Теоретическая и прикладная механика. Вып. 35

280 Pages·10.716 MB·Russian

by  Василевич, Ю. В.Чигарев, В. А.Микулик, Т. Н.Куликов, И. С.Вихренко, В. С.Акимов, В. А.Савицкая, А. В.

ISSN 0134-9635

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
И ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

Международный научно-технический сборник

Основан в 1975 году

Выпуск 35

Сборник включен в Перечень научных изданий Республики Беларусь
для опубликования результатов диссертационных исследований
на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук

Минск
БНТУ
2020
УДК [531+621.01:531.8](082)
ББК 22.21я43
30.12я43
Т 35

Р Е Д А К Ц И Я  СБОРНИКА

Главный редактор сборника:
Василевич Юрий Владимирович – кандидат физико-математических наук, профес-
сор, заведующий кафедрой «Теоретическая механика и механика материалов» БНТУ

Редакционная коллегия:
Ю.В. Василевич (председатель), В.А. Чигарев (зам. председателя, уч. секретарь),
Т.Н. Микулик (редактор), И.С. Куликов, В.С. Вихренко, В.А. Акимов, А.В. Савицкая
(электронный макет, компьютерная верстка)

Адрес редакции:
220013, Минск, проспект Независимости, 65
БНТУ, кафедра «Теоретическая механика и механика материалов»
Тел.: [phone]
E-mail: [email protected]

В сборнике представляются научные статьи по механике, прикладной механике, ме-
ханике деформируемого твердого тела и смежным вопросам, научно-методические ра-
боты преподавателей, научных сотрудников вузов и исследовательских учреждений.
Тематика статей охватывает широкий круг вопросов: общая механика, механика де-
формируемого твердого тела, механика жидкости и газа, мехатроника, био- и наноме-
ханика, математическое и компьютерное моделирование физических и технических
процессов, дифференциальные уравнения и их приложения в механике, конструирова-
ние деталей машин и др. Рассматриваются различные подходы к внедрению информа-
ционных технологий в преподавании курсов «Теоретическая механика», «Механика
материалов», «Мехатроника», «Механика деформируемых тел», «Техническая механи-
ка» и др. Излагаются новые точки зрения на преподавание этих курсов в высшей и
средней школе.
Взгляды отдельных авторов могут не совпадать с позицией редакции научного издания.
Научно-технический сборник полезен преподавателям высших учебных заведений,
научно-инженерным работникам, аспирантам, магистрантам и студентам старших кур-
сов технических вузов.

УДК [531+621.01:531.8](082)
ББК 22.21я43
30.12я43

© Белорусский национальный
технический университет, 2020
УДК 539.374

ТЕРМОУПРУГИЙ ИЗГИБ ТРЕХСЛОЙНОЙ МЕТАЛЛОПОЛИМЕРНОЙ
ПЛАСТИНЫ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ

1Плескачевский Ю.М., 2Журавков М.А., 3Старовойтов Э.И.
1Белорусский национальный технический университет
2Белорусский государственный университет
3Белорусский государственный университет транспорта

Введение. В последнее время значительно возросло использование слоистых
тонкостенных элементов конструкций в машиностроении, добыче и транспортиров-
ке энергоносителей, строительстве. Это обуславливает необходимость разработки
математических моделей и методов их расчета на различные виды и типы нагрузок.
Монографии [1–5] содержат различные математические модели статического и
динамического деформирования многослойных и трехслойных элементов конструк-
ций, включая стержни, пластины и оболочки. В них изложены методы решения со-
ответствующих краевых задач. Изотермическое динамическое деформирование
трехслойных круговых пластин при импульсных и резонансных непрерывных и ло-
кальных нагрузках рассмотрено в статьях [6–9]. Постановки и методики решения
краевых задач об изотермическом квазистатическом деформировании, в том числе
циклическом, упругопластических слоистых стержней и пластин приведены в [10–
13]. Термосиловое нагружение трехслойных пластин и оболочек исследовалось в
работах [14–18]. Термоупругие перемещения в трехслойной круговой металлополи-
мерной пластине при кольцевых нагрузках изучены в статье [19].
Здесь построено аналитическое решение краевой задачи об определении переме-
щений в упругой трехслойной круговой металлополимерной пластине при параболиче-
ских по форме нагрузках, с учетом воздействия температурного поля. Численная апро-
бация решения проведена в случае металлополимерного пакета пластины.

