Комплекс заданий по математике для студентов заочной формы обучения. В 2 ч. Ч. 1: пособие

127 Pages·04.352 MB·Russian

by  Черняк, Ж. А.

Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники»
Факультет компьютерных систем и сетей
Кафедра высшей математики

Р

И

У

Г

Б
КОМПЛЕКС ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
а

В двух частях
к

е
Часть 1

т

о
Рекомендовано УМО по образованию
в облиасти информатики и радиоэлектроники
в качестве пособия для
л
специальностей I ступени, закрепленных за УМО
б

и

Б

Минск БГУИР 2016
УДК 517(076)
ББК 22.1я73
К63

Авторы:

Ж. А. Черняк, Н. В. Князюк, Л. А. Фомичева, Р
Т. С. Мардвилко, Т. С. Автушко
И

Рецензенты: У

Г
кафедра теории функций Белорусского государственного университета
(протокол №11 от 06.05.2015);
Б

доцент кафедры математики и методики препода вания математики учреждения
образования «Белорусский государственныйа педагогический университет
им. М. Танка», кандидат физико-математических наук, доцент
к
С. А. Богданович
е

т

Комплекс заданий по математике для студентов заочной формы
К63 обучения. В 2 ч. Ч. 1 о: пособие / Ж. А. Черняк [и др.].  Минск : БГУИР,
2016.  151 с. : ил.
и
ISBN 978-985-543-177-1 (ч. 1).
л
Приводятся тщательно сбалансированные наборы заданий для аудиторных
б
занятий, самостоятельной подготовки к экзаменам, задачи с подробными решениями
по следующим разделам математики: линейная алгебра, аналитическая геометрия и
и
векторная алгебра, введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление
функции одной переменной. Пособие включает в себя приложения с формулами,
Б
графиками и иллюстрациями, а также варианты тестовых контрольных работ.

УДК 517(076)
ББК 22.1я73

ISBN 978-985-543-177-1 (ч. 1) © УО «Белорусский государственный
ISBN 978-985-543-176-4 университет информатики
и радиоэлектроники», 2016
Содержание

Введение ……………………………………………………………..……….….… 4
1. Линейная алгебра …………………………………..………..……………....… 5
1.1. Задачи для аудиторных занятий …………………………………...……….… 5
1.2. Образцы решения задач …………………………………………………......... 8
1.3. Задачи для самоподготовки ………………………………………..……..…. 18
2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра ..……………………...… 23
2.1. Задачи для аудиторных занятий …………………………….…………….… 23
Р
2.2. Образцы решения задач …………………………………………………....... 26
2.3. Задачи для самоподготовки ………………………………………....….....… 32
И
2.4. Тестовая контрольная работа по теме «Линейная алгебра
и аналитическая геометрия» .......................................................................… 38
У
3. Введение в анализ ..…………………………………..……………………..… 45
3.1. Задачи для аудиторных занятий ………………………………….……….… 45
Г
3.2. Образцы решения задач …………………………………………………....... 47
3.3. Задачи для самоподготовки ………………………Б………………..……...… 50
3.4. Тестовая контрольная работа по теме «Введение в анализ» ………....…… 52

