Дискретно-непрерывная математика: в 12 книгах: Книга 5: Матрицы Часть 2

501 Pages·9.938 MB·Russian

by  Кононюк А.Е.

Парадигма развития науки
Методологическое обеспечение
А.Е. Кононюк
ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ
МАТЕМАТИКА
Книга 5
Матрицы
Часть 2

Киев
Освіта України
2011
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика

2
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика

УДК 51 (075.8)
ББК В161.я7
К 213

Рецензент: М.К.Печурин - д-р техн. наук, проф. (Национальный
авиационный университет).

Кононюк А.Е.
К65 Дискретно-непрерывная математика. Матрицы.
К.5.Ч.2.
К.4:"Освіта України", 2011. - 500 с.

ISBN 978-966-7599-50-8

Многотомная работа содержит систематическое
изложение математических дисциплин, исспользуемых при
моделировании и исследованиях математических моделей
систем.
В работе излагаются основы теории множеств, отношений,
поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц,
графов, математической логики, теории формальных
грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в
совокупности образуют единную методолгически
взамосвязанную математическую систему «Дискретно-
непрерывная математика».
Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов,
докторантов и просто ученых и специалистов всех
специальностей.

УДК 51 (075.8)
ББК В161.я7

А.Е. Кононюк, 2011

3
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика
Оглавление

Модуль 7. Линейное пространство и матрицы ...…………………… 4
Микромодуль 17. Линейное пространство ...………………………… 4
Микромодуль 18. Полилинейные формы и тензоры...……………… 44
Микромодуль 19.Линейные преобразования векторного
пространства ……………………………………………………………. 72
Микромодуль 20. Приведение к простейшему виду матрицы
линейного преобразования...………………………………………… 120
Модуль 8. Поверхности второго порядка и эрмитовы формы.
Матрицы с неотрицателными элементами ...…………………………161
Микромодуль 21.Общая теория поверхностей второго порядка…. 161
Микромодуль 22. Приведение квадратичных форм. Другие виды
форм ….................................................................................................. 195
Модуль 9. Комплексные матрицы и матрицы с неотрицательными
элементами………………………………………………………………251
Микромодуль 23. Комплексные матрицы………………………… 251
Микромодуль 24. Матрицы с неотрицателными элементами......... 273
Модуль 10. Введение в стохастические матрицы…………………..310
Микромодуль 25. Стохастические матрицы…………………………310
Микромодуль 26. Основы тензорного анализа ...……………......... 396
Приложение…………………………………………………………… 452
Литература ...…………………………………………......................... 497
4
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика

Модуль 7.
Линейное пространство и матрицы

Микромодуль 17.
Линейное пространство

7.1. Понятие линейного пространства

В курсе аналитической геометрии читатель уже встречался с
понятием свободного вектора — направленного отрезка, который
можно переносить в просранстве параллельно его первоначальному
положению. Обычно такие векторы обозначают жирными буквами
латинского алфавита: а, b, ..., х, y,... Для простоты можно считать, что
все эти векторы имеют общую начальную точку, которую мы
обозначим буквой О и назовем началом координат.
В аналитической геометрии для векторов были определены две
операции:
а) сложение векторов х и у, обозначаемое х + у,
б) умножение вектора х на действительное число λ, обозначаемое
λх.
Совокупность всех векторов пространства является замкнутой
относительно этих двух операций в том смысле, что при умножении
вектора на число снова получается некоторый вектор и при сложении
двух векторов — получаем некоторый третий вектор из этой же
совокупности.
Сложение векторов и умножение вектора на число обладают
следующиими свойствами:
1. х + у = у + х.
2. (x+y) + z = x + (y + z).
3. Существует нулевой вектор 0 такой, что х+0 = х.
4. Для каждого вектора х существует противоположный вектор у=— х
такой, что х + у = 0.
5. 1· х = х.
6. λ(μх)= (λμ)х.
7. (λ+μ)х= λх+μх.
8. λ(х+у) = λх + λу.
Однако не только для совокупности векторов пространства могут
быть определены операции сложения и умножения на действительное
5
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика

