Конспект лекций по математике для студентов инженерно-технических специальностей. В 4 ч. Ч. 4

135 Pages·03.575 MB·Russian

by  Нифагин, В. А.

Министерство образования
Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТУ

Т

Н
Конспект лекций
Б
по математике

для студентов инйженерно-
и
технических специальностей
р

о

т
В 4 частях
и

з
Часть 4
о

п

е

Р

Электронное учебное издание

Минск БНТУ 2007
Авторы:

В.А. Нифагин, В.Н. Кушнир
У

Т

Н

Б
Электронная версия И.Л. Алифановой

й

и
Под редакцией: В.А.Нифагина

р

о

Рецензент:
т
Кандидат физико-математических наук, доцент В.В. Веременюк
и

з

о

п

е

Р

© БНТУ, 2007

2
Оглавление

19. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ.......4
19.1. КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. ВЫВОД И КЛАССИФИКАЦИЯ. У
ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ..............................................................................................................4
19.2. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
.........................................................................................................................................Т...................24
19.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ........................................................................................................................................35
Н
19.4. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ТФКП) В РЕШЕНИЯХ КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.........................................................................................40
20. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ..........................................................Б............................................45
20.1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ...................................................................................................45
20.2 ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ..................................................... ........................................................47
20.3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.............................................й.............................................................56
20.4 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ.........62
20.5. СКАЛЯРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.......................................................................................70
и
20.6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СКАЛЯРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН..........................................78
20.6 ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.........................................................................................84
20.7 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕрОРЕМЫ.....................................................................89
21. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.......................................................92
о
21.1. ВЫБОРКА. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ГИСТОГРАММА................................92
21.2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОЦЕНОК. ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ...............................................98
т
21.3. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ.
ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.......................................................................................................102
и
21.4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ
КОЛМОГОРОВА. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА (χ2).....................................................................107
з
21.5. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ.......................................................................................................112
21.6. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОМЕРНОЙ РЕГРЕССИИ................................................117
о
21.7. ЛИТЕРАТУРА............................................................................................................................134

п
е
Р
3
19. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

У
19.1. Классические уравнения математической физики. Вывод и
классификация. Основные краевые задачи
Т

