Table Of ContentЭ.И. ЗВЕРОВИЧ
ВЕЩЕСТВЕННЫЙ
И КОМПЛЕКСНЫЙ
АНАЛИЗ
Часть 4
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Часть 5
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ИНТЕГРАЛЫ ПО МНОГООБРАЗИЯМ
ДЛЯ С Т У Д Е Н Т О В В У З О В
Э.И. ЗВЕРОВИЧ
ВЕЩЕСТВЕННЫЙ
И КОМПЛЕКСНЫЙ
АНАЛИЗ
Допущено
Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для студентов
математических специальностей учреждений,
обеспечивающих получение высшего образования
В шести частях
Книга 3
4
Часть
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
5
Часть
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ИНТЕГРАЛЫ ПО МНОГООБРАЗИЯМ
Минск
«Вышэйшая школа»
2008
УДК 517(075.8)
ББК 22.16я73
3-43
Рецензенты: кафедра теории функций, функционального анализа
и прикладной математики Гродненского государственного университета
им. Янки Купалы; А.П. Старовойтов, доктор физико-математических
наук профессор кафедры математического анализа Гомельского государ
ственного университета им. Франциска Скорины
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги
или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения из
дательства.
ISBN 978-985-06-1502-2(кн. 3, ч. 4-5) © Зверович Э.И., 2008
ISBN 978-985-06-1263-2 © Издательство «Вышэйшая
ISBN 985-06-1263-0 школа», 2008
ПРЕДИСЛОВИЕ
В четвертой части учебного пособия приводится теоре
тический материал, который преподается студентам матема
тических специальностей университетов в третьем семестре.
Его содержание составляют предусмотренные учебными про
граммами факты из теории функциональных последователь
ностей, функциональных рядов, степенных рядов, тригоно
метрических рядов Фурье, интегралов Фурье, интегралов, за
висящих от параметра, и эйлеровых интегралов. Из особенно
стей изложения следует отметить, что в теории рядов Фурье
используется понятие ростка.
В пятой части приводится теоретический материал, кото
рый преподается студентам математических специальностей
университетов в четвертом семестре. Его содержание состав
ляют кратные интегралы Римана, криволинейные и поверх
ностные интегралы. Кроме того, дается исчисление внешних
дифференциальных форм, интегралы по многообразиям и об
щая теорема Стокса.
Изложение теории кратных интегралов — не концентри
ческое, т.е. сразу вводятся n-кратные интегралы (а случаи
п = 2, 3, ... рассматриваются как примеры). Сначала изу
чаются интегралы по брусам, поскольку теория таких инте
гралов мало отличается от теории одномерного интеграла Ри
мана. Затем рассматриваются интегралы по произвольным
ограниченным множествам, измеримым по Жордану. Даются
теоремы существования таких интегралов, включая критерий
Лебега, и все основные свойства.
Теорема Фубини изложена в степени общности, достаточ
ной для всех приложений, важнейшие из которых приведены.
Доказана теорема существования разложения единицы (из
вестного также под названием «разбиение единицы»), которое
в дальнейшем неоднократно используется. Приведена с пол
ным доказательством теорема о замене переменных в крат
ных интегралах. Формулы Грина, Стокса и Гаусса — Остро
градского даны на современном уровне строгости, без суще
ственного увеличения объема текста и с минимальными огра
ничениями. Завершается том изложением исчисления внеш-
4 Предисловие
них дифференциальных форм, элементов анализа на много
образиях, вложенных в R71, и общей теоремы Стокса на таких
многообразиях.
Из огромного количества имеющейся учебной литературы
по математическому анализу' в списке литературы представ
лены учебники и учебные пособия [2-7], [9-12], а также за
дачники [1], [8]. Учебники и пособия подобраны по принципу
близости по содержанию и методике изложения к предлага
емому мною учебному пособию. К тому же по крайней мере
большинство книг [1-12] доступны студентам университетов
Республики Беларусь.
Нумерация глав продолжает нумерацию глав предыду
щих книг этого учебного пособия. Каждая глава заканчивает
ся подборкой задач по соответствующим темам. Эти подборки
задач составила доцент О.Б. Долгополова.
Выражаю благодарность профессору В.Г. Кротову, доцен
там А.С. Ляликову и Е.К. Щетникович за квалифицирован
ную помощь при подготовке рукописи в издательской систе
ме МЁХ2е, доценту Т.Н. Жоровиной за тщательное вычиты
вание рукописи, а также рецензентам: ректору Гродненского
государственного университета, профессору Е. А. Ровбе и про
фессору того же университета Ю.М. Вувуникяну, профессору
Гомельского государственного университета А.П. Старовой
тову.
Э.И. Зверович
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
17. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
17.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
ИХ ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ
В этой главе будут изучаться последовательности и
ряды, все члены которых — числовые функции одного пере
менного (вещественного или комплексного). Условимся через
z (возможно, с индексами) обозначать переменные, которые
считаются, вообще говоря, комплексными. Через х (возмож
но, с индексами) будем обозначать вещественные переменные.
Определение 17.1. Функциональной последовательно
стью называется последовательность, все члены которой —
функции. Функциональным рядом называется ряд, все члены
которого — функции.
Понятия и обозначения, связанные с функциональными
последовательностями и рядами, по форме не отличаются от
соответствующих понятий и обозначений, связанных с чис
ловыми последовательностями и рядами, поэтому на них не
останавливаемся. Различия начинаются тогда, когда речь за
ходит о сходимости. Это связано прежде всего с тем, что одна
и та же последовательность (или ряд) может сходиться при
одних значениях аргумента и расходиться — при других.