число, обладающими указанными выше свойствами. Как мы увидим
далее, существуют и другие множества элементов, на которых
определены аналогичные операции. Такие множества называются
линейными (или векторными) пространствами. Будем обозначать их
буквой L. Элементы таких пространств будем также называть
векторами.
Рассмотрим несколько примеров.
а) Совокупность векторов, которые лежат на одной прямой,
образует линейное пространство, так как сложение и умножение
таких векторов на действительное число приводит нас снова к
векторам, которые лежат на этой прямой, и свойства 1—8 легко
проверяются. Обозначим такое линейное пространство через L
1
(содержание нижних индексов выяснится в п. 7.3.).
б) Совокупность векторов, которые лежат в одной плоскости,
также оказывается замкнутой по отношению к сложению и
умножению на действительное число; свойства 1—8 для них
выполняются, и поэтому эта совокупность образует линейное
пространство, которое мы обозначим через L .
2
в) Совокупность всех векторов пространства также является
линейным пространством. Обозначим его через L .
3
г) Совокупность векторов, которые лежат в плоскости ХОY,
начала которых совпадают с началом координат, а концы
лежат в первом квадранте, не образует линейного пространства, так
как оказывается незамкнутой относительно умножения на число:
при λ< 0 вектор λх не принадлежит первому квадранту.
д) Рассмотрим множество, элементом которого является
упорядоченная совокупность п действительных чисел:
х= {x х ,…,х }. Определим сложение элементов х и y= { y y ,…,y } и
1, 2 п 1, 2 п
умножение элемента х на действительное число λ с помощью равенств
х+y = {х +у x + у х +у },
1 1, 1 2,…, п n
λх={λx λх ,…,λх }
1, 2 п
Такое множество элементов образует линейное пространство, так
как определенные в нем операции сложения и умножение на число
обладают, как легко видеть, всеми восемью указанными выше
свойствами этих операций. Например, нулевым вектором в этом
пространстве будет вектор 0 = {0, 0, ..., 0}, а вектором -х— вектор
{-х , -х , ..., -х }. Будем обозначать это пространство через L .
1 2 п n
е) Совокупность всех многочленов степени не выше п
Р(t)=a +а t+... +a tn, для которых обычным образом определены
0 1 n
сложения и умножения на действительное число, как легко проверить,
также образует линейное пространство.
6
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика

ж) Множество непрерывных на отрезке [а, b] функций φ(t) также
образует линейное пространство, если для этих функций
естественным образом определить операции сложения и умножения
на число. Это пространство мы будем обозначать C [а, b].

7.2. Линейная зависимость векторов

1. Пусть а, b,..., е - векторы линейного векторного просторную L и
α, β, ..., ε -действительные числа. Вектор
х = αа+βb +... + εe
называется линейной комбинацией векторов а, b, ..., е, а числа α, β, ..., ε
- коэффициентами этой линейной комбинации.
Если α= β= …=ε = 0, тo x =0. Но может быть и так, что существует
линейная комбинация векторов а, b, ..., е, у которой не все
коэффициенты равны нулю, но которая тем не менее равна нулю. В
этом случае векторы а, b, ..., е называются линейно зависимыми. Иначе
говоря, эти векторы будут линейно зависимыми, если найдутся такие
действительные числа α, β, …,ε, не все равные нулю, что
αа+βb +... + εe = 0.
Если же это равенство выполняется только тогда, когда все числа
α, β, …,ε равны нулю, то векторы а, b, ..., е называются линейно
независимыми.
Отметим три простых свойства линейно зависимых векторов.
а) Если векторы линейно зависимы, то один из них может быть
представлен в виде линейной комбинации других, и, обратно, если
один из векторов есть линейная комбинация других, то векторы
линейно зависимы.
В самом деле, пусть а, b, ..., е — линейно зависимые векторы.
Тогда
αа+βb +... + εe = 0,
где не все коэффициенты равны нулю. Пусть, например, α≠0.
Тогда
β ε
а=− b-…− e,
α α
что и доказывает теорему.
Обратно, если
a = mb+…+ре,
то
1·а + (-т) b + ... + (-р)е = 0,
т.е. векторы а, b, ..., е линейно зависимы.
7
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика

б) Если некоторые из векторов а, b, ..., е линейно зависимы, то и вся
эта система векторов линейно зависима.
Пусть линейно зависимы векторы а, b. Тогда
αа+βb = 0,
где хотя бы один из коэффициентов α, β отличен от нуля. Но тогда и
αа+βb + 0·с + … + 0·е = 0.
Это равенство показывает линейную зависимость векторов а, b, ..., е,
так как среди коэффициентов линейной комбинации, стоящей в ее
левой части, имеются отличные от нуля.
в) Если среди векторов а, b, ..., е имеется хотя бы один нулевой, то
эти векторы линейно зависимы.
Пусть, например, а = 0. Тогда
αа+0·b + … + 0·е = 0, α≠0.
2. Приведем примеры линейно зависимых и линейно независимых
векторов пространства L .
3
а) Нулевой вектор 0 является линейно зависимым, так как α·0 = 0
при любом α≠0 (это следует также из свойства в)).
б) Любой вектор а≠0 будет линейно независимым, так как αа=0
только при α = 0.
в) Два коллиниарных (напомним, что коллиниарными называются
векторы, которые лежат на одной прямой) векторы а и b линейно
зависимы. Действительно, если а≠0, то b =λа или λа +(—1) b = 0.
Если же а=0, то эти векторы, линейно зависимы в силу свойства в).
г) Два коллиниарных вектора линейно независимы. В самом деле,
α
предположим противное: пусть αа+βb =0, где β≠0. Тогда b =− а
β
А это означает, что векторы а и b коллинеарны.
д) Три компланарных (напомним, что компланарными
называются векторы, которые лежат в одной плоскости) векторы
линейно зависимы. Пусть векторы а, b, с компланарны, причем
векторы а, b не коллиниарны. Тогда вектор с можно представить (рис.
5.1) в виде
с = ОС= ОА+ОВ =λа + μb,
что в силу свойства а) означает линейную зависимость векторов а, b, с.
Если же векторы а и b коллиниарны, то они линейно зависимы, а
потому в силу свойства б) и векторы а, b, с линейно зависимы.
8
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика

Рис. 7.1.
е) Три некомпланарных вектора всегда линейно независимы.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству
примера г).
ж) Любые четыре вектора пространства всегда линейно зависимы.
Действительно, если любые три вектора линейно зависимы, то
согласно свойству б) и все четыре векторы будут линейно зависимы.
Если же имеются три линейно независимых векторы а, b, с, то любой
четвертый вектор d может быть представлен в виде линейной
комбинации векторов а, b, с (рис. 7.2):
d =ОD =ОР + РD =ОА +ОВ +ОС = λа + μb +γc,
откуда в силу свойства а) следует линейная зависимость векторов а, b,
с , d.

Рис. 7.2.

з) В пространстве L линейно независимыми будут векторы
n
е ={1,0, ..., 0}, е = {0, 1, ..., 0}, ..., е ={0, 0, ..., 1}.
1 2 п
В самом деле, рассмотрим их линейную комбинацию
α е + α е + … + α е = {α α , ..., α }.
1 1 2 2 п п 1, 2 п
Эта комбинация будет равна нулю только тогда, когда
α =α =...=α =0.
1 2 п
9
А.Е.Кононюк Дискретно-непрерывная математика

Система векторов пространства L , состоящая из векторов
n
е е , ..., е и произвольного вектора x = {x х , ..., х }, будет линейно
1, 2 п 1, 2 п
зависимой, так как вектор х может быть представлен в виде
х = х е + х е + … + х е .
1 1 2 2 п п

7.3. Размерность и базис линейного пространства

Размерностью линейного пространства называется наибольшее
число имеющихся в нем линейно независимых векторов.
Например, на прямой существует один линейно независимый
вектор, а любые два вектора линейно зависимы. Следовательно,
прямая представляет собой одномерное линейное пространство. Выше
мы обозначили его L Здесь нижний индекс как раз означает
1.
размерность пространства.
На плоскости существуют два линейно независимых вектора, но
любые три вектора линейно зависимы. Поэтому плоскость является
двумерным пространством и обозначается через L .
2
В пространстве существуют три линейно независимых вектора, а
любые четыре вектора линейно зависимы. Поэтому размерность
пространства равна трем, и мы обозначим его через L .
3
В линейном пространстве, элементами которого являются векторы
x={x х ,…,х }, мы нашли п линейно независимых векторов е е , ..., е .
1, 2 п 1, 2 п
С другой стороны, можно показать, что любые п+1 векторов этого
пространства будут линейно зависимыми. Следовательно, размерность
этого пространства равна п, и мы обозначим его поэтому через L .
n
Рассмотрим теперь произвольный п-мерное линейное пространство
(здесь, в частности, п может быть равно 1, 2 или 3) и выберем в нем
любые п линейно независимых векторов е е , ..., е . Пусть х —
1, 2 п
произвольный вектор пространства. Тогда векторы х, е е , ..., е будут
1, 2 п
линейно зависимыми, так как их число превышает размерность
пространства. Поэтому найдутся такие числа α, α , α , что
1... п
αх + α е + α е +... + α е = 0.
1 1 2 2 п п
При этом α ≠ 0, так как в противном случае векторы е е , ..., е были
1, 2 п
бы линейно зависимыми. Следовательно, вектор х может быть
представлен в виде линейной комбинации векторов е е , ..., е :
1, 2 п
α α α
х= − 1 е − 2 е - ... − п е =0
1 2 п
α α α
Положим теперь
10