Table Of ContentМИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДА РСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СамГУ ПС С А М А Р С К И Й Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й
У Н И В Е Р С И Т Е Т П У Т Е Й С О О Б Щ Е Н И Я
Кафедра высшей математики
В е к т о р н а я а л г е б р а
и аналитическая
геометрия
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВСЕХ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
Часть II
РАЗРАБОТЧИК – Л.В. КАЙДАЛОВА
z
О
y
x
Cамара
2012
1
УДК 519.2
Векторная алгебра и аналитическая геометрия : конспект лекций для студентов
всех форм обучения. Часть 2 / Л. В. Кайдалова. – Самара : СамГУПС, 2012. – 96 с.
Утвержден на заседании кафедры протокол № 4 от 20 декабря 2011 г.
Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.
Конспект лекций по векторной алгебре и аналитической геометрии составлен в соот-
ветствии с ФГОС, с действующей программой по математике для технических и эконо-
мических специальностей и охватывает основные разделы векторной алгебры и аналити-
ческой геометрии.
В пособии приведены задания для самостоятельного выполнения, необходимые для
закрепления материала.
Конспект предназначен для студентов первого курса всех форм обучения.
Ил. 60. Библиогр.: 15 назв.
Составитель Л. В. Кайдалова, к. ф.-м. н., доцент
Рецензенты: д. ф.-м. н., проф. СГУ Г. В. Воскресенская,
д. т. н., доц. СамГУПС О. Е. Лаврусь
© Кайдалова Л.В., 2012
© Самарский государственный университет пу-
тей сообщения, 2012
2
О Г Л А В Л Е Н И Е
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ................................................................................................. 4
1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ........................................................................................................ 5
1.1. Простейшие сведения о векторах .................................................................................. 5
1.2. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Базис и координаты вектора .... 6
1.2.1. Системы координат на плоскости и в пространстве ................................................. 8
1.3. Проекция вектора на вектор. разложение вектора в ортогональном базисе.
Направляющие косинусы вектора ........................................................................................ 8
1.2.2. Задания для самостоятельного выполнения ............................................................. 12
1.4. Скалярное произведение ............................................................................................... 13
1.4.1. Задания для самостоятельного выполнения ........................................................ 16
1.5. Векторное произведение ............................................................................................... 17
1.5.1. Задания для самостоятельного выполнения ........................................................ 20
1.6. Смешанное произведение ............................................................................................. 21
1.6.1. Задания для самостоятельного выполнения ........................................................ 26
2. ПОНЯТИЕ О ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ................................................................. 26
2.1. Линейная независимость системы векторов ............................................................... 28
2.2. Базис и размерность линейного пространства ............................................................ 30
2.3. Аксиоматическое определение скалярного произведения ........................................ 33
2.4. Евклидово пространство ............................................................................................... 35
2.5. Задания для самостоятельного выполнения ................................................................ 38
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ .................................................................................... 38
3.1. Плоскоть и гиперплоскость .......................................................................................... 38
3.1.1. Уравнение плоскости ............................................................................................. 38
3.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку .................................... 40
3.1.3. Частные случаи расположения плоскости относительно системы координат . 42
3.1.4. Взаимное расположение плоскостей .................................................................... 43
3.1.5. Расстояние от точки до плоскости ........................................................................ 45
3.1.6. Уравнение плоскости, проходящей через три точки........................................... 46
3.1.7. Гиперплоскость ...................................................................................................... 47
3.1.8. Задания для самостоятельного выполнения ........................................................ 48
3.2. Прямая линия в пространстве ...................................................................................... 48
3.2.1. Уравнение прямой линии ...................................................................................... 48
3.2.2. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых в
пространстве ..................................................................................................................... 50
3.2.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве ........................... 51
3.2.4. Задания для самостоятельного выполнения ........................................................ 61
3.3. Прямая линия на плоскости .......................................................................................... 62
3.3.1. Уравнение прямой линии ...................................................................................... 62
