Основания рекуррентной математики (1985 г.)

36 Pages·0.891 MB·Russian

by  Мельников Г.С.

Другие статьи
Основания рекуррентной математики
Г.С. Мельников (1985 г.)
Настоящая монография была задумана в период становления понятий фрактальной
оптики, но полного завершения не получила. Многие разделы, такие как Главы 1, 2…4
вошли в последующие публикации, в частности, в Препринт (сборник статей по
конференции «Однородные вычислительные среды и систолические структуры» -
http://soi.srv.pu.ru/r_1251/investigations/fractal_opt/data5/mono/mono1.pdf )
Ряд разделов так и не нашел своих публикаций.
Ниже приводится восстановленные разделы – раздел 1.1.-1.5
Оглавление
Введение
1. Дискретные индексные пространства
1.1. Основные определения
1.2. Дискретные индексные метрические числовые пространства
1.2.1. Дискретные индексные метрические пространства целых
чисел
1) Линейные индексные метрические пространства
2) Аддитивные нелинейные индексные метрические пространства
3) Мультипликативные нелинейные индексные метрические
пространства
Заключения по разделу 1.2.1
1.2.2. Классификация одномерных рекуррентных индексных
последовательностей по порядку рекуррентности
1.2.3. Топологическая модель рекуррентных индексных
последовательностей (основные определения)
1.3. Рекуррентный нуль
1.4. Введение в теорию симметрии
1.5. Многослойное тело Мебиуса
2. Дискретные тригонометрические функции
2.1. Карденово движение. Связь гиперболической, круговой и
дискретной тригонометрии
2.2. Некруговые тригонометрические функции
2.2.1. Знаковые тригонометрические функции
2.2.2. Тригонометрические преобразования в знаковой
тригонометрии
3. Числовые системы и античисла
3.1. Позитивные системы счисления
3.2. Античисла
3.2.1. Графоаналитическая связь числовых и античисловых
последовательностей
3.3. Симметрические числа
3.4. Катенаны числовых последовательностей
4. Многомерные индексные пространства
4.1. Однородные вычислительные среды и систолические структуры
4.2. Трехмерные индексные тела действительных чисел
4.2.1. Возможные информационные связи в трехмерных
систолических структурах рекуррентных тел действительных
чисел
4.2.2. Линейные рекуррентные тела действительных чисел
4.2.3. Аддитивные нелинейные рекуррентные тела действительных
тел
4.2.4. Мультипликативные нелинейные рекуррентные тела
действительных чисел
4.3. Трехмерные индексные тела комплексных чисел
4.4. Трехмерное тело Паскаля
5. Рекуррентные методы систолических вычислений
5.1. Алгоритмы систолических вычислений на линейных телах
5.2. Алгоритмы систолических вычислений на аддитивных телах
5.3. Алгоритмы систолического дифференцирования и
интегрирования
5.4. Рекуррентные алгоритмы автоматизации анализа, сжатия и
синтеза цифровой информации на систолических структурах
6. Технические приложения
6.1. Пространственно инвариантные преобразования на цифровых
мониторах видеоинформации
6.2. Структурные схемы вычислительных ячеек СБИС для
реализации рекуррентных алгоритмов вычисления.
6.3. Оптические методы дискретных тригонометрических
преобразований
6.3.1. Растровые явления внепараксиальной оптики
6.3.2. Возможности передачи изображений по одиночному волокну
7. Основные направления дальнейшего развития рекуррентной теории
чисел и ее приложений
1. ДИСКРЕТНЫЕ ИНДЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В этой главе мы рассмотрим с новых позиций считающуюся к настоящему времени
законченной простой и ясной, маленькой математической теорией [1] - теорию
дискретных возвратных последовательностей, составляющую основу исчисления
конечных разностей.
Новизна позиций заключается в различии возвратных и рекуррентных (фр.
Recurente - возвращающихся к началу) последовательностей, что к настоящему времени,
пока, считается в математике синонимами, а также с новых позиций рассматривается
область существования возвратных последовательностей.
Существующая теория возвратных последовательностей оперирует с
последовательностями вида:
U , U , U , ..., U , ..., (1.1)
1 2 3 k
или коротко {U }, где k = 1, 2, 3, .....; k ¥fi
k
Мы же будем обращаться к последовательности вида
..., U , U , U , ..., U , U , U , U , ..., U , ..., (1.2)
-3 -2 -1 k 1 2 3 k
или коротко {U }, где k = ˛ [-¥ , ... , 0 , ... , +¥ ].
