Table Of ContentПарадигма развития науки
Методологическое обеспечение
А. Е. Кононюк
ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ
МАТЕМАТИКА
Книга 7
Графы
Часть 2
Киев
«Освіта України»
2015
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Кононюк Анатолий Ефимович
2
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
3
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
УДК 51 (075.8)
ББК В161.я7
К213
Рецензенты:
В. В. Довгай — к-т физ.-мат. наук, доц. (Национальный тех—
нический университет «КПІ»);
В. В. Гавриленко — д-р физ.-мат. наук, проф.,
О. П. Будя — к-т техн. наук, доц. (Киевский университет эко—
номики, туризма и права);
Н. К. Печурин — д-р техн. наук, проф. (Национальный ави—
ационный университет).
Кононюк А. Е.
К213 Дискретно-непрерывная математика. (Графы. К.7 Ч.2). — В
15-и кн. Кн 7,— К.: Освіта України. 2015. — 512 с.
ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание)
ISBN 978-966-373-694-5 (книга 7)
Многотомная работа содержит систематическое
изложение математических дисциплин, исспользуемых при
моделировании и исследованиях математических моделей
систем.
В работе излагаются основы теории множеств, отношений,
поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц,
графов, математической логики, теории вероятностей и
массового обслуживания, теории формальных грамматик и
автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности
образуют единную методолгически взамосвязанную
математическую систему «Дискретно-непрерывная
математика».
Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов,
докторантов и просто ученых и специалистов всех
специальностей.
УДК 51 (075.8)
ББК В161.я7
ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание) © Кононюк А. Е., 2015
ISBN 978-966-373-694-5 (книга 7) © Освіта України, 2015
4
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Оглавление
1. Ориентированные графы………………………………………............10
1.1. Вводные понятия представления графов…………………...............10
1.2. Маршруты, циклы и связность………………………………….......16
1.3. Маршруты и связность в орграфах……………………………........21
1.4. Упорядоченные орграфы и обходы…………………………….......26
1.5. Отношение включения и достижимые множества……………......33
1.6. Теорема о гомоморфизме…………………………………………...37
1.7. Транзитивные графы и погружения в отношения упорядочения..39
1.8. Базисные графы……………………………………………………..41
1.9. Чередующиеся цепи………………………………………………...45
1.10. Суграфы первой степени в графе………………………………....47
1.11. Перечисление орграфов…………………………………………....50
1.12. Турниры…………………………………………………………......56
1.13. Ориентации графов………………………………………………....61
1.14. Смешанные графы……………………………………………….....63
1.15. Правильная нумерация......................................................................68
1.16. Длины путей, протяженности и расстояния между вершинами
графа…………………………………………………………………….....69
1.17. Графы с отмеченными ребрами и вершинами…………………....70
1.18. Квадрат матрицы смежности……………………………………....71
1.19. Лексикографическая нумерация многочленов…………………....72
1.20. Новые свободные переменные………………………………….....73
1.21. Старые и новые классы ребер и вершин………………………….73
5
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
1.22. Группа автоморфизмов графа……………………………………..74
1.23. О проблеме изоморфизма графов………………………………....75
1.24. Классы эквивалентных вершин…………………………………...76
1.25. Разбиения классов вершин и ребер…………………………….....76
2.Раскраски графов……………………………………………………....78
2.1. Введение……………………………………………………………...78
2.2. Раскраска вершин и ребер графа…………………………………...80
2.3. Характеризация раскраски графов………………………………….90
2.4. Оценки хроматических чисел..........................................................105
2.4.1. Нижние оценки для γ(G)………………………………………………105
2.4.2. Верхние оценки для γ(G)……………………………………………..107
2.5. Точные алгоритмы раскраски……………………………………..107
2.5.1. Метод динамического программирования……………………..108
2.5.2. Формулировка задачи о раскраске на языке
0-1-программирования…………………………………………………113
2.5.3. Сведение задачи о раскраске к ЗНП……………………………115
2.5.4. Алгоритм прямого неявного перебора, использующий
дерево поиска...........................................................................................117
2.6. Приближенные алгоритмы раскрашивания.................................119
2.6.1. Последовательные методы, основанные на
упорядочивании множества вершин.......................................................119
2.7. Обобщения и приложения................................................................120
2.7.1. Простая задача размещения (загрузки).........................................121
2.7.2. Составление-графиков осмотра (проверки).................................122
2.7.3. Распределение ресурсов.................................................................123
2.8. Перечисление раскрашенных и других графов..............................123
2.8.1. Число графов...................................................................................123
2.8.2. Число связных графов....................................................................133
2.8.3. Число k-раскрашенных графов......................................................136
2.8.4. Ациклические орграфы..................................................................138
2.8.5. Деревья.............................................................................................141
2.8.6. Эйлеровы контуры в орграфах....................................................147
2.8.7. Раскрашенные графы.....................................................................151
2.8.8. Корневые графы..............................................................................159
2.8.9. Надграфы и раскрашенные графы................................................163
2.8.10. Булевы функции...........................................................................171
2.8.11. Хроматическое число...................................................................175
2.8.12. Суммы хроматических графов....................................................178
2.8.13. Критические графы......................................................................180
2.8.14. Полиномы раскрашиваний..........................................................186