Определение 17.2. Говорят, что функциональная по
следовательность {fn)n=i сходится поточечно на множе
стве Е С С к функции f : Е — ► С, если все функции fn
определены на множестве Е uVz € Е числовая последова
тельность {fn(z))nLi сходится к числу f(z).
Записывается этот факт так:
17.1. Функциональные последовательности и ряды 7
Определение 17.3. Говорят, что функциональный ряд
оо
fn сходится поточечно на множестве Е С С тс сумме
п— 1
/ : Е — у С, если последовательность его частичных сумм
сходится поточечно к функции f на множестве Е.
Записывается этот факт так:
оо
f(z) = Ц /п(г) при z € Е.
П= 1
Напомним, что сходимость последовательностей и сходи
мость рядов — понятия равносильные в том смысле, что одно
оо
из них сводится к другому. Именно сходимость ряда fn
k= 1
определяется как сходимость последовательности (sn)£*Li ого
частичных сумм sn := f\ + ... + fn. Обратно, сходимость по
следовательности (sn)^Li можно определить как сходимость
оо
ряда £ fn, где
п=1
/l = Si , /2 = ^2 S]. , ... , fn = $п &п— 1 > • • • •
Учитывая это замечание, мы в дальнейшем (в зависи
мости от удобства формулировок) некоторые вопросы будем
излагать только для функциональных последовательностей,
другие — только для функциональных рядов, а часть вопро
сов — и для последовательностей, и для рядов.
Для изучения функциональных последовательностей и
рядов целесообразно ввести понятие области сходимости.
Определение 17.4. Областью сходимости функцио
нальной последовательности (fn)nLi или функционального
оо
ряда fn называется множество всех значений аргу-
П=1
мента z £ С, для которых сходится числовая последова
тельность (/п(г))~1 или соответственно числовой ряд
£ fn(z).
п=1
Рассмотрим простые примеры на нахождение областей
сходимости.
8 17. Функциональные последовательности и ряды
Пример 1. Пусть fn(x) = —~ — > п £ N, х € R. Так как
хг ■+■ п
VxeR :
то
п—>оо ж2 + п
для любого х £ R. Поэтому областью сходимости данной последо
вательности является множество R всех вещественных чисел.
Пример 2. Пусть fn(z) = nz, где п 6 N, z £ С. Так как /п(0) =
= 0, то lim /п(0) = 0. При z ф 0 имеем lim fn(z) = z lim n = oo.
n-юо n—»oo n—»oo
Таким образом, область сходимости данной последовательности
состоит из ОДНОЙ ТОЧКИ Z = 0.
7l!
Пример 3. Пусть fn(x) = g2 п> п 6 N, ж € R. Так как
lim -z-;— = +оо,
п-*оо X* + п
то областью сходимости данной последовательности является пус
тое множество 0.
Основные проблемы теории функциональных последова
тельностей и рядов можно сформулировать следующим об
разом. Пусть все члены функциональной последовательности
или ряда обладают некоторым свойством (например, непре
рывны, интегрируемы, дифференцируемы и т.п.). Обладает
ли предельная функция или сумма ряда соответствующим
свойством? Если да, то каковы соотношения между и /',
между интегралами от /п и /, и т.п.?
Пусть, например, f(t) = lim fn(t), где все функции /п
п—юо
непрерывны в точке х. Непрерывность функции /п в точке х
означает, что lim/n(£) = /п(#)- Задаваясь вопросом о непре-
t—+x
рывности предельной функции / в точке х, мы должны про
верить равенство lim f(t) = f{x). Выражая теперь / через /п
t—►£
и используя непрерывность функции /п в точке х, получим
lim ( lim /„(<)) = lim fn(x) = lim f lim/„(f)) .
t—*x \n—ЮО / 71—>00 n—♦ oo \t—*x /
Таким образом, вопрос о непрерывности предельной функции
17.1. Функциональные последовательности и ряды 9
/ в точке х сводится к вопросу о том, справедливо ли равен
ство
lim ( lim /„(t)) = Hm (lim /„(*)) , (17.1)
t— \n—ЮО / 71—>00 \t—>X /
ra.e. важен ли порядок, в котором осуществляются предель
ные переходы?
Мы покажем сейчас на примерах, что, вообще говоря, ра
венства типа (17.1) неверны. Первый, самый простой пример
связан с рассмотрением «двойной последовательности».
771
Пример 1. Положим smn := -------, где тп, п £ N. При каж-
771 4* п
дом фиксированном п имеем
lim Smn = lim —Щ— = 1,
m—+00 m—>оо 771 + 72
и, значит,
lim ( lim smn) = lim 1 = 1.
n—>00 \m—*oo J n—>00
Если же фиксировать тп, то получим
lim Smn = lim ——— = 0,
n—»оо п—+оо 771 + 72
и, значит,
lim ( lim smn) = lim 0 = 0.
m—»oo \n—»oo / m—мэо .
Таким образом, имеем
lim lim smn ^ lim lim smn.
n—*oo m—»oo m—»oo n—*oo
X2
Пример 2. Все функции /п(ж) := , п € N, непрерыв-
(1 4- а^)п
ны на R и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
1 оо оо д.2
0 < ТТ72 < 1 при X # 0. Поэтому ряд D /„(х) = 2 n 1 "aw
“г a; n=i n=l vA ' ^ /
сходится. Его сумма
/(*)
разрывна в точке х — 0. Таким образом, сходящийся ряд, все чле
ны которого — непрерывные функции, может иметь разрывную
сумму.
Пример 3. Рассмотрим семейство функций {/mn | тп, п 6 N},
где
fmn(x) = |cOS(n!7rx)|m .
la Зак. 1716
