Table Of Content5_06_26
2(xy′+ y) = y2 lnx, y(1) = 2
y' 1 lnx
− − = −
y2 xy 2x
−1
z =1/ y ⇒ z'= y'
y2
z'− z/x = −lnx/(2x)
z =uv⇒ z'=u'v+uv'
u'v+uv'−uv/x = −lnx/(2x)
u'v+u(v'−v/x) = −lnx/(2x)
⎧v = x
⎧v'= v/x (1) ⎧v = x (2)⎪
⎨ ⇒⎨ ⇒⎨ 1+lnx ⇒
⎩u'v = −lnx/(2x) ⎩u'= −lnx/(2x2) ⎪u = +C
⎩ 2x
1+lnx
⇒ z =uv = +Cx
2
1+lnx 2
z(1) =1/2⇒C = 0⇒ z = ⇒ y =
2 1+lnx
dv v dv dx dv dx
(1) = ⇒ = ⇒ ∫ = ∫ ⇒ lnv = lnx⇒ v = x
dx x v x v x
dv = x−2 dx
−lnx −1 lnx −1⎛−1 1 dx⎞
(2) ∫ dx = ∫ dx = v = −1/x = ⎜ ⋅lnx+∫ ⋅ ⎟ =
2x2 2 x2 2 x x x
⎝ ⎠
u =lnx;du =dx/x
−1⎛−1 1⎞ lnx+1
= ⋅lnx− +C = +C
⎜ ⎟
2 ⎝ x x⎠ 2x
5_07_26
⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞
⎜1+ ex y ⎟dx+⎜1− ex y ⎟dy =0
⎝ y ⎠ ⎝ y2 ⎠
1 −1 1 −x −ex/y(x+ y)
P(x,y) =1+ ex/y ⇒ P' = ex/y + ⋅ex/y ⋅ =
y y y2 y y2 y3
x 1 x 1 −ex/y(x+ y)
Q(x,y) =1− ex/y ⇒Q' = −( ex/y + ex/y ⋅ ) =
y2 y y2 y2 y y4
P' =Q' ⇒ это уравнение полных дифференциалов
y x
1
F(x,y) = ∫Pdx+ϕ(y) = ∫(1+ ex/y)dx+ϕ(y) = x+ex/y +ϕ(y)
y
−x
F' =ex/y ⋅ +ϕ'(y) =Q(x,y)⇒ϕ'(y) =0⇒ϕ=C
y y2
x+ex/y =C
5_08_26
3yy′= x, M (1, 1).
построим поле направлений для данного диф. уравнения. Изоклины,
соответствующие направлениям поля с угловым коэффициентом
x
равным k есть y =
3k
интегральные кривые имеют вид:
dy
3y = x
dx
3ydy = xdx
3y2 = x2 +C
3y2 − x2 =C
M(1,1)⇒C = 2
т.е.
3y2 − x2 = 2
5_09_ 26
M (1, 2), a = −1
0
уравнение касательной
y −Y = y'(x − X)
где (x; y) − координаты произвольной точки искомой линии
по условию y − y = a
N
т.к. точка N(0; y ) принадлежит касательной, то
N
y − y = xy'⇒ y = y − xy'
N N
y − y + xy' = a
dx
xy' = a ⇒ dy = a
x
y = aln x +C
M (1, 2), a = −1⇒ C = 2
0
y = 2−ln x
5_10_26
1
xy′′′+ y′′= − дифференциальное уравнение высшего порядка,
x
допускающее понижение степени
y''= p
1
xp'+ p =
x
p =uv
1
xu'v+ xuv'+uv =
x
1
v(xu'+u)+ xuv'=
x
⎧⎪xu'+u = 0 ⎧⎪u =1/x ⎧⎪u =1/x
⎨ ⇒ ⎨ ⇒ ⎨
⎪⎩xuv'=1/ x ⎪⎩v'=1/ x ⎪⎩v = 2 x +C
2 C
p =uv = + = y''
x x
y'= ∫ y''dx = 4 x +Clnx+C
1
8
y = ∫ y'dx = x3/2 +C(xlnx− x)+C x+C
3 1 2
5_11_26
y′′=8y3, y(0) =1, y′(0) = 2
это дифференциальное уравнение высшего порядка, допускающее понижение степени
dp
y'= p⇒ y''= p
dy
dp
p =8y3
dy
∫ p⋅dp = ∫8y3dy
p2 /2= 2y4 +C
⎧p2 /2= 2y4 +C
⎪ ⎧C = 0
⎨y(0) =1 ⇒ ⎨
⎪ ⎩y'= 2y2
y'(0) = 2
⎩
dy
= 2dx
y2
−1
= 2x+C
y
y(0) =1⇒C = −1
1
y =
1−2x
5_12_26
y'''+3y''+2y'= x2 +2x+3− линейное неоднородное дифференциальное уравнение
характеристическое уравнение
k3 +3k2 +2k =0⇒ k = −2;k = −1;k = 0
общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
y =C +C e−x +C e−2x
общ 1 2 3
частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
y = x(ax2 +bx+c) = ax3 +bx2 +cx
час
y′ =3ax2 +2bx+c
час
y′′ =6ax+2b
час
y′′′ =6a
час
y′′′ +3y′′ +2y′ = x2 +2x+3
час час час
6a+3⋅(6ax+2b)+2(3ax2 +2bx+c)− x2 −2x−3=0
6a+18ax+6b+6ax2 +4bx+2c− x2 −2x−3= 0
