Table Of ContentА.Е. Кононюк
ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ
МАТЕМАТИКА
Книга 6
Поверхности
Часть 1
Киев
«Освіта України»
2013
А.Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Кононюк Анатолий Ефимович
2
А.Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
3
А.Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
УДК 51 (075.8)
ББК В161.я7
К65
Рецензенты:
В.В.Довгай - к-т физ.-мат. наук, доц. (Национальный
технический университет „КПІ”);
В.В.Гавриленко - д-р физ.-мат. наук, проф., О.П.Будя - к-т
техн. наук, проф. (Киевский университет экономики, туризма и
права);
Н.К.Печурин - д-р техн. наук, проф. (Национальный
авиационный университет).
Кононюк А. Е.
К213 Дискретная математика. (Поверхности). — В 12-и кн. Кн.6.
ч.1.— К.:Освіта України. 2013.—564с.
ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание)
ISBN 978-966-373-694-5 (книга 6. ч.1)
Многотомная работа содержит систематическое
изложение математических дисциплин, исспользуемых при
моделировании и исследованиях математических моделей
систем.
В работе излагаются основы теории множеств, отношений,
поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц,
графов, математической логики, теории формальных
грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в
совокупности образуют единную методолгически
взамосвязанную математическую систему «Дискретная
математика».
Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов,
докторантов всех специальностей.
УДК 51 (075.8)
ББК В161.я7
ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание) © Кононюк А. Е., 2013
ISBN 978-966-373-694-5 (книга 6. ч.1) © Освіта України, 2013
4
А.Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Оглавление
1. Двумерные преобразования………………………………………….5
1.1. Изображение точек..................................... ..........................................5
1.2 Преобразования и матрицы...... ............................................................6
1.3 Преобразование точек..................................... ..................................... 6
1.4. Преобразование прямых линий..........................................................10
1.5. Преобразование средней точки..........................................................12
1.6. Преобразование параллельных линий...............................................16
1.7. Преобразование пересекающихся прямых........................................17
1.8. Поворот..................................... ...........................................................23
1.9. Отражение…........................................................................................ 29
1.10. Масштабирование..................................... ........................................33
1.11. Комбинированные преобразования.................................................37
1.12. Преобразование единичного квадрата.............................................41
1.13. Преобразования жестких конструкций............................................45
1.14. Перемещения и однородные координаты.......................................48
1.15. Поворот вокруг произвольной точки..............................................50
1.16. Отражение относительно произвольной прямой............................51
1.17. Проецирование - геометрическая интерпретация однородных
координат..................................... ...............................................................55
1.18. Пропорциональное масштабирование.............................................58
1.19. Точки бесконечности..................................... ...................................60
1.20. Правила выполнения преобразований.............................................65
5
А.Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
2. Элементы теории кривых…………………………………………...69
2.1. Кривая линия и ее уравнение............................................................69
2.2. Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость........................71
2.3. Натуральный параметр и сопровождающий трехгранник
кривой…………………………………………………………………......74
2.4. Лемма об ортонормальной тройке и формулы Серре — Френе ...76
2.5. Винтовая линия и окружность............................................................78
3. Плоские кривые..................................... ..............................................81
3.1. Представление кривых..................................... ..................................81
3.2. Непараметрические кривые................................................................83
3.3. Параметрические кривые....................................................................86
3.4. Параметрическое представление окружности..................................93
3.5. Параметрическое представление эллипса.........................................99
3.6. Параметрическое представление параболы...................................106
3.7. Параметрическое представление гиперболы..................................112
3.8. Процедура использования конических сечений.............................119
3.9. Общие уравнения конических сечений...........................................127
4. Пространственные кривые..................................... .........................145
4.1. Представление пространственных кривых.....................................147
4.2. Кубические сплайны..................................... ....................................152
4.3. Нормализованные кубические сплайны..........................................177
4.4. Другие граничные условия...............................................................183
4.5. Параболическая интерполяция.........................................................197
4.6. Обобщенная параболическая интерполяция...................................206
4.7. Кривые Безье..................................... ................................................214
4.8. В-сплайны..................................... .....................................................239
4.9. Конечные условия для периодических В-сплайнов......................299