1. Общее решение краевой задачи. Рассматривается несимметричная по тол-
щине трехслойная круговая пластина (рис.1). К наружной поверхности первого не-
сущего слоя приложены осесимметричные распределенные нагрузки q(r), p(r), и
пластина находится в температурном поле T = const. Постановка задачи и ее реше-
ние проводятся в цилиндрической системе координат. Срединная плоскость запол-
нителя принимается за координатную, ось z перпендикулярна ей и направлена
вверх. Для тонких внешних несущих слоев толщиной h h принимаются гипотезы
1 2
Кирхгофа, для толстого жесткого заполнителя (h = 2c), воспринимающего нагрузку
3
в тангенциальном направлении, справедлива гипотеза о прямолинейности и несжи-
маемости деформированной нормали.
В силу симметрии нагрузки тангенциальные перемещения в слоях отсутству-
ют: u (k) = 0 (k – номер слоя), а прогиб пластины w, относительный сдвиг в заполни-
φ
теле ψ и радиальное перемещение координатной поверхности u не зависят от коор-
динаты φ. В дальнейшем эти функции считаем искомыми. На контуре пластины
предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному
сдвигу слоев (ψ = 0 при r = 1). Все перемещения и линейные размеры пластины от-
несены к ее радиусу r .
0

3
Рис. 1 Схема нагруужения

Изз гипотезы прямолинейности ноормали заполнителя сследует, чтоо

2(3) u((3), w, .
rz rr z r
ППосле интеггрированияя этого выыражения с учетом принятых гипотез пполучим
формуллы, выражаающие радииальные пееремещениия в слоях uu (k) через искомые фуункции:
r
u(11) uczw, c zch , 
r r 1
u(3) u zzw, c zc,  (1)
r r
u(2) uczww, ch  zc,   
r r 2

где z –– координатта рассматтриваемогоо волокна, запятая в нижнем инндексе обоозначает
операциию дифферренцированния по следдующей за ней коордиинате.
Дееформациии в слоях сследуют из (1) и сооттношений ККоши, наппряжения –– из тер-
моупруугих соотноошений заккона Гука:

s(k) 2G (TT )э(k),  σ(k) 3K (T )(ε(k)  T )   (k 1,2,3),,  
 k k  k k 0k k
s(3) 2GG (T )э(3)   (r,), 
rz k k rz
где s(k),э(k)– девииаторные, σ(k),ε(k)– шшаровые чаасти тензорров напряжжений и дееформа-
 
ций; G (T),K (T) – модули сдвига и объемного ддеформироования, зависимость ккоторых
kk k
от темппературы оописывается формулоой Белла [1]; α – коээффициент линейногоо темпе-
0k
ратурноого расширрения матерриала k-го слоя.
Урравнения рравновесия рассматрииваемой пластины поллучены варриационныым мето-
дом. Ихх общее решшение приведено в [119]:

C I (r))C K (r) , 
2 1 3 1 r
b a 1 C r2
w 2 dr 3 L1(p)dr L1(q)dr 1Crr2(lnr1) 5 C lnnr C , 
b bb a 2 b 3 4 1 4b 6 4
3 3 1 3 3
(2)
a a 1 C r C
u  33 w,  2  L1(p) 7  8 ,                                          
a r a a 2 2 r
11 1 1
 K (r)I (r)f(r)rdrI (r))K (r)f(rr)rdr,
r 1 1 1 1
4
b p(a b a b ) b  
f(r) 3  2 3 3 2  2 qrdrC 
bb b2  ab br 1 
1 3 2 1 3 3
где I (βr) – модифицированная функция Бесселя первого порядка; K (βr) – функция
1 1
Макдональда; L1, L1 – линейные интегральные операторы
2 3
1 1 1
L1(f) r fdrdr ,   L1(f) r rfdrdrdr;  
2 r 3 r r
C,...,C – константы интегрирования, определяемые из условий ограниченности реше-
1 8
ния в центре пластины и граничных условий закрепления контура; а, b, β – коэффици-
i i
енты, определяемые через геометрические и термомеханические характеристики мате-
риалов слоев [19].
В качестве граничных принимаются следующие кинематические условия:
 при заделке контура пластины

(uww, 0 при r1),
r (3)
 при шарнирном опирании

(uwM 0 при r1).   
r (4)

