Дискретно-непрерывная математика: в 12 книгах: Книга 7: Графы Часть 3

541 Pages·8.968 MB·Russian

by  Кононюк А.Е.

Парадигма развития науки
Методологическое обеспечение
А. Е. Кононюк

ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ
МАТЕМАТИКА
Книга 7
Графы
Часть 3

Киев
«Освіта України»
2015
Кононюк А.Е. Графы

Кононюк Анатолий Ефимович
2
Кононюк А.Е. Графы

3
Кононюк А.Е. Графы
УДК 51 (075.8)
ББК В161.я7
К213

Рецензенты:
В. В. Довгай — к-т физ.-мат. наук, доц. (Национальный тех—
нический университет «КПІ»);
В. В. Гавриленко — д-р физ.-мат. наук, проф.,
О. П. Будя — к-т техн. наук, доц. (Киевский университет эко—
номики, туризма и права);
Н. К. Печурин — д-р техн. наук, проф. (Национальный ави—
ационный университет).

Кононюк А. Е.
К213 Дискретно-непрерывная математика. (Графы. К.7, Ч.3 (в 7
частях)). — В 15-и кн. Кн 7,— К.: Освіта України. 2015. — 541 с.

ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание)
ISBN 978-966-373-694-5 (книга 7)

Многотомная работа содержит систематическое
изложение математических дисциплин, исспользуемых при
моделировании и исследованиях математических моделей
систем.
В работе излагаются основы теории множеств, отношений,
поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц,
графов, математической логики, теории вероятностей и
массового обслуживания, теории формальных грамматик и
автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности
образуют единную методолгически взамосвязанную
математическую систему «Дискретно-непрерывная
математика».
Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов,
докторантов и просто ученых и специалистов всех
специальностей.
УДК 51 (075.8)
ББК В161.я7

ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание) © Кононюк А. Е., 2015
ISBN 978-966-373-694-5 (книга 7) © Освіта України, 2015