3.3.2. Общее уравнение прямой ...................................................................................... 63
3.3.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ................................................... 66
3.3.4. Частные случаи расположения прямых ............................................................... 70
3.3.5. Угол между прямыми на плоскости ..................................................................... 70
3.3.6. Расстояние от точки до прямой ............................................................................ 70
3.3.7. Взаимное расположение двух прямых на плоскости .......................................... 71
3.3.8. Задания для самостоятельного выполнения ........................................................ 74
3.4. Кривые второго порядка ............................................................................................... 75
3.4.1. Эллипс ..................................................................................................................... 75
3
3.4.2. Гипербола ............................................................................................................... 76
3.4.3. Парабола ................................................................................................................. 77
3.4.4. Приведение общего уравнения кривых второго порядка к каноническому виду
........................................................................................................................................... 80
3.4.5. Задания для самостоятельного выполнения......................................................... 84
3.5. Поверхности второго порядка ...................................................................................... 86
3.5.1. Эллипсоид ............................................................................................................... 86
3.5.2. Гиперболоиды......................................................................................................... 87
3.5.3. Параболоиды .......................................................................................................... 89
3.5.4. Цилиндрические поверхности ............................................................................... 90
3.5.5. Конус ....................................................................................................................... 92
3.5.6. Задания для самостоятельного выполнения......................................................... 93
Библиографический список ................................................................................................. 95
О С Н О В Н Ы Е О Б О З Н А Ч Е Н И Я
R – множество действительных чисел;
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
∅ – пустое множество;
[a, b] – отрезок (замкнутый промежуток) с началом а и концом b;
[a, b) – полуинтервал (полуоткрытый промежуток) с началом а и концом b;
(a, b) – интервал (открытый промежуток) с началом а и концом b;
∈ – знак принадлежности;
∉ – «не принадлежит»;
:, | – «такое, что…»;
⇒ – знак логического следования;
⇔ – знак равносильности (эквивалентности);
∧ – операция конъюнкции (логическое умножение), соответствует союзу «и»;
∨ – операция дизъюнкции (логическое сложение), соответствует союзу «или»;
∀ – квантор общности (читается: «для всех», «для каждого»);
∃ – квантор существования (читается: «существует»);
⊥ – перпендикулярно;
⎜⎜ – параллельно;
|x| – модуль числа, вектора;
||x|| – норма числа, вектора;
Σ – символ суммы;
П – символ произведения;
def – «по определению»;
i = 1,n – i изменяется от 1 до n с шагом равным 1.
4
1 . В Е К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А
При изучении различных разделов физики, механики, технических наук встречаются
величины, которые полностью определяются численными значениями. Такие величины
называются скалярным. Скалярными величинами являются, например, длина, объем, мас-
са, температура, плотность. Помимо скалярных величин, в различных задачах встречают-
ся величины, для определения которых, кроме численных значений, необходимо знать
так же их направления в пространстве. Такие величины называются векторными. Век-
торные величины изображаются в виде векторов.
Понятие вектора математики широко использовали с XVI века. Вектор – математиче-
ская абстракция объектов, характеризующихся величиной и направлением (таких, как
скорость, ускорение, перемещение, сила, напряженность электрического тока).
В данном разделе мы рассмотрим линейные операции над векторами: сложение и вы-
читание векторов, умножение векторов на скаляр, убедимся, что по отношению к этим
операциям векторы образуют векторную алгебру.
1 . 1 . П Р О С Т Е Й Ш И Е С В Е Д Е Н И Я О В Е К -
Т О Р А Х
Выберем в пространстве две упорядоченные точки
А и В (рис. 1). Соответствующий направленный отре- AB
зок AB называется вектором. Точка А называется B
началом, точка В – концом вектора AB. Обозначаются A
Р и с. 1
векторы также малыми буквами со стрелками или вы-
деленными жирным шрифтом: a,b , a, b и т. д.
Если начало и конец вектора совпадают, получаем нулевой вектор θ. На-
правление нулевого вектора по определению является произвольным.
Расстояние между точками А и В называется модулем вектора AB. Для мо-
дуля вектора используются следующие обозначения:
AB, a,a.
Вектор a называется единичным вектором, если а = 1.
Несколько векторов называются коллинеарными, если все они расположены
на прямых, параллельных одной и той же прямой. Если векторы a и b колли-
неарны, то записывают a b.
Несколько векторов называются компланарными, если существует плоскость,
параллельная всем прямым, на которых эти векторы расположены.
Понятие компланарности имеет смысл рассматривать не менее, чем для трех
векторов.
Для всякого a векторы a , θ – коллинеарны, а для всяких a,b векторы
a,b , θ – компланарны (по определению).