Н
Введение

Б
Классическая теория уравнений в частных производных уходит корнями в
физику, где, как считается, эти уравнения адекватно описывают законы природы.
й
Функции, удовлетворяющие таким уравнениям весьма немногочисленны в
пространстве всех “допустимых” функций. и
Далее, с помощью некоторых дополнительных условий (типа начальных
р
или граничных) часто обеспечивают единственность решений. Существование
о
решений обычно устанавливается при некоторых априорных оценках,
т
локализующих возможное решение в данном функциональном пространстве.
и
Исторически математические модели, в основе которых лежат
дифференциальные уравнения в частных производных, были разработаны для
з
решения задач, описывающих физические процессы прежде всего в
о
гидродинамике, аэромеханике и электродинамике. Поэтому в разнообразных
п
приложениях, где находят широкое применение методы уравнений в частных
е
производных, они получили название методы математической физики. Сейчас
Ртакие уравнения моделируют процессы различной природы: физические,
химические, биологические, экологические, экономические и др. Эти методы
применяются и для решения различных классов инженерных задач. Данный
раздел математики отличается чрезвычайной информационной емкостью, что
обусловлено тем, что в его основе лежат фундаментальные законы сохранения,
связанные с симметрией пространства и времени. Именно благодаря этому, такие
4
на первый взгляд принципиально различные процессы, как распространение тепла
в сплошной среде, диффузия химических компонент, проникновение магнитного
поля в хорошо проводящий материал и распространение волн эпидемий,
описываются одинаковыми по форме уравнениями. В то же время при решении
У
уравнений математической физики используются методы, разработанные в самых
различных математических дисциплинах, таких, как математический анализ,
Т
теория функций комплексного переменного, вариационное исчисление,
Н
численные методы и т. д.
Следует понимать, что дифференциальные уравнения в частных
Б
производных описывают процессы, которые могут протекать в бесконечном
разнообразии тел, имеющих различные формы, р азмеры и свойства. Поэтому
й
любое уравнение, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений.
Особенности конкретного процесса устанаивливаются заданием дополнительных
условий, выделяющих этот процесс из всех остальных. Прежде всего в задаче
р
математической физики указывают область, в которой решается уравнение. Эта
о
область определяет размеры и форму тела, в которой протекает исследуемый
т
процесс. Обычно число независимых переменных не превышает четырех, причем
и
одно из них − время, а остальные – пространственные переменные. В зависимости
от их числа различают одномерные, двухмерные и трехмерные задачи. Кроме
з
того, на границе области выставляют некоторые граничные условия на искомую
о
функцию, которые учитывают взаимодействие процесса в выделенном теле с
п
аналогичным процессом в окружающей среде. Формы граничных связей могут
е
быть весьма разнообразны, однако принята следующая классификация граничных
Русловий. Она соответствует порядку производных искомой функции, которые
фигурируют в граничном условии. Так однородными граничными условиями
первого и второго рода называются равенства нулю искомой функции и ее первой
производной (нормальной или косой) на границе области. Условия третьего рода
связывают равенством функцию и ее нормальную производную на границе. Если
на разных участках границы заданы условия различных типов, то задачу
5
называют смешанной. Все задачи, где учитываются граничные условия, называют
краевыми задачами. Иногда необходимо решить задачу в безграничном
пространстве. Для эволюционных процессов (зависящих от времени) такие задачи
называют задачами Коши. В краевых задачах для уравнений, зависящих от
У
времени, также как и в задачах Коши, задаются помимо граничных и начальные
условия на искомую функцию и ее производную по времени. Начальные условия
Т
соответствуют состоянию описываемой системы в начальный момент времени. В
Н
ряде специальных случаев рассматриваются задачи без начальных условий – так
называемые задачи об установившихся (стационарных) процессах. Итак,
Б
формулировка краевой задачи математической физики в общем случае включает
задание дифференциального уравнения в частных производных, граничных и
й
начальных условий. Ж. Адамаром введено понятие корректной постановки задачи
математической физики. Говорят, что изадача для уравнения в частных
производных в указанной области поставлена корректно, если решение этой
р
задачи существует, единственно и устойчиво к малым изменениям исходных
о
данных.
т
Отметим, что мы будем говорить о линейных задачах математической
и
физики, когда линейными являются и дифференциальные уравнения и граничные
условия. Наиболее изучены линейные дифференциальные уравнения в частных
з
производных 2-го порядка для случая двух независимых переменных, которые мы
о
и будем рассматривать в дальнейшем.
п

е
Вывод основных классических уравнений математической физики.
Р Уравнение колебаний

Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран, трехмерных
объемов) и физики (электромагнитные колебания) приводят к уравнению
колебаний вида

6
( ) ( )
сu = div pgradu −qu + F x,t , (19.1)
t2

( ) ( )
где неизвестная функция u x,t зависит от n n =1,2,3 пространственных
( )
переменных x = x , x ,..., x и времени t . Коэффициенты с, p,q- определяются
1 2 n У
( )
свойствами среды, F x,t − плотность внешнего возмущения. В уравнении (19.1)
Т
в соответствии с определением операторов div и grad
Н
div(pgradu)= ∑n (pu ) .
i=1 xi xi Б

Проиллюстрируем вывод уравнения (19.1)й на примере малых поперечных
колебаний струны. Математической струной называется упругая нить, не
и
сопротивляющаяся изгибу.
р
( )
Пусть в плоскости x,u струна совершает малые поперечные колебания
о
около своего положения равновесия, совпадающего с осью x. Обозначим через
u(x,t) величину отклонения струны от положения равновесия в точке x в момент
т
( )
времени t , так что u =uиx,t есть уравнение струны в момент времени t . Будем
пренебрегать величинами более высокого порядка малости по сравнению с
з
tgб = u .
x о
r
( )
Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение T x,t в точке x
п
в момент времени t направлено по касательной к струне в точке x. Любой
е
участок струны (a,b) после отклонения от положения равновесия в рамках
Р
нашего приближения не изменит своей длины (рис. 19.1).