4
Кононюк А.Е. Графы

Оглавление

1. Бесконечные графы, цепи Маркова, паросочетания……………….....8
1.1.Бесконечные графы................................................................................8
1.2. Цепи Маркова……………………………………………………......12
1.3.Теорема о свадьбах…………………………………………………...18
1.4. Теория трансверсалей……………………………………………......22
1.5. Приложения теоремы Холла…………………………………….......25
1.6. Теоремa Менгерa…………………………………………………......30
1.7. Потоки в сетях……………………………………………………......36
1.8. Теория матроидов…………………………………………………....44
1.8.1. Ведение в теорию матроидов………………………………….....44
1.8.2. Примеры матроидов………………………………………….......49
1.8.3. Матроиды и теория графов……………………………………......54
1.8.4. Матроиды и теория трансверсалей…………………………….....60
1.9 Экстремальные множества и задачи покрытия и упаковки в
матроидах……………………………………………………………........65
2. Нечеткие графы и нечеткие отношения……………………………...98
2.1. Нечеткие графы……………………………………………………..99
2.2. Нечеткое отношение………………………………………………..105
2.3. Композиция двух нечетких отношений…………………………...120
2.4. Нечеткое подмножество, индуцированное отображением……....129
2.5. Условные нечеткие подмножества………………………………...132
2.6. Свойства нечетких бинарных отношений………………………...141
2.7. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения……..151
5
Кононюк А.Е. Графы
2.8. Путь в конечном нечетком графе………………………………….159
2. 9. Нечеткие отношения предпорядка………………………………..163
2.10. Отношение подобия……………………………………………….167
2.11. Подотношение подобия в нечетком предпорядке………….170
2.12. Антисимметрия…………………………………………………....173
2.13. Нечеткие отношения порядка…………………………………….178
2.14. Антисимметричные отношения без контуров, порядковые
отношения, порядковые функции нечеткого отношения порядка…..186
2.15. Отношения различия…………………………………………… 195
2.16. Отношения сходства………………………………………………199
2.17. Некоторые свойства отношений подобия и сходства………...213
2.18. Некоторые свойства нечетких отношений
совершенного порядка…………………………………………………..233
3. Законы нечеткой композиции………………………………………..242
3.1. Понятие закона композиции………………………………………242
3.2. Закон нечеткой внутренней композиции. Нечеткий группоид….244
3.3. Основные свойства нечетких группоидов………………………..250
3.4. Нечеткие моноиды…………………………………………………256
3.5. Нечеткая внешняя композиция……………………………………262
4. Обобщение понятия нечеткого множества и нечеткого графа….. 268
4.1. Введение …………………………………………………………...268
4.2. Операции на обычных множествах................................................269
4.3. Основные свойства множества отображений.................................272
4.4. Обзор некоторых основных структур..............................................275
4.5. Обобщение понятия нечеткого подмножества...............................289
4.6. Операции на нечетких подмножествах в случае,
когда L— решетка.....................................................................................308
4.7. Обзор некоторых понятий, необходимых для введения
понятия категории.....................................................................................312
4.8. Понятие категории.............................................................................335
4.9. Нечеткие С-морфизмы......................................................................346
5. Прикладные задачи теории графов.....................................................356
5.1. Введение…….....................................................................................356
5.2. Экономика и материальное обеспечение........................................356
5.3. Линейное программирование и потоки в сетях..............................361
5.4. Задачи типа ПЕРТ..............................................................................362
5.5. Примеры комбинаторных задач в теории графов……...................369
5.6. Минимальное число аварий на кирпичном заводе.........................382
5.7. Минимальное число пересечений в полных графах....................386
5.8. Задача соединения раскрашенных кубов........................................388
5.9. Задачи изменения состояний системы............................................390
5.10. Матричная форма задачи о переправе...........................................396
6
Кононюк А.Е. Графы
5.11. Задача деления треугольника.........................................................402
5.12. Игра двух лиц..................................................................................403
5.13. Игры на шахматной доске..............................................................407
5.14. Максимальные паросочетания.......................................................409
5.15. Анализ технических систем…………...........................................419
5.16. Сети связи........................................................................................424
5.17. Граф потока сигналов.....................................................................428
5.18. Переключательные сети (схемы)...................................................434
5.19. Объединение электростанций в энергосистему...........................436
5.20. Печатные схемы...............................................................................437
5.21. Идентификация в химии.................................................................439
5.22. Простая модель из органической химии.......................................443
5.23. Два примера из статистической механики....................................445
5.24. Генетическая задача........................................................................447
5.25. Графы и кибернетика......................................................................449
5.26. Применения в социологии..............................................................453
5.27. Математические модели разоружения..........................................457
5.28. Лингвистика……………………………………………………….460
5.29. Математические машины и цепи Маркова……………………...464
5.30. Группы и обыкновенные графы………………………………….469
5.31. Построение деревьев минимальной общей длины……………...471
5.32. Графы и собственные значения неотрицательных матриц…….472
5.33. Задача ранжирования……………………………………………..474
6. Потоки в сетях………………………………………………………..478
6.1. Введение…………………………………………………………….478
6.2. Основная терминология……………………………………………479
6.3. Отношения между потоками и операции над ними…………….481
6.4. Простые потоки…………………………………………………….483
6.5. Другое представление потока……………………………………..484
6.6. Потоки с ограничениями на дугах………………………………..486
6.7. Максимальный поток в транспортной сети………………………493
6.8. Максимальные потоки в сетях общего вида с ограниченными
пропускными способностями дуг……………………………………...495
6.9. Потоки минимальной стоимости………………………………….499
6.10. Некоторые специальные задачи о потоках………………………505
9.11. Задачи о многопродуктовых потоках……………………………507
6.12. Стохастические потоки в сетях…………………………………..510
Ответы к упражнениям............................................................................513
Приложение А…………………………………………………………..519
Приложение Б……………………………………………………………522
ЛИТЕРАТУРA…………………………………………………………...536

7
Кононюк А.Е. Графы
1. Бесконечные графы цепи Маркова,
,
паросочетания

1.1. Бесконечные графы

Здесь мы покажем, как можно обобщить некоторые определения,
приведенные ранее, на случай бесконечных графов. Напомним, что
бесконечным графом называется пара (V(G), E(G)), где V(G)—
бесконечное множество элементов, называемых вершинами, a E(G) —
бесконечное семейство неупорядоченных пар элементов из V(G),
называемых ребрами. Если оба множества V(G) и E(G) счетны, то G
называется счетным графом. Заметим, что наши определения
исключают те случаи, когда V(G) бесконечно, a E(G) конечно (такие
объекты являются всего лишь конечными графами с бесконечным
множеством изолированных вершин), или когда E(G) бесконечно, а
V(G) конечно (такие объекты являются конечными графами с
бесконечным числом петель или кратных ребер). Некоторые
определения, данные ранее (таких понятий, как «смежный»,
«инцидентный», «изоморфный», «подграф», «объединение»,
«связный», «компонента»), переносятся на бесконечные графы.
Степенью вершины v бесконечного графа называется мощность
множества ребер, инцидентных v; степень вершины может быть
конечной или бесконечной. Бесконечный граф, все вершины которого
имеют конечные степени, называется локально конечным; хорошо
известным примером такого графа является бесконечная квадратная
решетка, часть которой изображена на рис. 1.

Рис. 1.