– k
1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В общем случае все алгебраические и групповые операции, рассматриваемые в
настоящей монографии, применимы вплоть до гиперкомплексных числовых пространств,
однако, не нарушая общности мы будем обращаться к числовым системам с делением, т.е.
к таким системам, в которых числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.
При этом предполагается, что сложение и умножение в этих системах
коммутативно и ассоциативно [2‚ 4]:
a + b = b + a ; (a + b ) + g = a + (b + g ) (1.1.1)
a (cid:215) b = b (cid:215) a ; (a (cid:215) b ) (cid:215) g = a (cid:215) (b (cid:215) g ) (1.1.2)
а умножение - дистрибутивно относительно сложения:
a (cid:215) (b + g ) = a (cid:215) b + a (cid:215) g (1.1.3)
здесь a , b , g - произвольные числа системы.
Во всякой выбранной числовой системе, кроме того, будем рассматривать
отрицательные числа не как удобную математическую символику, а как самостоятельные
числа - противоположные положительным числам. При этом для всякого произвольного
числа системы имеется и притом единственное положительное ему число. [5]
Во множестве выбранной числовой системы должно содержаться особое число,
являющееся нулем, т.е. такое число, сумма которого с любым выбранным числом системы
равна самому этому числу, причем нуль этот должен быть единственным. Существование
числа (чисел) противоположных нулю обсуждается в разделе 1.3.2. Кроме того, в этом же
разделе мы покажем и последовательно выведем свойства особых последовательностей,
т.е. мы придем к тому, что для всех возрастающих и убывающих последовательностей
непременно существует антипоследовательности.
Т.е. мы введем понятие античисел. Это один из удивительнейших случаев, когда
экспериментаторы физики свободно оперируют с понятием античастиц, изучают их
свойства из наблюдаемых фактов эксперимента, в то время как надежного
математического аппарата, выявляющего гносеологические основания и симметрические
свойства антиэлементов, не существует. С разработкой этих понятий: античисла,
антипоследовательности и антинуля (рекуррентного нуля) можно надеяться на
сокращение или полное устранение отмеченного разрыва.
Для любых двух последовательностей чисел {U } и {V } будет называться суммой
k k
(разностью, произведением, частным) последовательность вида
{U + V }, {U - V }, {U (cid:215) V }, {U /V }
k k k k k k k k
при этом деление на V = 0 будет оговариваться особо.
k
Определение 1.1
Рекуррентными последовательностями будем называть неразрывные дискретные
последовательности вида (1.2).
..., U , U , U , ..., U , U , U , U , ..., U , ..., где k = ˛ [-¥ , ..., 0, ..., +¥ ].
-3 -2 -1 k 1 2 3 k
Или коротко {U } такие, для которых существует натуральное число m и числа a ,
– k 1
a , ... a (действительные или мнимые, причем, конечное число a „ 0), что для любого
2 m m
члена последовательности существует однозначное соответствие.
U = a U + a U + a U (1.1.4)
k+m 1 k+m-1 2 k+m-2 m k
где ( k ‡ m ‡ 1).
При этом последовательность (1.2) будем называть рекуррентной
последовательностью порядка m, а отношение (1.1.4) - рекуррентным уравнением порядка
m.
Определение 1.2.
Возвратными будем называть последовательности вида
U , U , U , U , U , ...., U , ..., U (1.1.5)
0 1 2 3 4 k ¥
или коротко {U }, а также
+k
U .,..., U , ..., U , U , U , U , U (1.1.6)
-¥ k 4 3 2 1 0
или коротко {U }, такие, для которых существует натуральное число m и числа a , a , ...
-k 1 2
a (действительные или мнимые, причем, конечное число a „ 0), что, начиная с
m m
некоторого номера i и для всех следующих номеров, существует однозначное
соответствие.
U = a U + a U + a U (1.1.7)
k– m 1 k– m– 1 2 k– m– 2 m k
где ( |k| ‡ |m| ‡ 0).
При этом последовательность (1.1.5) будем называть правосторонней возвратной, а
последовательность (1.1.6) - левосторонней возвратной последовательностью порядка m.
Здесь знаки перед m и k в выражении (1.1.7) записываются по схеме: верхние - для
правосторонних последовательностей (1.1.5), нижние - для левосторонних
последовательностей (1.1.6).
