Сопротивление материалов. В 3 ч. Ч. 2

99 Pages·2.616 MB·Russian

by  Атаров Н. М., Варданян Г. С., Горшков А. А., Леонтьев А. Н., Моск. гос. строит. ун-т , Атаров Н. М.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Учебное пособие
Часть 2
Под редакцией профессора Н.М. Атарова
3-е издание (электронное)
М о с к в а 201
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 539.3
ББК 30.121
С 64
Р е ц е н з е н т ы:
профессор, доктор технических наук С. Н. Кривошапко,
заведующий кафедрой «Прочность материалов и конструкций»
Российского университета дружбы народов;
член-корреспондент РААСН, профессор, доктор технических наук
Н. Н. Шапошников (Московский государственный университет
путей сообщения)
А в т о р ы:
Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков,
А. Н. Леонтьев
С 64 Сопротивление материалов. В 3 ч. [Электронный ресурс] : учебное пособие : Ч. 2 /
Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков [и др.] ; М-во образования и науки Рос.
Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — 2-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл
pdf : 99 c.). — М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 2017. — Систем. требования: Adobe
Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10".
ISBN 978-5-7264-1761-5 (Ч. 2)
ISBN 978-5-7264-1759-2
В части 2 учебного пособия по курсу «Сопротивление материалов с основами строительной
механики и теории упругости, пластичности и ползучести» рассмотрены следующие темы: определение
перемещений в балках и рамах при прямом изгибе; расчет статически неопределимых балок и рам с по-
мощью метода сил; расчет балок на упругом основании; кручение стержней; сложное сопротивление
стержней; устойчивость и продольно-поперечный изгиб стержней. Подробно рассмотрены примеры
решения задач.
Пособие окажет помощь студентам при выполнении расчетно-графических работ и при подго-
товке к различным видам контроля знаний (защита расчетно-графических работ, компьютерное тестиро-
вание, зачеты и экзамены).
Для студентов, обучающихся по направлениям 08.03.01, 08.04.01 «Строительство», и студентов,
обучающихся по программе специалитета по специальности 08.05.01 «Строительство уникальных
зданий и сооружений».
УДК 539.3
ББК 30.121
Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Сопротивление материалов.
В 3 ч. : учебное пособие : Ч. 1 / Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков [и др.] ; под ред.
Н. М. Атарова ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — М. : Издательство
МИСИ—МГСУ, 2013. — 98 с. — ISBN 978-5-7264-0626-8.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими
средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации.
ISBN 978-5-7264-1761-5 (Ч. 2)
ISBN 978-5-7264-1759-2 © ФГБОУ ВПО «МГСУ», 2013
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие предназначено для оказания помощи студентам строитель-
ных специальностей вузов при выполнении расчетно-графических работ
по сопротивлению материалов, основам строительной механики, теории
упругости и пластичности.
Пособие содержит 14 глав по темам расчетно-графических работ. В
каждой главе дано краткое изложение теории, приведены основные фор-
мулы и уравнения, рассмотрены примеры решения задач, аналогичных за-
дачам в расчетно-графических работах. В конце каждой части пособия
приведен сортамент стальных прокатных стержней — уголков, двутавров
и швеллеров.
В части 2 пособия содержатся главы, соответствующие учебному ма-
териалу 2-го семестра изучения сопротивления материалов — определе-
ние перемещений в балках и рамах при прямом изгибе, расчет статически
неопределимых балок и рам с помощью метода сил, расчет балок на упру-
гом основании, кручение стержней, сложное сопротивление стержней, ус-
тойчивость и продольно-поперечный изгиб стержней.
В пособии использована система единиц СИ, а также традиционные
для курса сопротивления материалов обозначения: сила P, площадь попе-
речного сечения стержня F. Соотношения между основными механиче-
скими величинами в единицах СИ и в технической системе приведены в
следующей таблице:
Наименование Е д и н и ц а Соотношение
величины Наименование Обозначение единиц
≈
1 Н 0,1 кгс
Сила, нагрузка, вес Ньютон Н ≈
1 кН 0,1 тс
≈
1 Н/м 0,1 кгс/м
Линейная нагрузка Ньютон на метр Н/м ≈
1 кН/м 0,1 тс/м
⋅ ≈ ⋅
Момент силы, 1 Н м 0,1 кгс м
⋅
момент пары сил Ньютон-метр Н м 1 кН⋅м ≈ 0,1 тс⋅м
1 Па ≈ 0,1 кгс/м2
Напряжение, давление Паскаль Па 1 МПа ≈ 10 кгс/см2
При определении напряжений в качестве вспомогательной единицы
измерения используется также кН/см2 (1 кН/см2 = 10 МПа).
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Г л а в а 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ
И РАМАХ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ

1.1. Основные определения и формулы

При изгибе ось балки искривляется (рис. 1.1), что сопровождается по-
( ) ( )
ϕ ′
явлением прогибов v x и углов поворота поперечных сечений (х) = v x ,
которые принимаются равными углам наклона касательной к изогнутой
оси. Эти величины называются линейными и угловыми перемещениями.
Прогибы считаются положи-
ϕ q
тельными, если они происходят в
положительном направлении оси
0
x
ϕ v 0у. Углы поворота считаются по-
ложительными при повороте каса-

тельной к изогнутой оси по ходу
Рис. 1.1
часовой стрелки.
( )
Для определения законов изменения прогибов балок v x при прямом
изгибе используются дифференциальные уравнения второго порядка
( ) ( )
EJv′′ x = − M x (1.1)
или четвёртого порядка
( ) ( )
EJvIV x = q x , (1.2)
где EJ — жёсткость балки при изгибе; М(х) — изгибающий момент в по-
перечном сечении; q(x) — распределённая поперечная нагрузка.
При определении перемещений с помощью метода начальных пара-
метров используется выражение
( )
( ) M x2 Q x3 ( ) M x − a 2
v x =v + ϕ x − 0 − 0 + Δϕ x − a − 2 −
0 0 2!EJ 3!EJ 1 2!EJ
1 2 3 (1.3)
( ) ( ) ( )
P x − a 3 q x − a 4 q x − a 4
− 3 + 4 − 5 .
3!EJ 4!EJ 4!EJ
4 5 6
Здесь v , ϕ , M , Q — начальные параметры, представляющие со-
0 0 0 0
бой прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу в на-
Δϕ
чальном сечении х = 0, и — взаимный угол поворота сечений в про-
межуточном шарнире. Формула (1.3) соответствует воздействиям и участ-
кам, показанным на рис. 1.2.
Δϕ
Неизвестные в начале расчёта начальные параметры и величины
подлежат определению из соответствующих граничных условий.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Общим методом определения перемещений в стержневых системах
является метод Мора. Метод Мора сводится к вычислению интегралов,
которые представляют собой работу единичных сил Р =1 или единичных
моментов М =1 на искомых перемещениях.
q
M
0 M
0
a a a a a x
1 2 3 4 5
Q
0 P
1 2 3 4 5 6
y

Рис. 1.2
Для балок и рам используется формула Мора, содержащая изгибаю-
щие моменты:
М M
Δ =  i P ds. (1.4)
iP EJ
k s
k
Здесь M — изгибающий момент от действия единичной силы или
i
единичного момента, прикладываемых по направлению искомого пере-
мещения; M — изгибающий момент от действия заданных нагрузок. При
P
определении линейных перемещений прикладывается единичная сила, а
при определении угловых перемещений — единичный момент.
Для балок и стержневых систем,
y
состоящих из прямых стержней с по-
стоянной жесткостью EJ, вычисление
С
интегралов Мора можно произвести с
M
помощью правила Верещагина (прави- Р
ло «перемножения» эпюр) по формуле x
С
М M 1
Δ = i P ds = y Ω , (1.5)
iP EJ EJ C P
k s
k О M
где у — ордината в линейной эпюре a l y x i
С С
M под центром тяжести площади Ω b
i P

криволинейной эпюры M (рис. 1.3). Рис. 1.3
P
При использовании формулы (1.5) сложную эпюру надо разбить на про-
стые фигуры, у которых известны площадь и положение центра тяжести.
Наиболее часто элементами разбиения являются трапеции и квадратные
параболы. Площадь квадратной параболы на участке длиной l с нулевыми
начальным и конечным значениями определяется по формуле
ql3
Ω = , (1.6)
q
12
где q — интенсивность равномерно распределенной нагрузки.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если эпюры M и М на участке длиной l представляют собой тра-
P i
пеции (рис. 1.4), то формулу (1.5) можно привести к следующему виду
(формула «перемножения» трапеций):
l
b Δ = (2ac + 2bd + ad + bc). (1.7)
a М iP 6EJ
Р
Если интеграл Мора имеет положительное
c значение, то направление перемещения совпадает
d М с направлением действия соответствующих еди-
i
l ничной силы или единичного момента. В против-
ном случае перемещение противоположно этому
Рис. 1.4
направлению.