2. Изгиб параболической нагрузкой, распределенной по кругу [0, a]. Пусть на
рассматриваемую круговую трехслойную пластину действует локальная вертикальная
поверхностная нагрузка параболической формы, распределенная по кругу относитель-
ного радиуса r ≤ a (см. рисунок 1). Для нее можно принять аналитический вид
 r 2
q(r)q0H0(ar)1a  (5)
,
где q = const, H (r) – функция Хевисайда.
0 0
Интегральный оператор третьей степени от нагрузки (5), функция f(r) и интегралы
от нее, входящие в решение (2), следующие:
3r4a4 r5 a2r r  a2r2 
L1(q)drq H (ar)   ln  , 
3 0 0  48r 96a2 8 a 32 
   r 2   q  r4  
f(r) r1q01a H0(ar)rdrC1 r1 402r2a2a2 H0(ar)C1, 
 q   r4 8r2 
I (r)f(r)rdr 1 0 H (ar)I (r)2r2   
1 42 0  0  a2 a2
8I (a) 16I (a)  r3 4  C
 0  1  4I (r)r   1 1 I (r), 
 2a 1  a2 a22  0
 q   r4 8r2 
K (r)f(r)rdr 1 0 H (ar)K (r)2r2   
1 42 0  0  a2 a2
5
8K (a) 16K (a)  r3 4  C
 0  1  4K (r)r   1 1 I (r). 
 2a 1  a2 a22  0
После чего частное решение ψ можно выписать в виде
r

 q  2a4
  1 0 H (ar)2r3 r(822a2)8a2(K (r)I (a) 
r 44a2 0  r 1 0
(6)
C
I (r)K (a))16aK (r)I (a)I (r)K (a) 1 1
1 0 1 1 1 1  2r
.
Общий вид решения (2) остается в данном случае без изменения, если учесть
выражение (6) и следующие интегралы: 
r4 r6 a2r2 a2r2 r a4 r 17a4 
L31q(r)H0ar64576a2 64  16 lna48lna576 , 
C I (r) C K (r) C  q
dr 2 0  3 0  1 1ln(r) 1 0 H (ar) 
  2 44a2 0
 r  16a 16
2a4ln  K (a)I (r)I (a)K (r) 4(r2a2) 
 a  1 0 1 0 2
2r4 32a4 
  2a2r28a2K (a)I (r)I (a)K (r). 
4 4 0 0 0 0 
Константы интегрирования определяем из условия заделки контура пластины (3)
и условия гладкости решения в ее центре. В результате
q a2 2 q a2  2 
C1 04 ,   C23I1(0) 8 K1()I0(a)aI1(a),  
1
2q   2 
C  0 1I (a) I (a), 
3 3  0 a 1 
(7)
b q a2I () 2  2  q a4 q a2
C  1 2 0  0  I (a) I (a) 0  0 , 
4 3b I () 4 2  0 a 1  96b 32b
3 1 3 3
C q0a23a2, C q0a4 ,   C 0,   C 0.
5 24 6 48b 7 8
3

При шарнирно-опертом контуре из (4) получим:
b  С I () С K () 1
C4b2 2 0  3 0 4b C1C5,  (8)
3 3
6
q a2 a2 a2ab a a 6b 3
C  0 1  3 1 3 7 1 3  K T zdz,   
5 8  3  a1(a6a7) a6a7 k1 0kh k k
k
2a  3 q a2  a2 
C  3 3 K T zdz 0 1 .
7 a1a6a7 k1 0khk k k 8  3 
Константы C , C , C , C , C сохраняют вид (7).
1 2 3 6 8

3. Изгиб нагрузкой, равномерно распределенной по кругу [0, a]. Если на рас-
сматриваемую трехслойную пластину действует локальная поверхностная нагрузка ци-
линдрической формы, равномерно распределенная по кругу относительного радиуса r ≤
b, то ее можно записать в виде
q(r)q H (br), p0.
0 0 (9)
Интегральный оператор третьей степени от нагрузки (9), функция f(r) и интегралы
от нее, входящие в решение (2), следующие:
r3 b4 b2r r
L1q(r)q    ln H br. 
3 016 16r 4 b 0
f(r) b2 q H (br)rdrC 1q0r2b2H (br)C  ,   b2 . 
(bb b2)r 0 0 1 r  2 0 1 1 (bb b2)
1 3 2   1 3 2
Внося функцию f(r) в интегралы, входящие в частное решение ψ , получим
r
 q
I (r)f(r)rdr 1 0r2I (r)b2I (b)H (br) 
1 2 2 2 0
 q b2 C
 1 0 I (r)I (b)H (br) 1 1 I (r) 
2 0 0 0  0
21q0 H0(br)r2b2I0(r) 2bI1(b)rI1(r)C11 I0(r),  (10)
 q  2  C
K (r)f(r)rdr 1 0 H (br)b2r2K (r) bK (b)rK (r) 1 1 K (r). 
1 2 0  0  1 1   0