Названия для возвратных последовательностей мы дали не только от
мнемонического правила возвращения к нулевому члену последовательности справа или
слева, соответственно, а еще и по тому, что, как будет показано в разделе 1.2 и далее по
тексту, правосторонние и левосторонние последовательности лежат в основе
математического аппарата сдвиговой суперпозиции. И, в свою очередь, могут быть
синтезированы с помощью операций правостороннего (левостороннего) матричного
сдвига или правосторонних (левосторонних) бесконечностей.
1.1.1. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОНТИНУУМ
В [6] арифметический континуум определяется как числовая прямая. Континуум
(от лат. Continuus - непрерывный, сплошной) - непрерывное многообразие, например
совокупность всех точек прямой или какого-либо ее отрезка, множество всех
действительных чисел, заключенных между двумя какими-либо действительными
числами, например между 0 и 1 [7].
Мы же арифметическим континуумом предлагаем считать более широкое понятие:
Определение 1.3.
Арифметический континуум это непрерывное многообразие числовых
пространств, в общем случае, гиперкомплексных чисел.
В таких пространствах числовая прямая составит лишь одну из возможных
координатных осей.
В свою очередь, как числовую прямую, так и гиперпространство чисел в целом
считать континуальным можно лишь условно, так как непрерывность сама по себе, как
будет показано ниже, является порождением бесконечного числа упаковок (вложений)
структурно упорядоченных дискретных числовых решеток, [11] или сеточных полей друг
в друга [9,18].
Задача настоящей монографии показать фундаментальные основы построения этих
правильных, структурно-упорядоченных, дискретных систем. Основным аппаратом,
который позволит выполнить эту задачу, послужить введенная выше классификация
возвратных и рекуррентных последовательностей.
Известное высказывание Леопольда Кронекера (1823 - 1891) [8], «Бог создал
натуральное число, все прочее - дело рук человека» не вполне точно определяет тот
фундамент, на котором строится здание математики.
Наша задача показать, что этим фундаментом является не только натуральные
числа, а в более общем смысле, дуальная возвратная последовательность, составленная из
целых чисел, т.е. натуральных чисел, противоположных им отрицательных чисел и нуля,
склеенная на особых элементах - рекуррентных нулях с антипоследовательностью,
состоящей из античисел и антинуля.
Следуя [2], а также дополняя данными [3-5] приведем здесь классификацию
числовых пространств по множествам (см. табл. 1.1.).
Определения для чисел разбитых на множества (табл..1.1.) можно найти в целом
ряде монографий и учебников, например [2, 5]. В силу этого останавливается на
детальном изложении известных положений мы не будем, а, путем последовательного
введения в рассмотрение все более сложных числовых колец и полей [2, 5], из которых
будут строиться возвратные и рекуррентные последовательности, покажем способы их
структурного упорядочения и выведем методы параллельного анализа, кодирования и
синтеза числовых последовательностей более общего класса.
Таблица 1.1.
1.2. ДИСКРЕТНЫЕ ИНДЕКСНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ЧИСЛОВЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
В теории функций и функциональном анализе вводится понятие метрического
пространства [12], путем обобщения представлений о действительных числах как о
множестве, в котором введено расстояние между элементами.
Согласно [12] метрическим пространством называется пара (x, r ) состоящая из
некоторого множества (пространства) x элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной,
неотрицательной действительной функции r (x, y), определенной для любых x и y из x
удовлетворяющей трем условиям:
1) r (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y (1.2.1)
2) (аксиома симметрии): r (x, y)= r (y, x) (1.2.2)
3) (аксиома треугольника): r (x, z) £ r (x, y) + r (y, z) (1.2.3)
Само метрическое пространство, т.е. пару (X,r ) обозначают одной буквой
R = (X,r ) [12, стр. 46] (1.2.4)
Указанное определение метрических пространств вводится для реализации
важнейшей операции анализа - предельного перехода. В основе этой операции лежит тот
факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой.
Например множество действительных чисел с расстоянием r (x, y) = ‰ x - y‰ образует
метрическое пространство R1 и обобщая, множество упорядоченных групп
действительных чисел x = (x , x , x , ... x ) с расстоянием
1 2 3 n
r (x,y)= (cid:229) n (y - x )2
k k
k=1 (1.2.5)
называется n-мерным арифметическим эвклидовым пространством Rn. Для Rn аксиомы 1 и
2 очевидны, а аксиомы треугольника принимают вид, для x = (x , x , ..., x ), y = (y ,y ,...,y )
1 2 n 1 2 n
и z = (z , z , ..., z ) аксиомы 3 записывается
1 2 n
(cid:229) n (z - x )2 £ (cid:229) n (y - x )2 + (cid:229) n (z - y )2
k k k k k k
k=1 k=1 k=1 (1.2.6)
Следует подчеркнуть, что метрическое пространство (1.2.4) носит геометрический,
точечный характер, в силу того, что z, y и x могут принимать не только целочисленные
значения, а такие рациональные, иррациональные, трансцендентные.
