Table Of ContentМинистерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники»
Кафедра систем управления
Р
А. В. Павлова
И
У
Г
Б
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ
Методическое пособие
а
для студентов специальности 1-53 01 07 «Информационные технологии
и управление в техникческих системах»
заочной формы обучения
е
т
о
и
л
б
и
Б
Минск БГУИР 2011
3
УДК 519.71(076)
ББК 22.18я73
П12
Р
Р е це н зе н т:
заведующий кафедрой «Информационные системы и технологии»
И
Белорусского национального технического университета,
доктор технических наук, профессор А. А. Лобатый
У
Г
Б
а
Павлова, А. В.
к
П12 Математические основы теории систем : метод. пособие для студ.
е
спец. 1-53 01 07 «Информационные технологии и управление в техниче-
ских системах» заоч. формты обуч. / А. В. Павлова. – Минск : БГУИР,
2011. – 84 с. : ил.
ISBN 978-985-488-658-9.
о
В пособии преидставлены рабочая программа дисциплины и методические ука-
зания по ее изучению, а также варианты заданий для выполнения контрольной и
курсовой работлы и список рекомендуемой литературы. Приведены требования к ре-
шению отдельных задач и пример выполнения курсовой работы.
б
и УДК 519.71(076)
ББК 22.18я73
Б
ISBN 978-985-488-658-9 © Павлова А. В., 2011
© УО «Белорусский государственный
университет информатики
и радиоэлектроники», 2011
4
1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ»
1.1. Цель и задачи преподавания дисциплины
Цель дисциплины
В современных автоматических и автоматизированных системах управления широко
применяются встроенные микропроцессоры, средства микроэлектроники, вычислительной
Р
техники, робототехники и другие сложные технические устройства. Важную роль в
исследованиях, проектировании и эксплуатации подобных систем играют математические
методы описания и исследования. И
Цель дисциплины: продолжение и углубление математической
подготовки студентов, формирующей систему знаний, необхУодимых в качестве
фундамента профилирующих дисциплин специальности, таких, как «Теория
Г
автоматического управления», «Микропроцессоры в системах управления»,
«Основы систем автоматизированного проектирования», «Оптимальные и
Б
адаптивные системы», «Идентификация и диагностика объектов и систем
управления».
а
Задачи дисциплины
к
Предметом изучения дисципелины являются математические модели
систем и элементов систем и основы методов их исследования. Основные
т
задачи дисциплины «Математические основы теории систем»: приобретение
студентами знаний по специальным разделам современной дискретной
математики; изучение моатематических моделей и методов исследования
линейных систем и элементов систем, описываемых обыкновенными
и
дифференциальными и конечно-разностными уравнениями; изучение методов
конечномерной оплтимизации, алгоритмов математического программирования,
элементов теории оптимизации управления.
б
В результате изучения дисциплины «Математические основы теории систем» студент
должен:
и
знать:
основы алгебры множеств и теории графов;
Б
основы математической логики и теории конечных автоматов;
основные сведения о сигналах и их математических моделях;
способы описания линейных непрерывных систем и их элементов;
методы конечномерной оптимизации;
теорию линейного и нелинейного программирования;
методы оптимизации управления;
уметь:
формировать математические модели объектов и систем;
решать задачи оптимизации на транспортных сетях, задачи анализа сетей Петри;
3
осуществлять синтез комбинационных схем и конечных автоматов;
решать задачи спектрального и корреляционного анализа сигналов;
анализировать временные и частотные характеристики линейных систем и их
элементов;
решать задачи оптимизации;
иметь представление:
о дискретных системах и методах их описания;
о многокритериальной оптимизации;
о взаимной связи методов исследования систем и перспективах их развития.
Р
1.2. Методические указания
И
Дисциплина «Математические основы теории систем» изучается в двух
семестрах: У
– часть I (темы 1 – 8) в пятом семестре на третьем курсе;
– часть II (темы 9 – 13) в шестом семестре на третьемГ курсе.
Учебным планом предусмотрено выполнение контрольной работы в пя-
Б
том семестре и курсовой работы в шестом семестре, а в качестве формы итого-
вого контроля предусмотрен экзамен.