7
u
(cid:71)
T(x,t) У
( ) (cid:71)
u x + ∆x,t ( )
T x + ∆x,t
Т
( )
u x,t
(cid:71) Н
( )
−T x,t
( )
б б x + ∆x
Б
x x + ∆x x
Рис. 19.1
й

и
b
l = ∫ 1+u2dx ≈b − a
рx
a
о
(cid:71)
( )
и следовательно, в соответствии с законом Гука величина натяжения T x,t
т
(cid:71)
будет оставаться постоиянной, не зависящей от x и t , T(x,t) =T . Обозначим
0
( )
через F x,t плотнзость внешних сил, действующих на струну в точке x в момент
времени t и онаправленных перпендикулярно оси x. Пусть, наконец, ρ(x)
( )
обозначает линейную плотность струны в точке x так, что с x dx − масса
п
элемента струны (x, x + dx). Составим теперь уравнение движения струны,
е
( )
учитывая баланс всех действующих (их проекций на ось u) на элемент x, x + dx
Р
струны сил, включая силы инерции. На ее элемент действуют силы натяжения
(cid:71) (cid:71)
( ) ( )
T x + dx,t −T x,t (см. рис. 19.1) и внешние силы инерции, сумма которых
согласно закону Ньютона должна быть равна произведению массы этого элемента
на его ускорение.

8
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T sinб x + ∆x −T sinб x + F x,t ∆x =с x ∆xu x,t . (19.2)
0 0 t2

Или, учитывая наше допущение

У
tgб
sinб = ≈tgб =u ,
1+tg2б x
Т

Н
получим из (19.2)
1
( ) ( ( ) ( )) Б( )
сu x,t =T u x + ∆x,t −u x,t + F x,t ,
t2 0 ∆x x x

т. е.
й
сu =T u + F . (19.3)
t2 0 x2
и

Уравнение (19.3) называется урравнением малых поперечных колебаний
струны.
о
Если плотность с − постоянна, с(x)=с , то уравнение колебаний примет
т
вид:
и
u = a2u + f , (19.4)
t2 x2
з

о
T F
где обозначено a2 = 0 ; f = . Уравнение (19.4) называют также одномерным
п с с
волновым уравнением.
е
Уравнение вида (19.1) описывает малые продольные колебания упругого
Р
стержня
( ) ( )
сSu = ES ⋅u + F x,t , (19.5)
t2 x x

( ) ( )
где S x − площадь поперечного сечения стержня, E x − модуль Юнга в точке
x.
Аналогично выводится уравнение малых поперечных колебаний мембраны
9
( )
сu =T u +u + F . (19.6)
t2 0 x12 x22

Если плотность с =const, то уравнение (19.6) примет вид

У
( ) T F
u = a2 u +u + f; a2 = 0 ; f = . (19.7)
t2 x12 x22 с с Т

Н
Уравнение (19.7) называют также двумерным волновым уравнением.
Трехмерное волновое уравнение Б

( )
u =a2 u +u +u + f (19.8)
й
t2 x2 x2 x2
1 2 3

и
описывает процессы распространения звука в однородной среде и
р
электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому уравнению
удовлетворяет плотность газа, еого давление и потенциал скоростей, а также
составляющие вектора напряженности электрического и магнитного полей и
т
соответствующие потенциалы.
и
n
Вводя оператор Лапласа (n-мерный) ∆u =∑u будем записывать волновые
з
x2
i=1 i
о
уравнения (19.4), (19.7) и (19.8) единообразно:

п
u = a2∆u + f .
е t2

Р
Уравнение диффузии

Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде
описываются следующим общим уравнением диффузии (теплопроводности):

( ) ( )
сu = div pgradu −qu + F x,t . (19.9)
t
10