8
Кононюк А.Е. Графы
Аналогичным образом можно определить локально счетный
бесконечный граф — как граф, все вершины которого имеют счетную
степень (под счетным множеством здесь и в дальнейшем понимается
бесконечное множество, допускающее взаимно однозначное
отображение на множество натуральных чисел). Пользуясь этими
определениями, докажем сейчас простой, но важный результат.
ТЕОРЕМА 1. Каждый связный локально счетный бесконечный граф
является счетным.
Доказательство. Пусть v — произвольная вершина такого
бесконечного графа, и пусть А — множество вершин, смежных v,
1
А — множество всех вершин, смежных вершинам из А , и т. д. По
2 1
условию теоремы А — счетно и, следовательно, множества А , А , ...
1 2 3
тоже счетны (здесь мы используем тот факт, что объединение не более
чем счетного множества счетных множеств счетно); следовательно,
{v}, A А , ... — последовательность множеств, объединение которых
1, 2
счетно. Кроме того, эта последовательность содержит каждую
вершину бесконечного графа в силу его связности. Отсюда и следует
нужный результат.
СЛЕДСТВИЕ 1. Каждый связный локально конечный бесконечный граф
является счетным.
Помимо этого, на бесконечный граф G можно перенести понятие
маршрута, причем тремя различными способами:
(i) конечный маршрут в G определяется так же, как определен ранее;
(ii) бесконечным в одну сторону маршрутом в G (с начальной
вершиной v ) называется бесконечная последовательность ребер вида
0
{v , v }, {v v }, ... ;
0 1 1, 2
(iii) бесконечным в обе стороны маршрутом в G называется
бесконечная последовательность ребер вида ..., { v , v }, { v , v },
-2 -1 -1 0
{ v , v }, { v , v }, ... .
0 1 1 2
Бесконечные в одну сторону и в обе стороны цепи и простые цепи
определяются очевидным образом, так же как и понятия длины цепи и
расстояния между вершинами. Следующий результат, известный как
лемма Кёнига, говорит о том, что бесконечные простые цепи не так уж
трудно обнаружить.
ТЕОРЕМА 2 (Кёниг). Пусть G — связный локально конечный
бесконечный граф; тогда для любой его вершины v существует
бесконечная в одну сторону простая цепь с начальной вершиной v.
Доказательство. Если z — произвольная вершина графа G, отличная
от v, то существует нетривиальная простая цепь от v до z; отсюда
следует, что в G имеется бесконечно много простых цепей с начальной
вершиной v. Поскольку степень v конечна, то бесконечное множество
таких простых цепей должно начинаться с одного и того же ребра.
9
Кононюк А.Е. Графы
Если таким ребром является { v, v }, то, повторяя эту процедуру для
1
вершины v получим новую вершину v и соответствующее ей ребро
1 2
{v v }. Продолжая таким образом, мы получим бесконечную в одну
1, 2
сторону простую цепь v→ v →v ... .
1 2
Важное значение леммы Кёнига состоит в том, что она позволяет
получать результаты о бесконечных графах из соответствующих
результатов для конечных графов. Типичным примером этого является
следующая теорема
ТЕОРЕМА 3. Пусть G — счетный граф, каждый конечный подграф
которого планарен; тогда и G планарен.
Доказательство. Так как G — счетный граф, то его вершины можно
занумеровать в последовательность v , v , v ,.... Исходя из нее,
1 2 3
построим строго возрастающую последовательность G G G
1 2 3
... подграфов графа G, выбирая в качестве G подграф с вершинами
k
v .....v и ребрами графа G, соединяющими только эти вершины между
1 k
собой. Далее, примем на веру тот факт, что графы G могут быть уло-
i
жены на плоскости конечным числом (скажем m(i)) топологически
различных способов, и построим еще один бесконечный граф Н. Его
вершины w (i≥1, 1≤.j≤m(i)) пусть соответствуют различным укладкам
ij
графов {G}, а его ребра соединяют те из вершин w и w , для которых
i ij kl
k =i+1 и плоская укладка, соответствующая w «расширяется»
kl
(очевидным образом) до укладки, соответствующей w . Легко видеть,
ij
что граф H связен и локально конечен, поэтому, как следует из леммы
Кёнига, он содержит бесконечную в одну сторону простую цепь. А так
как граф G является счетным, то эта бесконечная простая цепь и дает
требуемую плоскую укладку графа G. Стоит подчеркнуть, что если
принять дальнейшие аксиомы теории множеств (в частности, аксиому
выбора для несчетных множеств), то многие результаты (подобные
только что доказанному) можно перенести и на такие бесконечные
графы, которые не обязательно являются счетными.
В заключение этого небольшого отступления в область бесконечных
графов дадим краткий обзор свойств бесконечных эйлеровых графов.
Естественно назвать связный бесконечный граф G эйлеровым, если в
нем существует бесконечная в обе стороны цепь, содержащая каждое
ребро графа G; такая бесконечная цепь называется (двусторонней)
эйлеровой цепью. Далее, назовем граф G полуэйлеровым, если в нем
существует бесконечная (в одну или в обе стороны) цепь, содержащая
каждое ребро графа G. Заметим, что эти определения требуют
счетности графа G. В следующих теоремах даны условия,
необходимые для того, чтобы бесконечный граф был эйлеровым или
полуэйлеровым.
10