В результате частное решение ψ принимает вид
r
 q b2  C
r2120 H0(br) r r2bK1(b)I1(r)I1(b)K1(r) 12r1 (11)
Подставляя (10) в решение (2), с учетом (11) получим искомые перемещения в
трехслойной круговой пластине при действии равномерно распределенной круговой
нагрузки, где
7
r45b4 b4 r b2r2 r b2r2 
L31(q)drq0 64 16lnb 8 lnb 16 H0(br), 
C I (r) C K (r) C  q
dr 2 0  3 0  1 1ln(r) 1 0 H (br) 
  2 22 0
b2r2 r 2b 2 
 b2ln  K (b)I (r)I (b)K (r) .  
 2 b  1 0 1 0 2
Константы интегрирования определяем из условия закрепления пластины и усло-
вия гладкости решения в ее центре. Из условия гладкости следует
qb2 q  bI (b) q b4
C  0 ,   C  0 1 1 ,   C  0 ,   C 0.  
1 2 3 2 6 16b 8
3
В случае заделки контура пластины остальные константы интегрирования будут:
 q b2  b  q b2I ()  q b4 q b2
C  1 0  bK ()I (b),  C  2 1 0  0 bI (b) 0  0 ,   
2 2I () 2 1 1  4 b4I () 2 1  32b 16b
1 3 1 3 3
q b2
C  0 2b2,  C 0.  
5 8 7
При шарнирном опирании контура из условий (4) получим:
 q b2  b  С I () С K () 1
C  1 0  bK ()I (b),  C  2  2 0  3 0  C C , 
2 2I () 2 1 1  4 b     4b 1 5
1 3 3
q b2 b2 a2ab a a 6b 3
C  0 1  3 1 3 7 1 3  K T zdz,   
5 4  2  a1(a6a7) a6a7 k1 0kh k k (12)
k
2a  3 q b2 b2 
C  3 3 K T zdz 0 1 
7 a1a6a7 k1 0kh k k 4  2 
k

Следует отметить, что при шарнирном опирании контура пластины решения явно
зависят от температуры через константы интегрирования (9), (12).
Численные результаты получены для упругой круговой трехслойной пластины,
шарнирно опертой по контуру слои которой набраны из материалов Д16Т–
фторопласт–Д16Т, соответствующие механические характеристики материалов приве-
дены в [2]. Величина интенсивности распределенной нагрузки q = 1 МПа, относитель-
0
ные толщины слоев h = 0,02; h = 0,06; h = 0,4.
1 2 3
На рис. 2 а, б показано изменение относительного сдвига в заполнителе и прогиба
пластины вдоль ее радиуса. Кривые построены при различных значениях радиуса b
пятна локальной параболической поверхностной нагрузки: 1– b = 0,5; 2 – b = 0,75; без
штриха – T = 293 K, со штрихом – T = 323 K.
8
Рис. 2. Изменение относительно сдвига
На рисунке 3 показана зависимость прогиба круговой трехслойной пластины в
центре от радиуса силового пятна различных по форме и величине нагрузок: 1 – пара-
болическая амплитуды q ; 2 – прямоугольная q ; 3 – параболической амплитуды q =
0 0 1
2q . Без штриха – комнатная температура, со штрихом – T = 323 K. Параболическая на-
0
грузка с амплитудой q статически эквивалентна прямоугольной q , т.к.
1 0
 r 2
q1A1a H0(ar)rdrdq0AH0(ar)rdrd,

отсюда q = 2q .
1 0

Рис. 3(cid:17) Прогиб трехслойной пластины

С ростом радиуса пятна нагрузки прогиб увеличивается нелинейно, достигая мак-
симума при нагрузке, распределенной по всей поверхности пластины. При одинаковой
амплитуде (1, 2) прямоугольная нагрузка вызывает больший прогиб. В случае статиче-
ски эквивалентных нагрузок (2, 3) прогиб от параболической больше на 47 %, при на-
гревании разница уменьшается до 40 %.
Выводы. Таким образом, приведенные в этой статье результаты показали, что
напряженно-деформированное состояние несимметричных по толщине упругих круго-
вых трехслойных пластин существенно зависит от воздействия температурного поля,
вида и формы нагрузки, граничных условий.
Работа выполнена при финансовой поддержке БР ФФИ (проект Т18Р-090).