2.8.15. Группы автоморфизмов................................................................190
2.8.16. Цветные графы Кэли для групп...................................................194
6
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
2.8.17. Графы с заданными группами.....................................................196
2.8.18. Реберные отображения.................................................................198
3.Размещение центров и медиан в графе………………………….......202
3.1. Разделения..........................................................................................203
3.2. Центр и радиус...................................................................................205
3.3. Размещение аварийных служб и пунктов обслуживания..............206
3.3.1 Абсолютный центр..........................................................................207
3.4. Алгоритмы нахождения абсолютных центров...............................210
3.4.1. Метод Хакими................................................................................210
3.4.2. Размещение аварийных служб (общий слyай)............................211
3.4.3. Модифицированный метод Хакими.............................................216
3.4.4. Итерационный метод.....................................................................218
3.5. Кратные центры (р-центры).............................................................219
3.5.1. Задача размещения нескольких пунктов обслуживания............220
3.6. Абсолютные р-центры......................................................................221
3.7. Алгоритм нахождения абсолютных р-центров...............................222
3.7.1. Описание алгоритма.......................................................................224
3.7.2. Вычислительные аспекты..............................................................225
3.7.3. Пример.............................................................................................226
3.7.4. Результаты вычислений.................................................................230
3.7.5. Применение общего алгоритма для поиска р-центров...............231
3.8. Медиана графа...................................................................................232
3.8.1. Выбор места для склада.................................................................233
3.9. Кратные медианы (р-медианы) графа..............................................234
3.9.1. Абсолютные р-медианы.................................................................235
3.10. Обобщенная р-медиана графа.........................................................236
3.11. Методы решения задачи о р-медиане............................................238
3.11.1. Формулировка задачи в терминах целочисленного
программирования....................................................................................238
3.11.2. Алгоритм направленного древовидного поиска........................240
3.11.3. Другой алгоритм направленного поиска....................................243
3.11.4. Приближенный алгоритм.............................................................244
4.Частичная упорядоченность..............................................................247
4.1. Графы частичных упорядочений……………………..................247
4.2. Представления в виде сумм упорядоченных множеств.................248
4.3. Структуры и структурные операции................................................253
4.4. Размерность в частичном упорядочении.........................................257
4.5. Соответствия Галуа...........................................................................260
4.6. Связи Галуа для бинарных отношений...........................................264
4.7. Отношения чередующегося произведения......................................268
4.8. Отношения Феррерса.........................................................................271
4.9. Матричный анализ связей в частично ориентированных графах.273
7
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
5.Кратчайшие пути..................................................................................281
5.1. Кратчайший путь между двумя заданными вершинами s и t.......283
5.1.1. Случай неотрицательной матрицы весов....................................283
5.1.2. Случай общей матрицы весов.......................................................290
5.2. Кратчайшие пути между всеми парами вершин............................295
5.2.1. Алгоритм Флойда (для произвольной матрицы весов)..............296
5.3. Обнаружение циклов отрицательного веса.....................................297
5.3.1. Оптимальные циклы в графах с двойными весами.....................299
5.4. Нахождение К кратчайших путей между двумя заданными
вершинами.................................................................................................300
5.5. Кратчайший путь между двумя заданными вершинами в
ориентированном ациклическом графе.................................................304
5.5.1. Алгоритм нахождения самого длинного (критического)
пути в ориентированном ациклическом графе................................. ....305
5.6. Задачи, близкие к задаче о кратчайшем пути.................................308
5.6.1. Наиболее надежный путь...............................................................308
5.6.2. Путь с наибольшей пропускной способностью...........................309
5.6.3. Путь с наибольшей приведенной пропускной способностью...314
5.6.4. Метод нахождения пути наибольшей приведенной
пропускной способности.........................................................................316
5.7. Цикломатическое число и фундаментальные циклы.....................321
5.8. Деревья графа.....................................................................................326
5.8.1 Формирована дерева графа.............................................................326
5.8.2. Выявление всех деревьев графа....................................................330
5.8.3. k-деревья..........................................................................................331
5.8.4. Деревья с корнем. Ветви................................................................332