1.2. Примеры решения задач

Задача 1.1
а)
Р = 15 кН
М = 10 кН·м =10 кН/м Для шарнирно опертой балки
А В (рис. 1.5, а) построить эпюры Q и
О С х М и выполнить подбор сечения из
y R =25кН R =20 кН условия прочности в виде сталь-
1 м 1А м 3 м B
ного прокатного двутавра. Опре-
1 2 3
делить с помощью метода началь-
3− х 20 ных параметров и метода Мора
0
−
б) Q значения прогибов и углов поворо-
+ 10 х0 = 2 м (кН) та в характерных сечениях балки и
ϕ
25 построить эпюры v и . Опреде-
в) ϕ
лить числовые значения v и . В
10 −
M расчетах принять R = 21 кН/см2,
+ (кН·м) Е = 2,1⋅104 кН/см2, γ = 1,2 и γ = 0,9.
15 f с
Излом М =20 Определяем опорные реакции:
max 26,1
− Σ ⋅ ⋅ ⋅
г) 0,6 МА = 0, 10 – 15 1–10 3 2,5 +4RB = 0,
ϕ
EJ R = 20 кН;
11,4 Перегиб B
Σ ⋅ ⋅ ⋅
+ М = 0; 10+15 3+10 3 1,5 – 4R = 0,
В А
R = 25 кН;
д) 19,8 А
21,4 ϕ
Σ ⋅
max Y = 0 (проверка), 15 +10 3–25– 20 =
16,4
−
= 45 – 45 = 0.
EJv
Определяем значения изгибаю-
Перегиб
+ щих моментов и поперечных сил в
22,2
характерных сечениях балки и
32,4 v строим эпюры Q и М (рис. 1.5, б, в).
max

Рис. 1.5
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определяем экстремальное значение М в пролете. Из пропорции нахо-
max
дим положение сечения, где действует максимальный момент:
20 10
= , х = 2 м;
− 0
x 3 x
0 0
= = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅
М M 20 2 10 2 1 20 кН м.
max C
Определяем расчетное значение наибольшего изгибающего момента:
= γ = ⋅ = ⋅
M М 20 1,2 24 кН м.
P н f
Требуемый момент сопротивления сечения равен
М 24⋅102
W ≥ P = =127см3.
z γ R 0,9⋅21
c
По сортаменту принимаем: I 18, W = 143 см3, J = 1290 см4.
z z
Составим с помощью формулы (1.3) выражение для прогиба балки в
пределах трех характерных участков:
( ) ( ) ( )
( ) M x2 Q x3 R x −1 3 Ρ x − 2 3 q x − 2 4
v x =v + ϕ x − 0 − 0 − A + + .
0 0
2!EJ 3!EJ 3!EJ 3!EJ 4!EJ
1 2 3
Начальные параметры равны:
⋅
х = 0, M = –10 кН м, Q = 0.
0 0
Для определения неизвестных начальных параметров v и ϕ исполь-
0 0
зуем граничные условия
10⋅12
x =1м, v =v +1⋅ϕ + =0;
0 0
2EJ
10⋅52 25⋅43 15⋅33 10⋅34
x =5м, v =v +5ϕ + − + + =0.
0 0
2EJ 6EJ 6EJ 24EJ
Решаем систему алгебраических уравнений:
5 
+ϕ = −
v ,
0 0 EJ  16,4 11,4
 v = − , ϕ = .
40,42 0 EJ 0 EJ
+ ϕ = 
v 5 .
0 0 EJ 
а)
Р =1 1 0,75
В качестве проверки вычислим
значения v и ϕ с помощью метода М
0 0 1
Мора. Построим единичные эпюры
изгибающих моментов (рис. 1.6, а, б) и
вычислим интегралы Мора с помощью б) М =1
0,75
правила Верещагина, т.е. «перемно-
М
жим» единичные эпюры с эпюрой мо- 1 2
ментов от действия заданных нагрузок
1 м 1 м 3 м
М = M :
P Рис. 1.6
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
l M M 1 1 1(
v =  1 P dx = ⋅1⋅1⋅10+ 2⋅1⋅10−2⋅0,75⋅15+
0 
EJ EJ 2 6
0
) 1 2 10⋅33 1  16,35
+ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =−
10 0,75 15 1 15 3 0,75 0,75 ;

2 3 12 2 EJ

l M M 1  1(
ϕ =  2 P dx = −10⋅1⋅1+ − 2⋅10⋅1+ 2⋅15⋅0,75−
0 EJ EJ  6
0
) 1 2 10⋅33 1  11,35
− ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
10 0,75 15 1 15 3 0,75 0,75 .