Введем интегральное понятие метрических дискретных пространств - пространство
индексных элементов.
В реальных физических системах таких, например, как экраны индикаторов
цифровых телевизионных и тепловизионных систем с дискретными линейками
(матрицами) чувствительных элементов, однородные и систолические вычислительные
структуры, биологические объекты типа клетка, или, в физики микромира, с дискретными
элементами - элементарными частицами и т.д., приходится иметь дело не с
математической точкой, а с конечным отрезком, площадкой, трехмерным элементом
конечного объема, - частицей, которые удобнее описывать не однозначной функцией
расстояния r (x, y), а индексным элементом, положение которого в пространстве (времени)
определяется позиционным набором целочисленных индексов x, y, z... А само значение
индексной функции положения r описывается усредненными интегральными
x,y,z...
характеристиками по конечному отрезку, площади, объему и гиперобъему индексного
элемента.
Широко известным в дискретной математике примером двумерного пространства
индексных элементов являются таблицы и матрицы.
Матрицей называется совокупность вещественных или комплексных чисел
a , расположенных в виде прямоугольной таблицы [13, 14].
i,j
Числа a называются элементами матрицы. Индексы i,j обозначают, что элемент a
i,j i,j
расположен на пересечении i-й строки и j-ого столбца матрицы.
Понятие матрицы можно расширить увеличивая число базисных индексных
координат.
Определение 1.4.
Пространственной гиперматрицей будем называть совокупность вещественных или
комплексных чисел r n, p, расположенных в гиперкубических прямоугольных элементах
k, l, m ,
числовых пространств.
В таких пространствах позиционное положение элемента осуществляется
индексами k, l, m, ..., n, p, ... . Верхние индексы (такие как n, p, ...) будем называть в том
случае, когда метрика координатного положения элемента по осям n, p, выбранного
числового пространства будет логарифмической, т.е. она будет определять порядковую
(размерностную) характеристику числовых последовательностей U , V , расположенных
n p
по строке (столбцу) пространственной гиперматрицы.
В случае чисто линейных пространств используем только нижние индексы,
например r . Если нам необходимо задать само индексное числовое пространство
x,y
(гиперматрицу), будем пользоваться заглавными буквами, например: N n, или M .
k, l k,l
В первом случае N n, будет обозначать бесконечную трехмерную матрицу с
k, l
линейными индексными координатами k и l и логарифмической индексной координатой
n; M - обычная двумерная бесконечная матрица. В ряде случаев, где это не будет
k,l
вызывать сомнения, все или часть индексов будем опускать. В общем случае, метрика,
задаваемая по индексным координатам k, l, ..., n может быть разная.
Однако, в дальнейшем мы будем преимущественно оперировать с пространствами
и матрицами равной метрики, т.е. с такими пространствами и матрицами, для которых
расстояние по индексным координатам между двумя соседними элементами будут равны,
при этом, как правило будем оперировать с пространствами и матрицами у которых:
D i=D j=D k =D n==1 (1.2.7)
т.е.
D i=(i+1)- i=1 (1.2.8)
Кроме того, как мы условились в начале этой главы, мы будем преимущественно
интересоваться возвратными и рекуррентными последовательностями, дискретные
значения которых составляют элементы интересующих нас пространств и матриц. Для
них индексные координаты занимают всю числовую ось от -¥ до +¥ в своих дискретных
целочисленных значениях.
Другими словами, мы будем интересоваться обобщенными бесконечными
матрицами.
Как известно [14] сложение и умножение бесконечных матриц, рассматривавшихся
до настоящего времени, определяется соотношениями:
A +B = (a + b ) (1.2.9)
i,j i,j
l A = (l a ) (1.2.10)
i,j
где l любое действительное или комплексное число (скаляр).
A(cid:215) B= (cid:229) ¥ a (cid:215) b
i,k k,j
k=1 (1.2.11)
Таким образом. Если A(cid:215) B=(C ), то
i,j
C = (cid:229)¥ a (cid:215) b
i,j i,k k,j
k=1 (1.2.12)
только в том случае, когда сумма (1.2.12) существует.
Подчеркнем существенную разницу в понимании бесконечных матриц, излагаемых
в фундаментальной монографии Р. Кука [14] с предлагаемой ниже трактовкой.
