Table Of ContentМинистерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики № 1
У
Т
Н
Б
МАТЕМАТШСА
й
Сборник заданий
для аудиторной и самостоятельной риаботы студентов
инженерно-технических специальностей втузов
р
В 2 частях
о
тЧасть 1
и
з
о
п
е
Р
Минск 2005
УДК 512.64
В сборнике заданий для аудиторной и самостоятельной работы
студентов приведены задачи и упражнения по основным разделам
высшей математики в соответствии с действующей программой. В
У
качестве основных рассматриваются 18 практических занятий для
каждого из четырех семестров. К задачам, предназначенным для
Т
самостоятельной работы, предлагаются ответы, что поможет сту-
денту сделать контроль правильности решаемых примеров.
Н
Приведены варианты типовых расчетов, являющихся обязатель-
ным элементом учебных программ соответствующих специальностей
БИТУ. Б
Издание является дополнением к существующим задачникам, бу-
дет полезным для студентов как дневной, так и заочной форм обуче-
ния и послужит лучшей организации их самйостоятельной работы.
и
р
о
т
Составители:
и
А.Н. Андриянчик, Н.А. Микулик, Л.А. Раевская,
Н.Из. Чепелев, Т.И. Чепелева, Е.А. Федосик,
В.И. Юринок, Т.е. Яцкевич
о
п
Рецензенты:
е В.И. Каскевич, В.А. Нифагин
Р
© А.Н. Андриянчик, Н.А. Микулик,
Л.А. Раевская и др.,
составление, 2005
С О Д Е Р Ж А Н ИЕ
I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 6 У
Занятие 1. Декартова и полярная системы координат.
Построение графиков 6
Т
Занятие 2. Действия над матрицами. Вычисление
определителей 7
Н
Занятие 3. Обратная матрица. Решение невырожденных
систем матричным методом 12
Занятие 4. Формулы Крамера. Ранг матрицы Б 14
Занятие 5. Решение произвольных и однородных систем . 1 6
Занятие 6. Векторы. Линейные операции над векторами.
Скалярное произведение векторов 18
й
Занятие 7. Векторное и смешанное произведение
векторов и ..20
Занятие 8. Прямая на плоскости ........ 21
Занятие 9. Прямая и плоскость в прространстве 2 3
Занятие 10. Кривые 2-го порядка на плоскости.
Поверхности 2-гоо порядка 2 5
Занятие 1 1 . Функция. Предел последовательности и
предел функтции 2 8
Занятие 12. Сравнение бесконечно малых функций.
и
Непрерывность функций. Точки разрыва 3 1
Занятие 13. Дифференцирование функций.
з
Логарифмическая производная 3 3
Занятие 14. Доифференцирование функций, заданных
параметрически и неявно.
п Дифференциал функции 3 5
Занятие 1 5, Производные и дифференциалы высших
е порядков 3 7
Занятие 16. Правило Лопиталя-Бернулли.
Р Формула Тейлора ,.39
Занятие 1 7. Монотонность функции. Экстремум.
Наибольшее и наименьшее значения функции . 4 1
Занятие 1 8. Выпуклость и вогнутость графиков функций.
Асимптоты. Построение графиков функций. ... 4 3
Типовой расчет № 1. «Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии» 4 5
3
Типовой расчет № 2. «Предел функции. Производная и ее
применение к исследованию функций и построению графиков». ..59
П. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОБЫКНОВЕН-
НЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .7У6
Занятие 1 . Комплексные числа и действия над ними.
Простейшие приемы интегрирования Т 7 6
Занятие 2. Интегрирование с помощью замены
переменной в неопределенном интеграле. ... 7 8
Н
Занятие 3. Интегрирование по частям в
неопределенном интеграле 8 0
Занятие 4. Интегрирование рациональных Бфункций ,.,.82
Занятие 5. Интегрирование тригонометрических
выражений и простейших иррациональных
функций й .83
Занятие 6. Вычисление определенных интегралов 8 6
Занятие 7. Приложения опредиеленных интегралов 8 7
Занятие 8. Несобственные интегралы 9 0
Занятие 9. Частные произрводные и полный
дифференциал функций нескольких
переменноых. Производные и
дифференциалы высших порядков 9 1
Занятие 10. Проитзводные сложной функций
нескольких переменных. Производная
и
функции,заданной неявно .94
Занятие 11. Касательная плоскость и нормаль к
з
поверхности. Производная по
о направлению. Градиент ..96
Занятие 12. Экстремум функции нескольких
п переменных. Наибольшее и наименьшее
значения функции нескольких переменных
е
в замкнутой области. Условный экстремум. ..98
Занятие 13. Интегрирование дифференциальных
Р
уравнений первого порядка с
разделяющимися переменными и
однородных дифференциальных уравнений
первого порядка 100
Занятие 14. Интегрирование линейных
дифференциальных уравнений и уравнений
Бернулли. Уравнения в полных
дифференциалах 10 1
Занятие 1 5. Дифференциальные уравнения высших
порядков, допускающие понижения
порядка 10 3
Занятие 1 6, Решение линейных однородных
дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Метод У
Лагранжа 10 4
Занятие 1 7. Линейные неоднородные Т
дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами с правой
Н
частью специального вида 10 5
Занятие 1 8. Решение систем дифференциальных
уравнений. Метод исключения Б 106
Типовой расчет № 3. «Неопределенный и определенный
интегралы» 10 7
Типовой расчет № 4. «Обыкновенные дифферейнциальные
уравнения и системы» 1 19
и
р
о
т
и
з
о
п
е
Р
I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
У
З а н я т ие 1
Т
Декартова и полярная системы координат.