2 3 12 2 EJ

Результаты определения v и ϕ с помощью метода начальных па-
0 0
раметров и метода Мора практически совпали. Запишем окончательные
( )
ϕ( )
выражения для v x и х :
( ) ( ) ( )
( ) 1  10x2 25 x −1 3 15 x − 2 3 10 x − 2 4 
v x = −16,4+11,4x + − + + ;
EJ 2! 3! 3! 4!
 
 
1 2 3
( ) ( ) ( )
 − 2 − 2 − 3 
( ) ( ) 1 25 x 1 15 x 2 10 x 2
ϕ x =v′ x = 11,4+10x − + + .
EJ 2! 2! 3!
 
 1 2 3
ϕ
Вычислим значения v и в характерных сечениях балки:
16,4 11,4
x =0, v =v =− , ϕ = ϕ = ;
0 EJ 0 EJ
( )
1 21,4
x =1м, v =0 (граничное условие), ϕ = 11,4 +10⋅1 = ;
ЕJ EJ
1  10⋅22 25⋅13  22,2
x = 2м, v = −16,4+11,4⋅2+ −  = ,
 
EJ 2 6 EJ
 
1  25⋅12  18,9
ϕ = 11,4 +10⋅2 −  = ;
 
EJ 2 EJ
 
1  10⋅32 25⋅23 15⋅13 10⋅14  32,4
x =3м, v = −16,4+11,4⋅3+ − + +  = ,
 
EJ 2 6 6 24 EJ
 
1  25⋅22 15⋅12 10⋅13  0,6
ϕ= 11,4 +10⋅3− + +  = ;
 
EJ 2 2 6 EJ
 
x =5м, v =0 (граничное условие),
1  25⋅42 15⋅32 10⋅33  26,1
ϕ= 11,4 +10⋅5− + +  = − .
 
EJ 2 2 6 EJ
 
ϕ
В качестве проверки вычислим некоторые значения v и с помощью
метода Мора:
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) l M M 1 1( )
v 2 =  3 P dx = 2⋅15⋅0,75−10⋅0,75 +

EJ EJ 6
0
1 2 10⋅33 1  22,19
+ 15⋅3⋅ 0,75+ ⋅ 0,75 = ;

2 3 12 2 EJ

( ) l M M 1 1( )
ϕ 5 =  4 P dx = −2⋅15⋅0,25+10⋅0,25 −

EJ EJ 6
0
3( ) 10⋅33 1+0,25 26,15
− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = −
2 15 0,25 15 1 .

6 12 2 EJ

Соответствующие единичные эпюры приведены на рис. 1.7, а, б.
Результаты вычислений практически
Р =1
ϕ
совпали. Строим эпюры v и , отметив а) А В
их особенности (рис. 1.5, г, д). Орди- М
3
наты эпюр умножены на жесткость ЕJ.
0,75
В сечении, где Q обращается в R = 0,25
R = 0,75 B
ϕ A
нуль, на эпюре имеется точка пере-
б)
гиба. В сечении, где М = 0 (участок 2), 1
0,25
ϕ ϕ М =1
на эпюре имеется экстремум ,
max
а на эпюре v — точка перегиба. В се- М
4
ϕ
чении, где = 0 (участок 3), прогиб
1 м 1 м 3 м
имеет экстремальное значение v .
max
В пределах первого участка ϕ из- Рис. 1.7
меняется по линейному закону. В се-
ϕ
чении В касательная к эпюре параллельна оси.
ϕ
Определим числовые значения v и . Размерность длины в числителе
переведем в сантиметры:
( )
( ) 32,4 32,4⋅ 102 3
v 3 = = =1,2см;
EJ 2,1⋅104 ⋅1290
( )
( ) 26,1 26,1⋅ 102 2
ϕ 5 = − = − = −0,00963рад = −0,55о .
EJ 2,1⋅104 ⋅1290
Задача 1.2
Для балки с промежуточным шарниром (рис. 1.8, а) определить зна-
чения поперечных сил, изгибающих моментов, прогибов и углов поворота
в характерных сечениях и построить эпюры этих величин.
Разбиваем балку на несомую ВС и несущую АВ части (балки).
Производим статический расчет несомой балки ВС (рис. 1.8, б):
Σ ⋅ ⋅
М = 0, –14 3 1,5 – 12 + 5R = 0, R = 15 кН;
В С С
Σ ⋅ ⋅
М = 0, 14 3 3,5 – 12 – 5R = 0, R = 27 кН;
С В В
Σ ⋅
Y = 0 (проверка), 14 3 – 27 – 15 = 42 – 42 = 0.
9