5
Два вектора a и b называются равными, если они имеют равные модули и
сонаправлены.
1 . 2 . С Л О Ж Е Н И Е В Е К Т О Р О В . У М Н О -
Ж Е Н И Е В Е К Т О Р А Н А Ч И С Л О . Б А З И С 1
И К О О Р Д И Н А Т Ы В Е К Т О Р А
Сумма векторов определяется по правилу параллелограмма или по правилу
треугольника (рис. 2, 3). Эти правила возникли из правила сложения сил, скоро-
стей и др. величин, рассматриваемых в физике.
Суммой a+b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора
a в конец вектора b , если начало вектора b совпадает с концом вектора a .
a+b
a+b
b
b
a
a
Р и с. 3
Р и с. 2
Произведением вектора на действительное число называется вектор, опре-
деляемый следующим образом:
(cid:99) λa = λa,
(cid:100) вектор λa сонаправлен с a при λ > 0 и противонаправлен при λ < 0
(0⋅a =θ).
Таким образом, вектор a при умножении на λ > 0 «вытягивается» в λ раз
вдоль прямой, на которой он расположен, а при умножении на λ < 0 «вытягива-
ется» в λ раз и изменяет свое направление на противоположное.
2 Пр имер . Построить вектор –2a по данному вектору a .
Р е шен ие . Очевидно, |–2a | = 2|a |, т. е. вектор –2a
a имеет длину вдвое больше, чем вектор a . Так как здесь λ = –
–2a 2 < 0, то вектор –2a противоположно направлен вектору a .
v
def
Вектор (–1) b =−b называется противоположным по
отношению к вектору b . Очевидно, что
b +(−b)=θ.
Выражение
1 Basis – основание (греч.)
6
def
a+(−b) = a−b
называется разностью векторов.
Разность векторов можно найти по правилу, изо-
браженному на рис. 4, (обратите внимание на то, как
b a−b
направлен вектор a−b ).
Относительно введенных действий сложения век-
торов и умножения вектора на число справедливы a
обычные законы алгебры действительных чисел. На-
Р и с. 4
пример,
(cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71)
a+b =b+a, (коммутативность)
(cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71)
a+(b+c)=(a+b)+c, (ассоциативность),
(cid:71) (cid:71)
(λμ)a=λ(μa),(λ,μ∈R) (ассоциативность) и т. д.
Применяя введенные операции, можно составлять суммы векторов, умно-
женных на числа:
(cid:71) (cid:71) (cid:71) n (cid:71)
λ1a1+λ2a2+…+λnan =∑λiai,λi∈R.
i=1
Выражения такого вида называются линейными комбинациями векторов.
Линейные комбинации векторов обладают следующими очевидными свой-
ствами:
(cid:99) если a ,a ,…,a – коллинеарные векторы, то любая их линейная комби-
1 2 n
нация им коллинеарна;
(cid:100) если a ,a ,…,a – компланарные векторы, то любая их линейная комби-
1 2 n
нация им компланарна.
Рассмотрим векторное равенство
λ а+λ b =0. (1)
1 2
Оно очевидно справедливо, если λ = 0 и λ = 0.
1 2
Но это равенство может быть верным и при λ или λ не равных нулю, на-
1 2
пример, a−2b =0, если a =2b , так как 2b−2b =0.
Если равенство (1) справедливо только при λ = 0 и λ = 0, то векторы а и b
1 2
называются линейно независимыми.
Если же равенство (1) справедливо при хотя бы одном λ или λ не равным
1 2
нулю, то векторы а и b называются линейно зависимыми.
Действительно, если, например
λ
λ ≠ 0, то λ a=−λ b или a=− 2b .
1 1 2 λ
1
Это равенство и выражает линейную зависимость а и b (коллинеарность!).
7
Если же а и b линейно независимы, то они неколлинеарны.
Если некоторый вектор представлен в виде линейной комбинации каких-либо
векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.
Базисом в пространстве называют любые три упорядоченных некомпланар-
ных вектора. При этом любой вектор пространства является их линейной комби-
нацией.
Базисом на плоскости называют любые два упорядоченных неколлинеарных
вектора. При этом каждый третий вектор плоскости является линейной комби-
нацией базисных векторов.
Базисом на прямой называют любой ненулевой вектор на этой прямой.
