Колебания маятников. МК-2, МК-3, МК-4. Практикум

43 Pages·2022·1.372 MB·Russian

by  Овчинникова И. В., Чен Т. Т., Родионова Е. В.

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МИРЭА ‐ Российский технологический университет»
(РТУ МИРЭА)
Овчинникова И.В., Чен Т.Т., Родионова Е.В.
Колебания маятников. МК-2, МК-3, МК-4
Практикум
Москва 2022
УДК 534.01
ББК 22.2
О35
Овчинникова И.В. Колебания маятников. МК-2, МК-3, МК-4 [Электронный ресурс]:
Практикум / Овчинникова И.В., Чен Т.Т., Родионова Е.В. – М.: МИРЭА – Российский
технологический университет, 2022 — 1 электрон. опт. диск (CD-ROM)
В лабораторном практикуме изложены теоретические основы лабораторных работ,
посвященных изучению колебаний различного типа маятников, даны методические указания
по проведению измерений и обработке их результатов. Практикум предназначен для
студентов, обучающихся по направлениям: химия 04.03.01, химическая технология 18.03.01,
биотехнология 19.03.01, техносферная безопасность 20.03.01. Данные лабораторные работы
выполняются при изучении курса «Механика» на кафедре «Физика и техническая механика»
Института тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова.
Авторский коллектив: Овчинникова Ирина Викторовна, Чен Тэсик Танович, Родионова
Елена Викторовна
Рецензент:
Ковалева Людмила Александровна, кандидат технических наук, доцент, кафедра химии и
технологии переработки эластомеров им. Ф.Ф. Кошелева ИТХТ им. М.В. Ломоносова
РТУ МИРЭА
Системные требования:
Наличие операционной системы Windows, поддерживаемой производителем.
Наличие свободного места в оперативной памяти не менее 128 Мб.
Наличие свободного места в памяти постоянного хранения (на жестком диске) не менее 30 Мб.
Наличие интерфейса ввода информации.
Дополнительные программные средства: программа для чтения pdf-файлов (Adobe Reader).
Подписано к использованию по решению Редакционно-издательского совета
МИРЭА — Российский технологический университет.
Обьем: 1.88 мб
Тираж: 10

© Овчинникова И.В., Чен Т.Т.,
Родионова Е.В., 2022
© МИРЭА – Российский
технологический университет, 2022
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 4
1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА МК-2. ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА .................................................................................. 5
2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА МК-3. ОБОРОТНЫЙ МАЯТНИК ..................... 20
3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА МК-4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ МЕТОДОМ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА ....................... 28
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ......................................................................................... 42
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ..................................................................................... 43

3
ВВЕДЕНИЕ

Изучение колебательного движения проводится на кафедре физики ИТХТ
РТУ-МИРЭА в рамках дисциплины «Физика». Знание основных
закономерностей колебательного движения – основа для понимания многих
специальных дисциплин, входящих в учебные планы студентов – химиков. Так,
исследование колебательных и колебательно-вращательных спектров
применяется для изучения строения и свойств молекул и кристаллов.
В настоящем практикуме приведена краткая теория и методические
указания по выполнению лабораторных работ, посвященных изучению
различных типов маятников [1-4]. Это пособие является логическим
продолжением лабораторного практикума [5]. Изучение колебаний физического
маятника в виде однородного тонкого стержня, оборотного маятника,
наклонного маятника дает возможность практически ознакомиться с основными
кинематическими, динамическими и энергетическими законами колебательного
движения, получить их экспериментальное подтверждение, совершенствовать
навыки работы с приборами физической лаборатории, статистической и
графической обработки результатов экспериментов.

4
1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА МК-2.
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

1.1. Цель работы
Изучение гармонических колебаний физического маятника в виде
однородного тонкого стержня.
1.2. Теоретические основы работы
1.2.1. Гармонические колебания
Колебания – это движения, характеризующиеся их повторяемостью.
Период колебаний Т – это наименьший промежуток времени, по истечении
которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих
колебательное движение.
Частотой колебаний  называется число колебаний в единицу времени.
1
 . (1.2.1)
T
Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся
величина x изменяется с течением времени t по закону синуса или косинуса:
 
x  Acos t  (1.2.2)
0
или
 
x Asin t  . (1.2.3)
0
Здесь А– амплитуда колебаний, равная максимальному значению колеблющейся
 
величины х; ω – круговая (или циклическая) частота колебаний; t  – фаза
0 0
колебаний; – начальная фаза колебаний (фаза в момент времени t 0).
Поскольку период синуса и косинуса равен 2, то Т= 2, откуда
0
2
   2. (1.2.4)
0
T
Пусть х изменяется, например, по закону синуса (1.2.3), тогда
dx  
 A cos  t  (1.2.5)
0 0
dt
2
d x 2   2
A sin t   x (1.2.6)
2 0 0 0
dt
Из (1.2.6) получаем
5
2
d x 2
 x 0. (1.2.7)
2 0
dt
Уравнение (1.2.7) называется дифференциальным уравнением
гармонических колебаний. Его решением являются функции (1.2.2), (1.2.3).
1.2.2. Некоторые положения теории динамики вращательного движения
твердого тела
Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется
физическая величина, равная векторному произведению радиуса-вектора r ,
проведенного из точки О в точку приложения силы, на силу F :
M  r,F (1.2.8)
 