Так в [14] рассматриваются матрицы с элементами от 1 до ¥ . Мы же рассматриваем
фрагменты обобщенных матриц, локализованные относительно центрального элемента
r , но при этом сами элементы матриц уходят в обе стороны от нулевого элемента по
о,о,о,...
всем индексным координатам от -¥ до +¥ т.е. наши обобщенные матрицы являются
дуальными бесконечными матрицами по каждой базисной координате. Этим матрицам,
так же как обычным бесконечным матрицам присущи отличия от конечных [14] в
следующем:
1) В теории конечных матриц основную роль играют определители; в теории
бесконечных матриц их роль в значительной степени теряется.
2) В теории бесконечных матриц часто встречаются проблемы существования, которые не
имеют аналога в теории конечных матриц.
Например, если даны две бесконечных матрицы A и B, то их произведение A(cid:215) B
может не существовать, так как ряды
(cid:229)¥ a (cid:215)b
i,k k,j
k=1 (1.2.13)
могут расходиться для всех или нескольких значений i и j.
Для обобщенных дуальнобесконечных матриц, построенных из рекуррентных
последовательностей, ряды всегда расходятся в одну из сторон индексных осей.
Следовательно, выражение (1.2.13) для таких матриц не имеет смысла. Поэтому
введем для них операцию, заменяющую векторное умножение (1.2.13) конечных и
обычных бесконечных матриц, на метрическое скалярное или поэлементное умножение.
Определение 1.5.
Скалярным или поэлементным матричным умножением будем считать следующую
операцию умножения:
обозначаем ее (cid:127) , такую
C = A (cid:127) B (1.2.14)
что
C = a (cid:215) b (1.2.15)
i,j i,j i,j
3) Поэлементное умножение еще в большей степени уводит теорию бесконечных матриц
в раздел анализа по сравнению с теорией конечных матриц, являющихся частью
алгебры. Так, например, как будет показано ниже теория обобщенных
дуальнобесконечных матриц позволит нам с успехом использовать ее в задачах синтеза
и сжатия информации.
4) Другими словами, типы проблем, решаемых при помощи бесконечных матриц, имеют
совершенно другой характер, чем проблемы, решаемые с помощью конечных матриц.
Учитывая вышесказанное, мы в плотную подошли к определению дискретных
индексных метрических пространств - предмету изложения настоящего раздела.
По аналогии с непрерывными метрическими пространствами (1.2.4) дадим
определение дискретным индексным метрическим пространствам.
Определение 1.6.
Дискретным индексным метрическим пространством будем называть совокупность
чисел (x, y, z, ..., r ), записываемую в виде
r (1.2.16)
x, y, z, ...
из некоторого множества (пространства) индексных элементов x (в общем случае
гиперкубических элементов), в которых введено расстояние l между индексными
элементами
l(x -x) = 1 (1.2.17)
i+1 i
и самого числа r , записываемого (индуцируемого) или хранящегося в этом
гиперкубическом элементе.
Под определение 1.6. подпадают все возможные физические дискретные системы,
для которых индексное положение элемента определяется индексами x - номер строки, y -
номер столбца, z - номер слоя и т.д. Сам же элемент r характеризуется числом (например,
яркостью свечения элемента экрана), а также числовыми измерениями во всевозможных
матрицах (таблицах) в математике, и элементах однородных вычислительных структур,
для которых задана метрика по координатам x,y,z,... При этом конечные матрицы можно
рассматривать, как локальные фрагменты дискретных индексных метрических
пространств на плоскости x,y.
В последние годы в процессе разработки конвейерно-векторных вычислительных
систем 5-го и 6-го поколений интенсивно развиваются техника и алгоритмы параллельных
вычислений на однородных вычислительных средах и систолических структурах.
Как будет показано ниже на эти сеточные вычислительные структуры и
ориентирован развиваемый нами аппарат дискретных метрических пространств.
В общем случае значения индексов x,y,z,... могут лежать на интервалах [-¥ , +¥ ], но
не принимают они, по определению, целочисленные значения.
Таким образом, рекуррентная последовательность типа (1.2) является одномерным
дискретным индексным метрическим пространством {U }, где x fi [-¥ , +¥ ], при ее
– x
записи в виде однородной таблицы.
На примере последовательности целых чисел покажем разницу между
непрерывными метрическими пространствами (1.2.4) и индексным дискретным
пространством (1.2.16).
Согласно (1.2.4) последовательность действительных чисел в виде r (x) ” r (x,x )
o
может быть представлена на рис.2.