5.8.5.Типы вершин и центры деревьев....................................................334
5.8.6. Характеристики графов..................................................................337
5.8.7. Максимальные графы исключения...........................................339
5.8.8. Максимальные паросочетания и устойчивые множества
вершин в графе.........................................................................................339
5.8.9. Максимальные деревья..................................................................341
5.8.10. Двудольные графы.......................................................................343
5.9. Анатомия графов...............................................................................347
5.9.1. Вводные замечания........................................................................347
5.9.2. Свойства матрицы инцидентности...............................................347
5.9.3. Деревья и дополнения....................................................................350
5.9.4. Разрезы.............................................................................................354
5.9.5. Матрицы циклов и разрезов...........................................................360
5.9.6. Матрица сечений.............................................................................362
5.9.7. Матрица контуров...........................................................................365
5.9.8. Связь между топологическими матрицами..................................367
8
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
5.9.9. Пространство суграфов..................................................................368
5.9.10. Несвязные графы..........................................................................369
5.9.11. Топология ориентированных графов..........................................371
5.10. Эйлеровы циклы и задача китайского почтальона.......................373
5.10.1. Некоторые родственные задачи..................................................376
5.10.2. Алгоритм для задачи китайского почтальона...........................378
5.10.3. Связь между эйлеровыми и гамильтоновыми циклами...........384
6. Числа, функции, ядра графов..............................................................386
6.1.Основные числа теории графов.........................................................386
6.1.1. Цикломатическое число…………………………….....................386
6.1.2. Хроматическое число.....................................................................390
6.1.3. Число внутренней устойчивости...................................................395
6.1.4. Число внешней устойчивости........................................................401
6.2. Ядра графа..........................................................................................406
6.2.1 Теоремы существования и единственности.....................................
6.2.2. Приложение к функциям Гранди..................................................412
6.3. Игры на графе....................................................................................413
6.3.1. Игра Ним..........................................................................................413
6.3.2. Общее определение игры (с полной информацией)....................419
6.3.3. Стратегии.........................................................................................421
7. Гамильтоновы циклы и цепи...............................................................425
7.1. Введение.............................................................................................425
7.2. Гамильтоновы циклы в графе...........................................................429
7. 2.1. Алгебраический метод..................................................................429
7. 2.2. Метод перебора Робертса и Флореса..........................................434
7.2.3. Мультицепной метод.....................................................................439
7.3. Сравнение методов поиска гамильтоновых циклов.......................446
7.4. Простая задача планирования..........................................................450
7. 4.1. Вычислительные аспекты……………………….........................451
7.5. Задача коммивояжера........................................................................452
7.5.1. Нижняя граница из задачи о назначениях....................................453
7.5.2. Нижняя граница из задачи о кратчайшем остове........................453
7.5.3. Двойственность..............................................................................454
7.6. Задача коммивояжера и задача о кратчайшем остове...................456
7.6.1. Определения...................................................................................457
7.6.2. Алгоритм поиска, использующий дерево решений...................459
7.6.3. Алгоритм штрафования вершин..................................................461
7.6.4. Задачи, родственные задаче коммивояжера...............................473
7.7. Задача коммивояжера и задача о назначениях..............................473
7.7.1. Алгоритм поиска, использующий дерево решений...................474
7.7.2. Пример............................................................................................478
9
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
7.7.3. Вычислительные комментарии и характеристики.....................485
7.7.4. Лучшие границы для дерева поиска.............................................486
7.7.5. Пример из раздела..........................................................................494
7.7.6. Приложение.....................................................................................496
8. Ациклические графы............................................................................497
8.1. Базисные графы.................................................................................497
8.2. Деформации цепей...........................................................................498
8.3. Графы воспроизведения…………………………………................501
Приложение 1............................................................................................505
Литература……………………………………………………….............512
10