Построение графиков
Н
Аудиторная работа
Б
1.1. Построить графики функций:
й
1.1.1. y = 1.1.2.
и 2|;с-1|
0<х<2, р
1.1.3. у =
-х^ -2х, -3<х<0.
о
1.1.4. у = 2х-\х-2\+1.
т
l-cos2x - 1 11
1.1.5. j ^J и^ . 1.1.6. >> = 810 1x1-1.
з 1
1.1.7. >' = logi/2X^+1. 1.1.8. =
о I л 1+1
п
1.2. Построить графики функций, заданных параметрически:
е
1.2.1. x = -\ + 2t, y = 2 - t. 1,2.2. x = t, -А.
Р
1.2.3. x = 2cos^, >^ = 8111/. 1.2.4. x = \-t^, y = t-t^.
1.2.5. x = at^, y = bt\ 1.2.6. x = 2cos^ t, y = t.
1.2.7. Д; = -1 + 2СО8/, >- = 3 + 28111?.
1.2.8. x = 2{t- sin t), y = 2{\- cos t) .
1.3. Записать уравнения кривых в полярных координатах:
1.3Л.у = х. 1.3.2. >' = 1. 133.х^+у^=4.
1.ЪЛ. х ^ = 2у . 1.3.5. х + = 0.
1.3.6. х^--у'^ . У
1.4. Построить графики функций: Т
1.4.1. г=:1. 1.4.2. г = 2ф. 1.4.3. гс08фН = 2.
1.4.4. г = 1.4.5. г = 4со8ф .
Б
1.4.6. г = 3 sin 2ф . 1.4.7. г = 2(1 + cos ф) .
А О
1.4.8. г = - 1.4.9. г =
й
3 + 2со8ф 1 + 8тф
1.4.10. г =2со83ф. 1.4.11.=-Зиб8т2ф.
р
Домашнее задание
о
1.5. Построить следующие кривые:
т
1.5.1. у = \х^ - х - Ц. 1.5.2. у = х + \х + 3\.
и
1.5.3. х-?^+1, y = t. 1.5Л. x = t\ y = t\
з
1.5.5. г =28Шф. 1.5.6. г = 3(1-зтф).
о
1.5.7: г = 4со8 2ф. 1.5.8. г = -— .
п 1 - СОЗф
е
Занятие 2
Р
Действия над матрицами. Вычисление определителей
Аудиторная работа
2.1. Найти 2А + ЗВ-С, если
1 0 -2 1 0^ 4 5
2 1 -3 , В = -3 4 1 -3 2
-4 3 5 -5 6, 18 -6 7
2.2. Найти матрицу X, если У
г~1 Г 1 Т
2- 2 4 2 8
333 Н
кО 5. V-3 9 J
Б
2.3. Даны матрицы А и В . Найти АВ и ВА , если:
2.3.1.
й
1 О 2 2 7 Г
,
А = 0 - 13 и В 3 2 -4
4 0 5 1 -3 5
р
2.3.2.
о
т , О
1 1 0~
иА = в = 3 4
3 - 15
vl 0.
з
2.3.о3.
п ^3^
е А = , В = {5 -2 3).
Р
2.4. Вычислить
f3 0 f~l 1 ^
/
1
2 -1 0 2 -2
-1
.3 0 IJ \ 5 OJ V
2.5. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей А, если
А =
.1 2,
У
2 -Г
2.6. Показать, что матрица А = является корнем много-
3 1.
Т
9
члена /{х) = х -Ъх + 5.
Н
2.7. Решить уравнение
Б
X x + l
= 0.
-4 X + I
й
2.8. Вычислить определители по правилу Саррюса и разлагая по
элементам 1-й строки: и
1 2 3 р 3 4 -5
2.8.1. 4 5 6 о2.8.2. 8 7 -2
7 8 9 2 - 18
т
2.9. Вычислить опредеилители, разлагая по элементам ряда:
2 5 0 з4 2 4 - 12
17 0о 2 - 12 3 1
2.9.1. 2.9.2.
3 8 16 2 5 14
п
4 9 3 8 12 0 3
е
2.10. Вычислить определители методом приведения их к тре-
угоРльному виду:
2 3 4 2 1 - 51
3 3 4 1 -3 О -б
2.10.1. 2.10.2.
1 - 17 4 0 2 - 12
1 - 2 59
1 4 - 76
2.11. Вычислить определители, предварительно упростив их:
7 8 5 5 3
ах 1 10 11 6 7 5
2.11.1. ау 1 2.11,2. 5 3 6 2 5 У
az 1 6 7 5 4 2
Т
7 10 7 5 0
Н
Домашнее задание
Б
2.12. Найти (А + ЗВ) , если
14 7 -2 1 -1
й
А = 2 5 -8 В = 1 О 2
и
-3 6 9 4 - 10
р
2.13. Найти те из произведений АВ,ВА,АС,СА,ВС,СВ, кото-
рые имеют смысл, если о
т 'О 12 0'
-1 Го -1^
А = U и С = - 12 0 0
0 2J
J и
/ 12 10
з
о
2.14. Найти значение многочлена /(А) от матрицы А, если
п 1 О
/(х) = 2х'^ -2х + 7, А =
2 -1
е
Р 2.15. Решить уравнение
д; 1 4
X 2 = 0.
1 1 1
10