4. Дифференциальное исчисление ..………………………………….…..….… 60
а
4.1. Задачи для аудиторных занятий …………………………….…………….… 60
4.2. Образцы решения задач ………………к……………………….…………...... 64
4.3. Задачи для самоподготовки ………………………………………..……...… 94
е
4.4. Тестовая контрольная работа по теме
«Дифференциальное исчислтение»………………………………………….104
5. Интегральное исчисление функции одной переменной ..……..….….… 111
5.1. Задачи для аудиторных занятий …………………………………....……… 111
о
5.2. Образцы решения задач ……………………………………………...…...... 113
5.3. Задачи для самопоидготовки …………………………………..……..…...… 126
5.4. Тестовая контрольная работа по теме «Интегральное исчисление
л
функции одной переменной» …………………………………………...…. 130
Приложенияб…………………………………………...………………………… 137
1. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций ……………………... 137
и
2. Замечательные пределы …………………………………..........................….. 137
3. Виды уравнения прямой на плоскости …………………………………...…..138
Б
4. Виды уравнения плоскости ………………………………………….....……..140
5. Виды уравнения прямой в пространстве …………….……………………....141
6. Графики основных элементарных функций ……………………………..…. 142
7. Поверхности второго порядка ………………………..………………...……. 144
8. Таблица основных интегралов ………………………..………………..……. 146
9. Формулы, используемые при интегрировании ………………………..……. 147
10. Приложения определенного интеграла …………………...………….……. 148
Литература …………………………………………..………………………..… 150
ВВЕДЕНИЕ
Пособие состоит из четырех разделов: линейная алгебра, аналитическая
геометрия и векторная алгебра, введение в анализ, дифференциальное и
интегральное исчисление функции одной переменной, что соответствует
учебной программе по математике для первого курса Белорусского
государственного университета информатики и радиоэлектроники (факультет
заочного обучения). В начале каждого раздела приводится список умений,
необходимых для сдачи экзамена в рамках этой темы. Далее представлены
Р
тщательно отобранные наборы заданий с ответами для аудиторных занятий
(в установочную и экзаменационную сессии). Для самостоятельной подготовки
И
к экзаменам в период между сессиями предлагается большое количество задач
с ответами. Для помощи в решении этих задач предназначается обширный круг
У
заданий с решениями, сопровождающимися подробными комментариями.
Пособие содержит также приложения, включающие формулы, правила,
Г
формулировки теорем, графики и иллюстрации. В конце каждого раздела
приводятся варианты тестовых контрольных раБбот, подводящие итог
изученному в этом разделе материалу.
Представленное пособие может послужит ь эффективным помощником
а
студенту заочной формы обучения благодаря доступности и подробности
изложения, большому количеству технически нетрудоемких заданий и наличию
к
наглядного справочного материала.
е
Тщательно продуманные, хорошо сбалансированные наборы задач для
аудиторной работы и тестовых контрольных заданий помогут преподавателю
т
качественно провести занятия и контроль знаний студентов в период
экзаменационной сессии.
о
Пособие рекомендуется для студентов инженерно-технических
специальностей вузов заочной формы обучения и преподавателей высшей
и
математики.
л
б
и
Б
1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В результате изучения данной темы студент должен научиться:
– вычислять определители (по правилу Саррюса; разлагая определитель
по элементам какой-либо строки (столбца));
– выполнять операции над матрицами (сложение, вычитание, умножение
на число, транспонирование, произведение матриц);
– находить матрицу, обратную данной;
– решать матричные уравнения;
Р
– находить ранг матрицы;
– проверять совместность систем линейных алгебраических уравнений;
И
– решать системы линейных уравнений методом Гаусса и по формулам
Крамера;
У
– находить собственные значения и собственные векторы матрицы;
– приводить квадратичную форму к каноническому виду.
Г
1.1. ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Б
 0 2 4  0 5 10

1. Даны матрицы A  и B  . Найдите:
   
6 4 0 а 15 10 0
   
T T
1) A B; 2) 2B5A; 3) 3A 2B . к
 1 2 1 0 1 4
е
   
2. Даны матрицы A   3 4 5 и B  2 1 0. Найдите:
т
   
1 2 0 3 5 7
   
1 T
1) A, B ; 2) A  AB .
о
1 2  2 0 0 4
3. Даны матрицыи A   , B    и C   . Найдите те из
     
1 1 1 3 4 2
     
л
произведений AB, BA, AC, CA, BC, CB, которые имеют смысл.
4. Решибте матричные уравнения:
1 1  2 0 1 1  2 0
1) и  X   ; 2) X     .
       
0 1 1 3 0 1 1 3
       
Б  
5. Найдите значение матричного многочлена f A , если:
 0 3
  2
1) f x  x 2x1, A  ;
 
1 2
 
 1 2 0
 
  2
2) f x  3x 5x2, A   0 2 1.
 
2 1 4
 
6. Найдите ранг матрицы А методом элементарных преобразований, если:
3 1 3 2 5
1 2 3 0 1 2 4 3   
    5 3 2 3 4
1) A  0 1 1 1; 2) A  3 5 6 4 ; 3) A  .
 
1 3 5 0 7
   
1 3 4 1 3 8 2 19  
     
7 5 1 4 1
 
7. Исследуйте системы уравнений на совместность и, в случае
совместности, решите их: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
x 2x 3x 3, 2x 4x 3x  2, 4x 3x  x 3,
1 2 3 1 2 3 1 2 3
  
1) 3x  x 2x  7, 2) x 5x  x 3, 3) x  x  x  4, Р
1 2 3 1 2 3 1 2 3
  
2x 3x  x  2; 3x  x 3x  7; 3x 4x 2x  2.
  