(cid:71) (cid:71) (cid:71)
Если (e ,e ,e ) – базис в пространстве, то любой вектор
1 2 3
(cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71)
a=λ e +λ e +λ e ,
1 1 2 2 3 3
при этом числа λ ,λ ,λ называются координатами вектора a в базисе
1 2 3
(cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71)
(e ,e ,e ). Записывают a=(λ ,λ ,λ ). Координаты вектора a изменяются при
1 2 3 1 2 3
изменении базиса.
Аналогично на плоскости
(cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71)
a=λ e +λ e ⇒a=(λ ,λ ).
1 1 2 2 1 2
1 . 2 . 1 . Системы коорди нат на плоскости и в
пространстве
Аффинная система координат
Аффинной системой координат называется совокупность из точки – начала
координат, и базиса.
Неаффинная система координат:
Не аффинной системой координат является полярная (цилиндрическая, сфе-
рическая) система координат.
Декартова2 система координат:
Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная де-
картова система координат.
1 . 3 . П Р О Е К Ц И Я В Е К Т О Р А Н А В Е К -
Т О Р . Р А З Л О Ж Е Н И Е В Е К Т О Р А В О Р Т О -
Г О Н А Л Ь Н О М Б А З И С Е . Н А П Р А В Л Я Ю -
Щ И Е К О С И Н У С Ы В Е К Т О Р А
Проекцией вектора a на вектор b называется число
np a = a cosϕ ,
b
где ϕ – угол между векторами a и b (рис. 5).
2 Декарт Рене (1598-1650) – философ, математик, физик, национальная гор-
дость Франции.
8
Выберем в пространстве точку О и возьмем упорядоченную тройку ортого-
нальных единичных векторов (i,j,k ) – базис в пространстве.
a
a np a<0
b
np a>0
b
ϕ ϕ
b b
np a np a
b b
Р и с. 5
Совокупность точки О и базиса (i,j,k ) называется ортогональной декарто-
вой системой координат. При этом принята следующая терминология: О – на-
чало координат; прямые, проходящие через начало в направлении базисных
векторов – оси координат; плоскости, проходящие через оси координат – ко-
ординатные плоскости.
На рис. 6, а показана правая система координат, на рис. 6, б – левая система
координат.
z z
(cid:71) (cid:71)
k k
(cid:71) (cid:71)
j i
О y О x
(cid:71) (cid:71)
x i y j
a б
Р и с. 6
В дальнейшем рассматривается только правая система координат (формулы в
левой системе координат аналогичны).
Если в пространстве выбрать произвольную точку М, то ей можно поставить
в соответствие упорядоченную тройку чисел – координаты радиус-вектора OM ,
которые называют и координатами точки М. Очевидно, в заданной системе ко-
ординат координаты вектора и точки определяются однозначно.
Координатами вектора относительно ортогональной декартовой системы ко-
ординат являются его проекции на координатные оси. Обозначим координаты
вектора a через a ,a ,a .
x y z
Тогда (см. рис. 7)
9
⎧a =acosα,
x
⎪
⎨ay =acosβ, (1)
⎪⎩az =acosγ.
Здесь α,β, γ – углы, образованные вектором a с координатными осями
Ox,Oy и Oz соответственно.
Очевидно, что модуль вектора выражается через его координаты согласно
формуле
a= ax2+a2y +az2. (2)
z
(cid:71)
a k
z
(cid:71) М
k а
γ (cid:71)
a j
β y
О (cid:71)
(cid:71)
i α j y
(cid:71)
a i
x
x Р и с. 7
Величины cosα,cosβ,cosγ называются направляющими косинусами вектора.
Из (1) имеем
a a a
cosα= x ,cosβ= y ,cosγ= z , (3)
a a a
где a выражается через координаты согласно (2).
Возводя равенства (3) в квадрат и складывая, получаем с учетом (2) важное
свойство направляющих косинусов
cos2α+cos2β+cos2γ=1. (4)
(cid:71)
Из (4) следует, что вектор a с координатами cosα,cosβ,cosγ является еди-
0
ничным (он сонаправлен с вектором a ). Иногда единичный вектор называют
ортом.
Поскольку вектор a можно представить в виде
(cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71)
a=a i +a j+a k,
x y z
то
(cid:71) a (cid:71) a (cid:71) a (cid:71)
a0 = ax i + ay j+ az k.
10