Здесь квадратные скобки означают, векторное произведение r и F .
Направление вектора M определяется по правилу правого винта (буравчика):
если правый винт (буравчик) вращать от r к F , то направление его
поступательного движения совпадает с направлением вектора M . Если вектора
r и F располагаются так, как на рис. 1, то буравчик будем вращать по часовой
стрелке, при этом буравчик движется «от нас», соответственно, вектор M также
направлен «от нас», что показано крестиком на рисунке. Напомним, что вектор,
идущий «к нам», изображается точкой (острие летящей к нам нас стрелы), а
вектор, идущий «от нас», изображается крестиком (оперение летящей от нас
стрелы)
Модуль момента силы, по правилу векторного умножения, равен
M  Frsin Fl, (1.2.9)
где — угол между r и F ; r  r , F  F , r∙sin = l — кратчайшее расстояние
между линией действия силы и точкой О — плечо силы относительно точки О
(рис.1).

Рисунок 1. Момент силы относительно точки
6
Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная
величина M , равная проекции вектора M момента силы относительно
z
произвольной точки О, лежащей на данной оси, на эту ось.
Моментом инерции тела относительно оси называется физическая
величина, равная сумме произведений масс всех частиц этого тела на квадраты
их расстояний до данной оси (рис. 2)
2
J m r . (1.2.10)
i i
i

Рисунок 2. К определению момента инерции тела

В случае непрерывного распределения массы вместо суммы имеем интеграл
по всему телу
J  r2dm . (1.2.11)
Вычислим момент инерции однородного тонкого стержня массой m и
длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его
центр масс.
Выделим на расстоянии х от оси элемент стержня длиной dx (рис. 3).
Составим пропорцию: масса данного элемента dm относится к массе всего
стержня, как длина данного элемента dx относится к длине всего стержня:
dm dx m
 , тогда dm  dx. По определению момента инерции, момент инерции
m l l
элемента dm относительно оси z, проходящей через центр масс (середину)
m
стержня, равен dJ  x2dm  x2 dx. Проинтегрируем по всему стержню:
l
7
l l l
2 2 3 2 3 2
m m m x m l ml
2 2
J   x dx  2  x dx  2  2  . (1.2.12)
c
l l l 3 l 38 12
l 0 0
2

Рисунок 3. К определению момента инерции стержня относительно оси, проходящей
через центр масс

Справедлива теорема Гюйгенса−Штейнера: момент инерции тела J
относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции J этого тела
c
относительно параллельной оси z , проходящей через центр масс С тела, и
C
произведения массы т тела на квадрат расстояния d между осями (рис. 4):
2
J  J md . (1.2.13)
с

Рисунок 4. К теореме Гюйгенса−Штейнера

Для стержня момент инерции относительно оси z, перпендикулярной
стержню и проходящей на расстоянии d от центра масс (рис. 5), в соответствии с
(1.2.12) и (1.2.13), равен:
2
ml
2
J  md . (1.2.14)
12
8
Рисунок 5. К определению момента инерции стержня относительно оси z

Угловой скоростью вращающегося тела называется вектор
d
 , (1.2.15)
dt
где d − вектор бесконечно малого угла поворота, совершенного за время dt.
Направление векторов d и  связано с направлением вращения правилом
буравчика (рис. 6).

Рисунок 6. Направление векторов d и 
В проекции на ось вращения z выражение (1.2.15) имеет вид
d
  . (1.2.16)
z
dt
Угловым ускорением называется первая производная угловой скорости по
времени:
d
 . (1.2.17)
dt
Если ось вращения неподвижна, то вектора угловой скорости и углового
ускорения параллельны друг другу и оси вращения. В этом случае в проекции на
ось вращения z выражение (1.2.17) можно записать как
9
2
d d 
  z  . (1.2.18)
z dt dt2
Основной закон динамики вращательного движения твердого тела имеет
вид
J   M . (1.2.19)
z z
Здесь M – момент действующих на тело сил относительно неподвижной оси
z
вращения z,  – угловое ускорение в проекции на ось z, J – момент инерции тела
z
относительно оси z.

1.2.3. Вывод выражения для периода колебаний физического маятника
Физическим маятником называется твердое тело, совершающее колебания
под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не
проходящей через центр масс С.
Рассмотрим некоторый физический маятник (рис. 7). Пусть он может
совершать колебания относительно горизонтальной оси z, перпендикулярной
плоскости рисунка. С – центр масс маятника.
Точку О на оси z выберем так, что отрезок ОС перпендикулярен оси z.
Положение маятника в любой момент времени t можно характеризовать углом
отклонения от положения равновесия .
Выберем направление оси вращения z: «к нам»; при этом будем считать
 0 при отклонении маятника вправо. Тогда направление оси вращения
связано с направлением вращения, в котором угол  увеличивается, правилом
буравчика.

Рисунок 7. Физический маятник

Момент силы тяжести относительно точки О, в соответствии с (1.2.9), равен
по модулю:
M mgd sin. (1.2.20)
10