1 2 3 1 2 3 1 2 И3
8. Решите системы уравнений методом Гаусса:
2x 5x 8x 8, У
1 2 3

x  x  x 3, 4x 3x 9x 9,
1 2 3 1 2 3
1)  2)  Г
2x 2x 2x  6; 2x 3x 5x  7,
 1 2 3  1 2 3
Б
x 8x 7x 12.

1 2 3
9. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений

однородной системы линейных уравнений: а
2x  x 2x  0,
1 2 3 к

3x 2x 3x  0,
1 2 3 е

5x  x  x  0.

1 2 3
т
10. Найдите собственные значения и собственные векторы матриц:
0 1 2
5 6 о 
1) A   ; 2) A  4 0 1.
6 0
  и  
3 1 1
 
11. Запишите млатрицы квадратичных форм:
  2 2
1) Q x ,x  2x 3x 5x x ;
1 2б 1 2 1 2
  2 2 2
2) Q x ,x ,x  x 4x x 4x x 5x 12x x 7x .
1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3
и
12. Приведите данные квадратичные формы к каноническому виду с
помощью метода Лагранжа (выделение полных квадратов):
Б
  2 2
1) Q x ,x  4x 4x x 5x ;
1 2 1 1 2 2
  2 2 2
2) Q x ,x ,x  x x  x x  x  x  x .
1 2 3 1 2 2 3 1 2 3
Ответы
 0 48
 0 7 14 0 0 0  
1. 1)  ; 2)  ; 3) 16 32.
21 14 0 0 0 0
     
32 0
 
 7 0,2 19,4
 
2. 1) A  10, B 38; 2) 24,5 1,9 64,2.
 
 1 3,6 7,2 Р
0 6 8 8
3. AB   , AC   . И
1 3 4 6
   
3 3 2 2
У
4. 1) X  ; 2) X   .
   
1 3 1 2
   
Г
 0 8 6
4 0  
Б
5. 1)  ; 2)  6 1 13.
0 4
   
20 1 27
 
6. 1) rangA 2; 2) rangA3; 3) rangаA3.
7. 1) x  2, x  1, x 1; 2) x  4, x 1, x  2; 3) система
1 2 3 к1 2 3
несовместна.
е
 
8. 1) 3c c ;c ;c , где c ,c – произвольные действительные числа;
1 2 1 2 1 2
2) x 3, x  2, x 1. т
1 2 3
9. Общее решение: x  c, x 12c, x 7c, где с – произвольное
1 2 3
о T
действительное число, ФСР: 1;12;7 .
и  2  3
10. 1) СЗ:   4, 9, СВ: x   ,x   ;
1 2 1   2  
3 2
л    
1  1  7
б      
2) СЗ:   3, 1, 3, СВ: x   1, x  3, x  11.
1 2 3 1 2 3
и      
1 1 5
     
Б 1 2 2
 2 2,5  
11. 1)  ; 2) 2 5 6.
2,5 3
   
2 6 7
 
1
  2 2
12. 1) Q y , y  4y 4y , где y  x  x , y  x ;
1 2 1 2 1 1 2 2 2
2
3 2 1 2
  2 2 2
2) Q y , y , y  y  y  y , где y  x  x , y  x  x , y  x .
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3
4 3 2 3
1.2. ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
 3 1 2 0 1 2
   
1. Даны матрицы A  1 0 2 и B  2 1 1. Найдите:
   
1 2 1 3 7 1
   
T 2 1
1) 3A2B; 2) A  B 2E; 3) AB BA; 4) A ; 5) A .

