Основы теории космического полета: учебное пособие. Ч.3: Теория малых возмущений и коррекция параметров орбит

64 Pages·2015·2.39 MB·Russian

by  В.В. Корянов, В.П. Казаковцев

УДК 629.78
ББК 39.67
К70
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/73/bookl260.html
Факультет «Специальное машиностроение»
Кафедра «Динамика и управление полетом ракет
и космических аппаратов»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
Корянов, В. В.
К70 Основы теории космического полета : учебное пособие /
В. В. Корянов, В. П. Казаковцев. — Ч. 3 : Теория малых возмуще­
ний и коррекция параметров орбит. — Москва : Издательство
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 60, [4] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4156-3
Рассмотрены методы расчета изменения параметров орбиты при
наличии малых возмущений в некоторой ее точке, а также технические
возможности коррекции параметров орбиты для различных типов кор­
рекции, условия выбора момента оптимальной коррекции на номиналь­
ной траектории с учетом оптимизации корректирующего импульса.
Для студентов старших курсов технических вузов, изучающих
дисциплину «Теория космического полета».
УДК 629.78
ББК 39.67
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015
© Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-4156-3 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015
Предисловие
В первой части учебного пособия были рассмотрены основные
характеристики невозмущенного движения космических аппаратов
(КА), т. е. движения КА как материальной точки относительно одно­
го центрального поля тяготения. Однако в реальных условиях в
окрестности Земли КА притягивается не только Землей, но и другими
небесными телами, и в первую очередь Луной и Солнцем. Также су­
ществуют и другие возмущающие факторы, вызывающие отклонения
значений параметров траектории КА от их значений при невозму­
щенном движении. Во второй части учебного пособия рассмотрено
движение КА и других объектов под действием естественных возму­
щений. В третьей части учебного пособия изложены методы расчета
изменения параметров орбиты при наличии малых возмущений в не­
которой ее точке, рассмотрены технические возможности коррекции
параметров орбиты для различных типов коррекции, а также условия
выбора момента оптимальной коррекции на номинальной траекто­
рии. Авторы обратили особое внимание на получение конечных
формул и алгоритмов, позволяющих инженеру быстро рассчитать
параметры новой орбиты, оценить энергетические затраты на прове­
дение соответствующей космической операции.
Известно, что параметры реальной орбиты всегда отличаются
от их расчетных значений. Поэтому после запуска КА на орбиту
приходится проводить коррекцию ее параметров, для чего необ­
ходимо решать задачи, связанные с коррекцией траектории КА,
выбором требуемых корректируемых параметров типа коррекции,
определением области рассеивания корректируемых параметров и
оценкой величины запасов топлива на коррекцию, а также знать
основные аналитические методы расчета элементов матриц изо­
хронных и изопозиционных частных производных.
Целью данного учебного пособия является формирование у сту­
дентов навыков использования полученных алгоритмов и методик
расчетов для определения влияния малых возмущений на отклоне­
ния параметров орбиты; выбора необходимых корректируемых па­
раметров и определения момента оптимальной коррекции парамет­
ров орбиты по критерию минимального расхода топлива.
3
Глава 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
В процессе определения траектории КА, а также непосред­
ственно при его движении по орбите, возникают случаи необхо­
димости быстрого расчета параметров маловозмущенной траекто­
рии. Например, по результатам измерений параметров орбиты КА
получены их точные значения, но они несколько отличаютсяя от
заданных параметров опорной орбиты. Требуется дать быстрый
прогноз траектории движения КА по полученным отклонениям
параметров орбиты. В этом случае расчет траектории КА прово­
дится методами теории малых возмущений.
1.1. Основные положения теории малых возмущений
Рассмотрим основные положения теории малых возмущений.
Допустим, имеем некоторую невозмущенную (опорную) орбиту
КА. Обозначим х0 вектор фазовых координат КА в некоторой
начальной точке орбиты (рис. 1.1); х — вектор фазовых координат
КА в некоторой текущей точке орбиты с угловой дальностью ср по
отношению к начальной точке. Представим, что в момент прохож­
дения КА нулевой точки орбиты вектор фазовых координат полу­
чил возмущения 5х0, следовательно, орбита КА займет новое —
возмущенное — положение.
Рис. 1.1. Схема расположения точек
возмущенной орбиты КА, адекват­
ных заданной точке невозмущенной
орбиты:
1 — возмущенная орбита; 2 — невозму­
щенная орбита; _ точка изопозицион-
ного отклонения; Bt — точка изохронно­
го отклонения; Вк — точка изопа-
раметрического отклонения; (р — угловая
дальность; Хо — вектор фазовых коорди­
нат в начальной точке орбиты; х — век­
тор фазовых координат в текущей точке
орбиты; г0 — радиус начальной орбиты;
г—радиус текущей орбиты
4
В теории малых возмущений ставится задача отыскания откло­
нений вектора фазового состояния в текущей точке орбиты под
действием возмущений параметров орбиты в начальной точке.