4.10. Подгонка В-сплайнов..................................... ................................313
4.11. Разбиение В-сплайнов..................................... ...............................321
4.12. Рациональные В-сплайны..................................... .........................331
5. Элементы тензорной алгебры…………..........................................362
5.1. Аффинная система координат на плоскости……….......................362
5.2. Скалярное произведение и ковариантные координаты………….365
5.3. Косое произведение и дополнительный вектор.......... …………...366
5.4. Понятие тензора.................................................................................369
5.5. Основные действия тензорной алгебры..........................................372
5.6. Симметричный тензор второй валентности....................................380
5.7. Свертывание тензоров.......................................................................385
6. Поверхности..................................... ...................................................388
6.1. Введение..................................... .......................................................388
6.2. Поверхности вращения..................................... ................................389
6.3. Заметающие поверхности.................................................................412
6
А.Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
6.4. Квадратичные поверхности..............................................................423
6.5. Кусочное представление поверхностей..........................................436
6.6. Отображение параметрических поверхностей...............................441
6.7. Билинейная поверхность..................................................................448
6.8. Линейчатые и развертывающиеся поверхности...........................452
6.9. Линейная поверхность Кунса..........................................................462
6.10. Бикубическая поверхность Кунса.................................................474
6.11. Поверхности Безье..................................... ....................................489
6.12. В-сплайн поверхности..................................... ..............................507
6.13. В-сплайн интерполяция..................................................................525
6.14. Разбиение В-сплайн поверхностей.................................................529
6.15. Гауссова кривизна и качество поверхности..................................536
6.16. Рациональные В-сплайн поверхности...........................................542
Литература..................................... .........................................................562
7
А.Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
1. Двумерные преобразования
Изучение математического аппарата, лежащего в основе теории
поверхностей, мы начнем с рассмотрения способов вывода и
преобразования точек и линий. Эти способы наряду с
соответствующими алгоритмами рисования используются для
изображения объектов или визуализации графической информации.
Возможность проводить преобразования точек и линий является
фундаментом теории поверхностей. Нарисованный объект может быть
представлен в нужном масштабе, повернут, перемещен, преобразован
или модифицирован в соответствии с требованиями решаемой задачи.
Все эти манипуляции с изображением можно выполнить, используя
математический аппарат, изложенный в данной и последующих главах.
1.1. ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОЧЕК
Точка представляется на плоскости двумя своими координатами,
которые определяются как элементы матрицы размером . В
трехмерном пространстве используется матрица размером
. Иначе говоря, точка может задаваться в виде вектор-
столбца в двумерном пространстве или в виде в
трехмерном. Строку или столбец часто называют
координатным вектором. В этой книге для формирования такого
вектора используется матрица-строка, т. е. множество точек, каждая из
которых определяет координатный вектор в некоторой системе
измерения. Данное множество хранится в компьютере в виде матрицы
или массива чисел. Положением точек можно управлять путем
манипулирования соответствующей матрицей. Линии, соединяющие
точки, формируют отрезки, кривые и картинки.
8
А.Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
1.2 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МАТРИЦЫ
В качестве элементов матрицы могут фигурировать различные
величины: числа, сетки или коэффициенты системы уравнений.
Правила в матричной алгебре определяют допустимые операции над
элементами (приложение В). Многие физические задачи удобно
выражаются в матричном представлении. Для моделей физических
систем задача обычно ставится следующим образом: даны матрицы
и , найти результирующую матрицу , такую, что
. В этом случае решением является матрица
, где - матрица, обратная к квадратной
матрице .
В то же время матрицу можно интерпретировать как
геометрический оператор. В этом случае для выполнения
геометрического преобразования точек, представленных векторами
положений в матрице , используется умножение матриц.
Предположим, что матрицы и известны. Требуется
определить элементы матрицы . Представление как
геометрического оператора является основой математических
преобразований.
1.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧЕК
Рассмотрим результаты умножения матрицы , содержащей
координаты точки , на матрицу общего преобразования размером
:
. (1)
9
А.Е. Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Данная запись означает, что исходные координаты точки и
преобразуются в и , где , .
Представляют интерес значения , - координаты
результирующей, преобразованной точки . Рассмотрим некоторые
специальные случаи.
При и преобразование сведется к единичной
матрице
, (2)
и координаты точки останутся неизменными. Как и следовало
ожидать, в линейной алгебре умножение на единичную матрицу
эквивалентно умножению на 1 в обычной алгебре.
В случае ,
, (3)
где - результат масштабирования координаты . Эффект
такого преобразования показан на рис. 1а.
Рассмотрим теперь еще случай , т.е.
. (4)
10
