , z =(a ,b),  z  C такой, что z z = 1 . В
С 1 1 С
самом деле, z = ( a/(a2 + b2), - b/(a2 + b2)). z обозначается
1 1
как z-1 и называется элементом, обратным к z .
7
8. z z = z z  z , z  C,
1 2 2 1 1 2
9. (z +z )z = z z + z z , z (z + z )= z z + z z  z , z , z  C.
1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3
i. c(z + z ) = cz + cz  z , z  C,  c  R,
1 2 1 2 1 2
ii. (c + d)z = cz + dz  c, d  R,  z C,
iii. (c d)z = c(dz)  c, d  R,  z C,
iv. 1 z = z  z C.
R
Очевидно, все эти свойства следуют из определений опе-
раций и свойств действительных чисел, которые мы считаем
известными.
Упражнение. Доказать свойства 1  9 и i  iv.
Множество (не обязательно числовое), на котором
I. определены операции, обозначаемые знаками + и  ,
II. и для которых выполнены свойства 1  9, называется по-
лем.
Очевидно, полями являются множества Q и R. Теперь мы
видим, что множество С также является полем.
Обозначим число (0, 1) C буквой i. Число i называется
мнимой единицей. Очевидно,  z C, z = (a ,b) = a (1, 0) +
+ b (0, 1)= a 1 + b i. Обычно единицу в качестве множителя
С
не пишут. Поэтому и мы будем записывать число z в виде
z = a + b i, а единицу 1 , когда это не вызовет недоразуме-
С
ний, мы будем записывать в виде 1.
Легко видеть, что i2 = - 1. Для комплексного числа
z = a + b i будем называть комплексное число a - b i ком-
плексно сопряженным к z и обозначать z . Очевидно,
а) z z =z +z , б) z z = z z , в) zz = a2 + b2.
1 2 1 2 1 2 1 2
Определение. Модулем комплексного числа z = a + b i
называется число | z | = a2 b2 .
Так как zz = | z |2, то |z z |2 = z z z z = z z z z = | z |2| z |2,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
и |z z | = | z | |z |.
1 2 1 2
Комплексное число a + b i можно изображать точкой на
плоскости с координатами (a , b) или вектором на плоскости
с координатами (a , b). Легко видеть, что комплексные числа
8
складываются как векторы по правилу параллелограмма (или
по правилу треугольника). Очевидно (см. рис.),
a + b i = r cos +r sin i = r(cos +i sin).

Запись комплексного числа в виде r(cos +i sin) называется
тригонометрической формой записи. Угол  называется ар-
гументом комплексного числа (определен неоднозначно).
Очевидно, r = | z |.
Легко проверить, что r (cos+i sin) r (cos+i sin)=
1 1 1 2 2 2
= r r (cos(+)+i sin(+)). Отсюда следует
1 2 1 2 1 2
формула Муавра: (cos +i sin)n = cos n + i sin n ,
а также ещѐ раз мы получаем, что |z z | = r r = |z | |z |.
1 2 1 2 1 2
Упражнения.
1) С помощью формулы бинома Ньютона при a = 1, b = i
вычислить C0 +C4+C8+…, C1 +C5+C9+…,
n n n n n n
C2+C6+C10+…, C3+C7+C11+…
n n n n n n
2) С помощью формулы Муавра вычислить устно sin 4 и
cos 5 .

Лекция 3.

3. СООТВЕТСТВИЯ. ФУНКЦИИ. ОТНОШЕНИЯ.
ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
Определение. Будем говорить, что на множестве Х зада-
но бинарное отношение R, если  x, y  X мы можем опреде-
9
лить (по какому-нибудь правилу) находятся эти элементы в
отношении R или нет.
Определим понятие отношения более строго.
Введем понятие декартова (прямого) произведение AB
произвольных множеств A и B.
По определению AB = { (a, b), a  A , b B}. Аналогич-
но определяется декартово произведение 3-х, 4-х и произ-
вольного числа множеств. По определению AA …A = An.
Определения.
1. Соответствием S из множества A в множество B называ-
ется подмножество S  AB. Тот факт, что элементы a A,
b B находятся в соответствии S, мы будем записывать в
виде (a, b)  S или в виде aSb.
2. Естественным образом для соответствий S и S определя-
1 2
ются S ∩S и S U S – как пересечение и объединение под-
1 2 1 2
множеств. Как и для любых подмножеств определяется по-
нятие включения соответствий S  S . Так S  S 
1 2 1 2
из a S b  a S b.
1 2
3. Для соответствий S  AB и S  BC определим компо-
1 2
зицию соответствий S S  AС. Будем считать, что для
1 2
элементов a A, с С по определению a S S с   b B
1 2
такой, что a S b и b S с.
1 2
4. Для соответствия S  AB определим соответствие
S -1  BA так: по определению bS -1a  a Sb.

5. Пусть по определению соответствие  AA,
A
={(a,a), a A}.
A
6. Соответствие F из множества A в множество B называется
функцией, определенной на A, со значениями в B (или ото-
бражением из A в B), если  a A ! b B такой, что aFb. В
этом случае будем писать также aF = b или, более привыч-
но, Fa = b. В этом определении функция отождествляется со
своим графиком. В наших обозначениях aFF с можно за-
1 2
писать в виде с = (aF )F . Композиция F F функций озна-
1 2 2 1
чает по определению, что (F F )(a)= F (F (a)). Таким об-
2 1 2 1
разом, F F = F F .
2 1 1 2
10