Разложим в ряд Тейлора функциональную зависимость г-го эле­
мента фазового вектора в текущей точке относительно его невоз­
мущенного значения по отклонениям фазового вектора в началь­
ной точке:
s V"* я 1 XT1
+тХ—т 8х^+...
y=i dxOj 2 /=1 Ох (1.1)
■Оу
7 = 1, 2, ..., и; / = 1, 2, п
Отклонения 8х, и 8хОу, как правило, малы. Например, для
круговой орбиты ИСЗ, радиус которой равен 6700 км, а скорость
7800 м/с, отклонения радиуса в начальной и текущей точках со­
ставляют порядка 1...10 км, а отклонения скорости 1...5 м/с. От­
носительная величина возмущений — порядка 10-3.
Таким образом, в рамках теории малых возмущений мы имеем
дело действительно с малыми отклонениями параметров орбиты,
поэтому при расчетах обычно используют только первый член
формулы (1.1):
я ^х> я
j=i 0X0 ’ (1.2)
дх;
где —-------частная производная изменения z-ro текущего пара­
ду
метра орбиты КА при единичном изменении у'-го параметра орби­
ты в начальной точке.
При решении различных задач в рамках теории малых возму­
щений прежде всего необходимо знать матрицу частных произ­
водных на изменения текущих параметров орбиты КА по измене­
ниям начальных параметров орбиты.
Анализируя практические задачи, встречающиеся при косми­
ческих полетах, можно заметить, что на возмущенной орбите КА
приходится выбирать различные точки, соответствующие текущей
точке невозмущенной орбиты. Например, при рассмотрении зада­
чи возмущенного движения КА, предназначенного для подхода
к другому КА, требуется синхронизация движений обоих КА по
времени. В этом случае на возмущенной орбите текущей точке
5
невозмущенной орбиты будет соответствовать точка, время дви­
жения до которой от подачи начального возмущения равно време­
ни движения КА от момента подачи возмущения до текущей точки
невозмущенной орбиты.
В настоящее время в рамках теории малых возмущений рас­
сматривают следующие отклонения (см. рис. 1.1):
- изопозиционное отклонение Вф текущей точки, характери­
зующееся постоянной угловой дальностью ср = const;
- изохронное отклонение Bt текущей точки, характеризующее­
ся постоянным временем движения t = const;
- изопараметрическое отклонение Вк текущей точки, характе­
ризующееся постоянным значением выбранного параметра теку­
щей точки xk = const.
На рис. 1.1 в качестве изопараметрического отклонения пока­
зана точка Вк, характеризующаяся постоянным значением радиу­
са орбиты г = const.
Рассмотрение возмущений параметров орбиты КА в каждом из
этих случаев требует знания соответствующих матриц частных
dxj
производных которые называются изопозиционными,
5xoj
изохронными или изопараметрическими.
В рамках линейной теории малых возмущений, обусловленной
небольшими отклонениями параметров движения КА, боковое и
продольное возмущенные движения независимы. Соответствую­
щие частные производные равны нулю. Однако в отдельных слу­
чаях, когда получающиеся отклонения параметров орбиты велики,
необходимо учитывать взаимную связь продольного и бокового
движений.
Наиболее часто в задачах космической баллистики встречают­
ся случаи изопозиционного и изохронного возмущенных движе­
ний КА.
1.2. Продольное возмущенное движение
космического аппарата
Для выбора параметров орбиты при продольном движении КА
будем использовать орбитальную прямоугольную систему координат
Ornz, начало которой (точка О) совпадает с центром масс КА.
6
Ось Or направлена по радиус-вектору точки невозмущенной орбиты,
ось On — перпендикулярна радиус-вектору, лежит в плоскости орби­
ты и направлена в сторону движения КА, ось Oz направлена по нор­
мали к плоскости орбиты.
В этом случае матрица частных производных продольного
возмущенного движения КА может быть записана следующим об-
разом:
дг дг дг дг
дгй дпо дУ^ дУ„0
дп дп дп дп
U Г дг, п, Уг, Уп ~1 дго дпо дУ* 9Уф
, (13)
~_дг0, п0, у^, к0Г ак дУг дУг дУг
drQ дп0 дУ^ дУ^
дУп дУ„ дУ„ дУ„
_ дг0 дп0 дУ^ дУ^ _
где УГ,У„ — компоненты скорости движения КА по осям Or и On;
г,п — координаты положения КА на орбите.
Изопозиционное продольное возмущенное движение
Для получения матрицы изопозиционных частных производ­
ных продольного возмущенного движения введем некоторую
вспомогательную функцию:
«=-• (1.4)
Г
Вспомним, что уравнение траектории КА при невозмущенном
движении записывается следующим образом: г =-------—------- или
1 + е cos (G)
1 1 е
— = — + — cos ($), где 3 — угол истинной аномалии, отсчитывае-
г р р
мый от перигея орбиты до текущей точки. В качестве переменной
необходимо знать угол от точки подачи начальных возмущений до
текущей точки орбиты, следовательно, уравнение (1.4) будет
иметь вид
7
и~ — - — + Л cos (ф) + В sin (ф). (1.5)
г р
Дифференцируя уравнение (1.5), получим
= -A sin (ф) + В cos (ф). (1.6)
с7ф
Подставив начальные значения ф = 0 в уравнения (1.5) и (1.6),
получим
11, ,11
w0 = — = — + А или А =--------.