Аудиторные занятия предполагается праоводить по наиболее важным и
сложным разделам программы.
к
В задания для контрольной работы включены задачи по всем разделам
рабочей программы дисциплины. Решеение аналогичных задач подробно рас-
смотрено в лекционном курсе, который в полном объеме представлен в
т
ЭУМКД.
Ссылки на литературные источники даны в учебно-методической карте
дисциплины. о
и
1.3. Содержание дисциплины
л
Название тем лекционных занятий, их содержание, объем в часах пред-
б
ставлены в табл. 1.1.
и
Б
Таблица 1.1
Всего Всего Контро-
аудит. аудит. лируемая
Название раздела, часов по часов по самостоя-
Содержание темы
темы дневной заочной тельная
форме форме работа
обучения обучения студентов
1 2 3 4 5
4
Пятый семестр
Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИИ ГРАФОВ
1. Введение. Об- Определение системы. Элементы
щие средства ма- системы и их взаимодействие. Ма-
тематического тематическое описание системы.
описания систем Принципы построения систем. Эле- 1 – 1
менты теоретико-множественного
подхода. Предмет, задачи и содер-
жание курса
2. Основы теории множеств Р
2.1. Операции над Упорядоченное множество. Прямое
множествами произведение множеств. Разбиение И
множеств. Законы и тождества ал-
2 – 2
гебры множеств. Уравнения с мно-
У
жествами. Понятие о нечетких
множествах
Г
2.2. Соответствия, Соответствия, взаимно однозначное
отображения, от- соответствие. Отображения мно-
Б
ношения множеств жеств и их виды. Функция, функ- 1 – 1
ционал, оператор. Отношения и их
свойства. Виды отношений
а
3. Элементы теории графов и ее приложения
к
3.1. Основные по- Ориентированные и неориентиро-
нятия и определе- ванные графы. Способы задания
е
ния графов. Типы графов. Расстояния и
пути в графах Птонятие центра графа
2 – 2
и периферийной вершины. Опера-
ции над графами. Упорядочение
вершино ориентированного графа
3.2. Числовая Сиигнальные графы и правила их
функция на графе преобразования. Правило Мэзона
лили правило несоприкасающихся
контуров. Нахождение передаточ- 4 — 4
б
ной функции многоконтурной сис-
темы. Задача о кратчайшем пути
и
связного неориентированного графа
3.3. БДеревья Символ дерева. Покрывающее дерево
связного графа. Экстремальное дере-
2 — 2
во. Корневые деревья. Код дерева
Продолжение табл. 1.1
1 2 3 4 5
Раздел 2. СЕТИ
4. Транспортные Основные понятия и определения.
сети Разрез сети. Потоки в сетях. Задача о
2
максимальном потоке между входом 4 2
и выходом сети. Теорема Форда –
Фалкерсона. Табличный алгоритм
5
Форда – Фалкерсона для нахождения
максимального потока. Транспортная
задача. Нахождение потока мини-
мальной стоимости. Транспортная
задача по критерию времени
5. Сети Петри
5.1. Основные оп- Аналитический, графический и
ределения матричный способы задания сетей
Петри. Маркировка сетей Петри.
Понятие разрешенного перехода. 3 1 2
Условие срабатывания перехода.
Р
Функционирование сетей Петри.
Дерево достижимости
И
5.2. Свойства се- Основные задачи анализа сетей
тей Петри Петри: задача достижимости и за-
дача сохраняемости. Матричный 2 1 1
У
подход к решению этих задач. Под-
классы и расширения сетей Петри
Г
Раздел 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АВТОМАТОВ
6. Математическая логика и понятие о конечных автоматах
Б
6.1. Основные оп- Булевы функции и способы их за-
ределения алгебры дания. Понятие фиктивного аргу-
логики мента. Количество функций, суще-
а
ственно зависящих от n аргумен- 2 — 2
тов. Элементарные булевы функ-
к
ции. Законы и тождества алгебры
логики. Понятие о нечееткой логике
6.2. Полнота сис- Базисы И–ИЛИ–НЕ, И–НЕ,
темы булевых ИЛИ–НЕ. Дизъютнктивные и конъ-
функций, миними- юнктивные нормальные формы.