Решение:
Р
1) найдем матрицы 3A и 2B, умножая каждый элемент матрицы А на 3 и
каждый элемент матрицы В на 2:
И
 9 3 6 0 2 4
   
3A  3 0 6, 2B  4 2 2. У
   
3 6 3 6 14 2
   
Г
Вычислим разность 3A2B, вычитая из каждого элемента матрицы 3A
соответствующий элемент матрицы 2B: Б
 
 90 3 2 64  9 5 2
   
3A2B 34 02 627а2 4;
   
36 614 32 3 8 1
  к 
T
2) найдем транспонированную матрицу A , которая получается из
е
матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером:
T т
 3 1 2 3 1 1
   
T
A  1 0 2  1 0 2.
о
   
1 2 1 2 2 1
   
и
0 1 2 0 1 2 c c c 
11 12 13
     
Вычислим B2л BB 2 1 12 1 1 C c c c ,
33 21 22 23
     
3 7 1 3 7 1 c c c
б      
31 32 33
где
и
 
c 0Б0 1 2234, c 2012135, c 30721317,
11 21 31
       
c 0 1  1 12713, c 2 1 11176, c 3 1 711711,
12 22 32
 
c 02 1 1211, c 2211116, c 32711114.
13 23 33
 4 13 1 
 
2
Получаем B  5 6 6 .
 
17 11 14
 
Находим
3 1 1  4 13 1  2 0 0
     
T 2
A  B 2E  1 0 2 5 6 6 0 2 0 
     
2 2 1 17 11 14 0 0 2
     
 3 42 1130 110   5 12 2 
   
 150 062 260 6 4 8 ;
   
2170 2110 1142 19 13 13
   
3) вычислим
Р
 3 1 2 0 1 2
   
AB  1 0 22 1 1  И
   
1 2 1 3 7 1
   
  У
 3012 23 3 1 11 27 3211 21  8 12 9
   
   
1002 23 1 1 0 1  27 120Г1 216 15 0.
     
10 2213 1 1  2117 12 2111 7 8 5
 Б   
 0 1 2   3 1 2
   

Найдем BA  2 1 1 1 0 2 
а
   
3 7 1 1 2 1
   
к
       
03 1  1  21 01 1 0 22 02 1 2 21 3 4 0 
 е   
 
 231 1 11 211012 221211 6 4 7 .
   т   
337 1 11 317012 327211 3 5 21
   
 8 12 9  3 4 0  11 16 9 
 о     
Тогда AB BA  6 15 0 6 4 7   12 19 7 ;
и     
7 8 5 3 5 21 10 13 26
     
4) вычислимл определитель матрицы А, разлагая его по элементам второй
строки: A  a A a A a A ,
21 21 22 22 23 23
б
где a – элемент второй строки матрицы А, j 1, 2, 3; A – алгебраическое
2j 2j
и
дополнение элемента a , j 1, 2, 3.
2j
БНайдем алгебраические дополнения:
1 2 3 2
 21    22
A  1  14  3, A  1 32 1,
21 22
2 1 1 1
3 1
 23  
A  1   61  5.
23
1 2
3 1 2
   
Получим A  1 0 2  1 3012 5  13;
1 2 1
5) обратная матрица существует только для квадратной невырожденной
матрицы (т. е. определитель которой отличен от нуля). Так как A  13 0, то
1
обратная матрица A существует. Найдем ее по формуле
A A A 
11 21 31
1  
1
A  A A A .
12 22 32
A
 
A A A
 13 23 33
Вычислим алгебраические дополнения A и A , j 1, 2, 3.
1j 3j
Р
0 2 1 2
 11  31
A  1  4, A  1  2,
11 31
2 1 0 2
И
1 2 3 2
 12  32
A  1 3, A  1  8,
12 32 У
1 1 1 2
1 0 3 1
 13  33 Г
A  1  2, A  1 1.
13 33
1 2 1 0
Б
 4 3 2 
   
4 3 2 13 13 13
 
1  а 3 1 8
Таким образом, A1   3 1 8  .
13  13 13 13 
 к
2 5 1  2 5 1 

 
е 13 13 13
 

т
 
2. Найдите значение матричного многочлена f A , если
1 0
  2 о
f x  2x 3x1, A   .
 
0 1
 
и

Решение л
  2
По определению f A  2A 3A E. Найдем
б
 
1 0 1 0  1100 100 1  1 0
2
A  A A      .
и             
0 1 0 1 01 1 0 00 1  1 0 1
       
Б
2 0 3 0 1 0 0 0
  2
Тогда f A  2 A 3 A1E      .
       
0 2 0 3 0 1 0 6
       

1 1 3 5
 
3. Найдите ранг матрицы A  2 1 5 6 методом элементарных
 
1 5 1 3
 
преобразований.