(6a−1)x2 +(18a+4b−2)x+6a+6b+2c−3= 0⇒
⎧−3+6a+6b+2c = 0 ⎧−3+1+6b+2c = 0 ⎧−3+1−3/2+2c = 0 ⎧a =1/6
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⇒ ⎨−2+18a+4b = 0 ⇒ ⎨−2+3+4b = 0 ⇒ ⎨b = −1/4 ⇒ ⎨b = −1/4
⎪−1+6a =0 ⎪a =1/6 ⎪a =1/6 ⎪c = 7/4
⎩ ⎩ ⎩ ⎩
x3 x2 7x
y = − +
час 6 4 4
x3 x2 7x
y = y + y =C +C e−x +C e−2x + − +
oбщ час 1 2 3 6 4 4
5_13_26
y'''−2y''−3y'=(8x−14)e−x − линейное неоднородное дифференциальное уравнение
характеристическое уравнение
k3 −2k2 −3k =0⇒ k(k2 −2k −3)= 0⇒ k = −1;k = 0;k =3
общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
y =C e−x +C +C e3x
общ 1 2 3
частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
y = x(ax+b)e−x
час
y′ =(2ax+b)e−x −(ax2 +bx)e−x =(2ax−ax2 −bx+b)e−x
час
y′′ =(2a−2ax−b+b)e−x −(2ax−ax2 −bx+b)e−x = (2a−2b−4ax+ax2 +bx)e−x
час
y′′′ =(−4a+2ax+b)e−x −(2a−2b−4ax+ax2 +bx)e−x = (−6a+6ax+3b−ax2 −bx)e−x
час
y′′′ −2y′′ −3y′ =(8x−14)e−x
час час час
(−6a+6ax+3b−ax2 −bx)e−x −2(2a−2b−4ax+ax2 +bx)e−x −
−3(2ax−ax2 −bx+b)e−x −(8x−14)e−x = 0
−6a+6ax+3b−bx−2(2a−2b−4ax+bx)−3(2ax−bx+b)−8x+14= 0
(6a−b+8a−2b−6a+3b−8)x−6a+3b−4a+4b−3b+14= 0
⎧14−10a+4b =0 ⎧a =1
(8a−8)x−10a+4b+14= 0⇒ ⎨ ⇒ ⎨
⎩8a−8=0 ⎩b = −1
y =(x2 −x)e−x
час
y = y + y =C e−x +C +C e3x +(x2 − x)e−x
общ час 1 2 3
5_14_26
y′′−4y′+4y =e2x sin4x
характеристическое уравнение
k2 −4k +4⇒ k = 2
1,2
общее решение
y =C e2x +C xe2x
общ 1 2
частное решение
y =e2x (asin4x+bcos4x)
час
y′ =e2x ⋅2(asin4x+bcos4x)+e2x(4acos4x−4bsin4x)=
час
= e2x((2a−4b)sin4x+(4a+2b)cos4x)
y′′ =e2x ⋅2((2a−4b)sin4x+(4a+2b)cos4x)+
час
+e2x ((2a−4b)cos4x⋅4−(4a+2b)sin4x⋅4)=
= e2x((16a−12b)cos4x+(−12a−16b)sin4x)
y′′ −4y′ +4y = e2xsin4x
час час час
e2x ((16a−12b)cos4x+(−12a−16b)sin4x)−
−4e2x((2a−4b)sin4x+(4a+2b)cos4x)+4e2x (asin4x+bcos4x)−e2xsin4x =0
(16a−12b)cos4x+(−12a−16b)sin4x−(8a−16b)sin4x−(16a+8b)cos4x+
+4asin4x+4bcos4x−sin4x =0
(16a−12b−16a−8b+4b)cos4x+(−12a−16b−8a+16b+4a−1)sin4x = 0
⎧−16b =0 ⎧a = −1/16
−16bcos4x+(−16a−1)sin4x = 0⇒ ⎨ ⇒ ⎨
⎩−1−16a =0 ⎩b = 0
e2x ⋅sin4x
y = −
час 16
e2x ⋅sin4x
y = y + y =C e2x +C xe2x −
общ час 1 2 16
5_15_26
y′′+81y =9sin9x+3cos9x+162e9x
характеристическое уравнение
k2 +81=0⇒ k = ±9i
общее решение
y =C sin9x+C cos9x
общ 1 2
частное решение
y = x(acos9x+bsin9x)+c⋅e9x
час
y′ = acos9x+bsin9x+ x(−9asin9x+9bcos9x)+9ce9x
час
y′′ = −9asin9x+9bcos9x−9asin9x+9bcos9x+ x(−81acos8x−81bsin8x)+81ce9x =
час
=81ce9x +18bcos9x−81axcos9x−18asin9x−81bxsin9x
y′′ +81y =9sin9x+3cos9x+162e9x
час час
81ce9x +18bcos9x−81axcos9x−18asin9x−81bxsin9x+
+81(x(acos9x+bsin9x)+c⋅e9x)−(9sin9x+3cos9x+162e9x)=0
⎧162c−162=0 ⎧a = −1/2
⎪ ⎪
e9x(162c−162)+cos9x(18b−3)+sin9x(−9−18a)=0⇒ ⎨18b−3=0 ⇒ ⎨b =1/6
⎪ ⎪
−9−18a =0 c =1
⎩ ⎩
xsin9x xcos9x
y = − +e9x
час 6 2
xsin9x xcos9x
y = y + y =C sin9x+C cos9x+ − +e9x
общ час 1 2 6 2