зация функций ал- Совершенные дизъюнктивные и
о
конъюнктивные нормальные фор-
гебры логики
мы (СДНФ и СКНФ). Запись СДНФ 4 1 2
и
и СКНФ по таблично заданной
функции. Минимизация функций
л
алгебры логики. Метод карт Карно
и метод Квайна. Синтез комбина-
б
ционных схем в заданном базисе
6.3. Понятие о ко- Способы задания. Автоматы Мили
и
нечных автоматах и Мура. Абстрактный и структур-
ный автоматы. Понятие элементар-
Б
ного автомата. Общая структурная 4 1 3
схема конечного автомата. Основ-
ные этапы синтеза структурного ав-
томата. Схемные реализации
Продолжение табл. 1.1
1 2 3 4 5
Раздел 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИГНАЛОВ
7. Основные сведения о сигналах и их математических моделях
6
7.1. Математиче- Временное представление сигналов.
ские модели сиг- Классификация сигналов. Про-
налов стейшие непрерывные сигналы.
Преобразование Лапласа. Преобра-
зование Фурье. Разложение произ-
вольного сигнала по заданной сис- 4 1 3
теме функций. Представление сиг-
налов в виде ряда Котельникова.
Дискретные представления сигна-
лов, полиномы Эрмита, Лагерра,
Чебышева Р
7.2. Корреляцион- Корреляционная функция детерми-
И
ный и спектраль- нированного сигнала. Основные
ный анализы свойства автокорреляционных функ-
ций. Понятие спектральной плотно- 2 У 1 2
сти. Связь между автокорреляцион-
ной функцией и спектральной плот-
Г
ностью сигнала
7.3. Случайные Основные вероятностные характе- Б
сигналы ристики случайных сигналов. Спек-
тральное представление стацио нар- 2 — 2
ных случайных процессов. аПреоб-
разование случайных процессов
к
Раздел 5. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
е
8. Математическое описание линейных систем и их элементов
т
8.1. Линейная не- Классификация элементов систем.
прерывная система Уравнения динамики и статики.
и ее представления Формы представления математиче-
о
ских моделей: дифференциальное
ураивнение, передаточная функция,
уравнения состояния. Представление
лмоделей в пакете MATLAB, переход
от одной модели к другой. Времен-
б ные характеристики систем и эле-
6 1 5
ментов систем. Передаточные функ-
и ции и структурные схемы различных
соединений звеньев. Характеристи-
Б
ческое уравнение системы. Модели
комплексной области. Понятие о
частотных характеристиках систем и
элементов систем
Продолжение табл. 1.1
1 2 3 4 5
7
8.2. Метод про- Понятие о переменных состояния.
странства состоя- Математическая модель элементов,
ний описываемых уравнениями первого
порядка, схема модели. Решение
линейных уравнений состояния
первого порядка. Свободная и вы-
нужденная составляющие решения.
Матричное представление линей-
4 1 3
ных уравнений состояния. Канони-
ческая и нормальная формы. Реше-
ние матричных уравнений состоя- Р
ния. Матрица перехода и ее свойст-
ва. Вычисление матрицы перехода И
с помощью теоремы Кэли–
Гамильтона. Понятие об устойчи-
У
вости системы
8.3. Математиче- Дискретные сигналы и воздействия, Г
ское описание ли- решетчатые функции. Квантование
нейных импульс- непрерывных сигналов. Разностные Б
ных систем дифференциальные уравнения.
Дискретное преобразование Лапл а-
са, Z-преобразование. Понятиеа пе- 2 — 2
редаточной функции стационарной
импульсной системы. Укравнения
состояния и моделирование им-
е
пульсных систем
т
Итого: пятый семестр
51 10 41
Шестой семестр
о
Раздел 6. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
и
9. Общая характе- Основные понятия и определения.