г0 Р г0 р
Определим формулу для расчета коэффициента В:
du Л ( du ) ( dr )
^<pJ0 ^лЛ^ФЛ)
Рассмотрим дополнительно выражения для производных на
основании дифференцирования уравнения (1.4):
du _ 1 (du А _ 1
dr г2 ’ I dr Jo r02 ’
dr V(dr\ 1 Kn
— = r —; — =------—.
бЛр V„ VdipJ^ rQ Vno
После подстановки полученных выражений в формулу для В
получим
12k
«О
г V
'о
Полученные выражения для А и В подставим в уравнение
(1.5). После некоторых преобразований получим окончательное
выражение для и:
1 1-сов(ф) if V . , .?
и = — =---------— + — соз(ф)-----— sin (ф) (1-7)
г Р Г0 I Vno )
8
Формула (1.7) по физической сути есть уравнение траектории, в
нем текущее значение радиуса связано с начальными параметрами
продольного движения r0, VrQ, V„Q через угол ср. На основании (1.7)
можно получить первые три элемента матрицы U, представленной в
виде (1.3).
Прежде всего выведем частные производные от параметра ор­
биты по начальным параметрам продольного движения.
Из теории невозмущенного движения известна следующая за­
висимость для квадрата модуля интеграла площадей:
С1 2 =цР = г^. (1.8)
Дифференцируя уравнение (1.8), получим следующие выраже­
ния для частных производных:
др _ 2. р
дг0 г0
^ = 0;
дп0
------= 0;
др _2р
dV ~ V
tlQ Г HQ
Возьмем частную производную от уравнения (1.7) по г0:
1 дг 1 —cos(<p) др 1 уго .
г2 дг0 --------Р-- ------------д--г--0- ----r--oz2 к„о )
Подставим вместо — его выражение согласно (1.9) и умно­
го
жим на (-1). В результате получим
1 dr 2р 1 —cos(<p) Ilf ч
— — = —----------— +------cos((p)--5-sin((p) ,
г дг0 r0 р r0\ V„o )
1 К
и заменим — cos (<р) - —-2-Sin (ф) его значением из уравнения
(1.7). В результате преобразований имеем
9
1 dr _ 2 l-cos((p)+ 1(1 l_cos(<p) j_
r2 dr0 r0 p r0 Ir P J
_ 1 Г1 - COS (ф) 1 - COS (ф) 1 1 - COS (ф) _
ro I P P r P )
_ 1 ( 1 1-соз(ф)А|
'bl'' P J'
Умножив левую и правую части последнего выражения на г2,
получим формулу частной производной для радиуса орбиты по
отклонению начального значения радиуса
дг г ( г ।
— = - 1 + -[1-СО8(ф)] . (1-10)
ог0 ГО V Р )
Возьмем частную производную от уравнения (1.7) по
помня, что согласно (1.9) =0, - — = - — Из фор-
г1 дг0 r0 v„0
мулы для интеграла площадей орбиты КА имеем c = r0V„0 = rV„,
1 dr 1 зт(ф)
следовательно, можно записать —;--------=----------т, или после
г2 d^ г Р„
преобразований получаем формулу частной производной для ра­
диуса орбиты по отклонению начальной радиальной скорости
^=Г“П(Ф)- (11|)
Возьмем частную производную от уравнения (1.7) по началь­
ному значению нормальной скорости Р„о
1 dr 1 —соз(ф) dp 1 И . z
—7------=---------Г12-1 —— +-------51п(ф)
г р1 dv„o г0 Р„о
и подставим в нее значение —— из выражения (1.9), и умножим
все уравнение на (-1):
10
1 dr _ 2 l-cos(cp) 1
sin(<p) =
^ы%~кГ~~P 70v^
1 1 - cos(<p) 1 - cos(<p) 1
sin((p) .
< p p r°
„ l-cos((p) 1 , ..
Заменим---------:-ZJ---------^-sin(q>)) согласно уравнению (1.7)
P ro Ko
1 dr 1 f l-cos((p) 1 1 .
--------v+Z +--------cos(cp) I
r^ dV Ko < P r r0 )
Умножим левую и правую части уравнения на г2. В результа­
те получим формулу частной производной для радиуса орбиты по
отклонению начальной номинальной скорости
nr г г г
1-----cos(<p) + - (1 - cos(tp)) (1-12)
дКо Ко L to Р
Теперь найдем частные производные на изменение радиальной
составляющей скорости, для чего запишем следующее выражение:
TZ dr d ( ]Л 1 du у du dtp
Vr- — - — — =----------= -r----------
dt dt\u J и dt dtp dt
В соответствии с формулами теории невозмущенного движения
запишем выражение для модуля интеграла площадей в следующем
виде:
с rVn Vn
7 rf(p б7ф
или = — = = —
dt dt г2 г2 г
Подставим полученное выражение для производной в формулу
для определения радиальной скорости, тогда уравнение для ради­
альной скорости будет иметь следующий вид:
V =-r2—^- = -rV ^- = -Г(У
r dtp n dtp dtp
11