9
ЛИТЕРАТУРА
1. Плескачевский, Ю. М. Деформирование металлополимерных систем /
Ю. М. Плескачевский, Э. И. Старовойтов, А. В. Яровая – Минск: Бел. навука. 200, – 342 с.
2. Старовойтов, Э. И. Сопротивление материалов / Э.И. Старовойтов. – Моск-
ва: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 384 с.
3. Журавков, М. А. Математические модели сплошных сред. Теория упругости и
пластичности / М.А. Журавков, Э. И. Старовойтов. – Минск: БГУ, 2011.– 540 с.
4. Starovoitov, E.I. Foundations of the theory of elasticity, plasticity, and viscoelas-
ticity / E.I. Starovoitov, F.B. Nagiyev – Apple Academic Press, Toronto, New Jersey. –
2012.– 346 p.
5. Старовойтов, Э.И. Трехслойные стержни в терморадиационных полях /
Э.И. Старовойтов, М.А. Журавков, Д.В. Леоненко // – Минск: Бел. навука, 2017. –275 с.
6. Starovoitov, E.I. Circular sandwich plates under local impulsive loads / E.I. Staro-
voitov, D.V. Leonenko, A.V. Yarovaya // International Applied Mechanics. – 2003. –Vol. 39,
№ 8. – P. 945–952.
7. Starovoitov, E.I. Vibrations of circular sandwich plates under resonant loads /
E.I. Starovoitov, D.V. Leonenko, A.V. Yarovaya // International Applied Mechanics. – 2003. –
Vol. 39, № 12. – P. 1458–1463.
8. Starovoitov, Resonant effects of local loads on circular sandwich plates on an elastic
foundation/ E.I. Starovoitov, D.V. Leonenko // International Applied Mechanics. – 2010. –
Vol. 46, № 1. – P. 86–93.
9. Starovoitov, E.I. Resonance vibrations of a circular composite plates on an elastic
foundation / E.I. Starovoitov, D.V. Leonenko, D.V. Tarlakovsky // Mechanics of Composite
Materials. – 2015. – Vol. 51, № 5. – P. 561–570.
10. Москвитин, В.В. Деформация и переменные нагружения двухслойных метал-
лополимерных пластин / В.В. Москвитин, Э.И. Старовойтов // Механика композитных
материалов. – 1985. – № 3. – С. 267–273. doi.org/10.1007/BF00611609
11. Старовойтов, Э.И. Деформирование упругого трехслойного стержня локаль-
ными нагрузками / Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая, Д.В. Леоненко // Проблемы маши-
ностроения и автоматизации. – 2001. – № 4. – С. 37–40.
12. Захарчук, Ю.В. Деформирование круговой трехслойной пластины с легким
сжимаемым заполнителем / Ю.В. Захарчук // Теоретическая и прикладная механика. –
2018. – № 33. – С. 363–369.
13. Козел, А.Г. Деформирование круговой трехслойной пластины, защемленной по
контуру, на основании Пастернака / А.Г. Козел // Теоретическая и прикладная механи-
ка. – 2018. – № 33. – С. 318–323.
14. Старовойтов, Э.И. Деформирование трехслойной круговой цилиндрической
оболочки в температурном поле / Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко, Д.В. Тарла-
ковский // Проблемы машиностроения и автоматизации. – 2016. – № 1. – С. 91–97.
15. Старовойтов, Э. И. Термосиловое нагружение трехслойных пологих оболо-
чек / Э. И. Старовойтов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1989.– № 5.–
С. 114–119.
16. Нестерович, А.В. Неосесимметричное термосиловое деформирование круго-
вой трехслойной пластины / А.В. Нестерович // Проблемы физики, математики и тех-
ники. – 2016. – № 2 (27). – С. 54–60.
17. Плескачевский, Ю.М. Локальные нагружения трехслойной балки со сжимае-
мым заполнителем в температурном поле / Ю.М. Плескачевский, М.А. Журавков,
Э.И. Старовойтов // Теоретическая и прикладная механика: междунар. научно-техн.
сборник.– Мн.: БНТУ, 2018. − Вып. 33. – С. 12–17.
10