ристика методов Качество систем и критерии качест-
л
оптимизации в ва. Формализация задачи оптимиза-
теории систем ции систем. Ограничения и крите-
б
рии оптимизации. Постановка зада-
и чи параметрической оптимизации и
оптимизации управления. Класси-
Б фикация методов решения задач оп-
тимизации. Общая характеристика 2 — 2
задач математического программи-
рования. Виды экстремума функций
многих переменных. Определение
выпуклости. Особенности выпуклых
функций
Продолжение табл. 1.1
1 2 3 4 5
8
10. Линейное программирование
10.1. Постановка Основные особенности задач ли-
задачи и методы нейного программирования. Гео-
решения задач ли- метрическая интерпретация. Ал-
нейного програм- гебраический анализ задачи. Сим-
мирования плекс-метод. Симплекс-таблица.
Оптимальные планы и их опреде-
4 1 3
ление. Метод искусственного бази-
са. Двойственная задача линейного
программирования. Связь между
Р
оптимальным решением прямой и
двойственной задач
И
10.2. Целочислен- Специфика задач целочисленного
ное линейное про- программирования и методы их
граммирование решения. Метод отсечения. Алго- У
ритм Гомори для полностью цело-
4 1 3
численных и частично целочислен- Г
ных задач. Вычислительные воз-
можности методов отсечения. Ме- Б
тод ветвей и границ
11. Нелинейные задачи без ограничений
а
11.1. Одномерная Методы поиска безусловного экс-
минимизация уни- тремума функций. Сокркащение ин-
модальных функ- тервала неопределенности. Методы
е
ций дихотомии, Фибоначчи, золотого
4 1 3
сечения. Методы с использованием
т
производных, метод секущих, метод
Ньютона – Рафсона. Методы поли-
номиальоной аппроксимации
11.2. Поиск безус- Метод покоординатной оптимиза-
и
ловного экстрему- ции, метод градиента, метод наиско-
ма функций мно- рейшего спуска. Метод Ньютона –
л
гих переменных Рафсона для функции многих пере- 2 1 2
менных. Метод Флетчера – Ривса.
б
Метод Дэвидона – Флетчера –
и Пауэлла
12. Нелинейные Особенности нелинейных задач. Ме-
задачБи с ограниче- тод неопределенных множителей
ниями Лагранжа. Теорема Куна – Таккера.
Квадратичное программирование.
Метод Вулфа. Метод допустимых
направлений Зойтендейна. Метод 10 2 8
штрафных функций. Метод отсе-
кающих плоскостей Кэлли. Метод
линейных комбинаций. Сепарабель-
ное программирование
Окончание табл. 1.1
1 2 3 4 5
9
13. Метод динами- Принцип оптимальности Беллмана.
ческого програм- Дискретное динамическое програм-
мирования и мирование. Непрерывная форма
принцип макси- уравнений динамического програм-
мума Понтрягина мирования. Функциональное уравне-
ние Беллмана. Оптимальное управ-
ление линейным объектом по квадра-
тическому критерию качества. Урав-
7 2 5
нение Риккати. Принцип максимума
Понтрягина. Порядок определения
оптимального управления с помо- Р
щью принципа максимума. Опти-
мальное по быстродействию управ- И
ление линейными объектами. Теоре-
ма об n-интервалах. Определение
У
моментов переключения
14. Заключение Общий обзор методов исследования
Г
систем. Взаимная связь методов, 1 — —
перспективы развития
Б
Итого: шестой семестр 34 8 26
Всего за учебный год 85 18 67
а
к
Название тем практических занятий, их содержание и объем в часах
е
представлены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
т
Всего Всего Контро-
аудит. аудит. лируемая
часов по часов по самостоя-
о
Название темы Содержание темы дневной заочной тельная
форме форме работа
и
обучения обучения студентов
(КСР)
л
1 2 3 4 5
Пятый семестр б
1. Основы теории мно- Законы и тождества алгебры
и 2 — 2
жеств множеств
2. Элементы теории Сигнальные графы, правило Мэзо-
Б 2 1 1
графов и ее приложения на, операции над графами. Деревья
3. Транспортные сети Задача о максимальном потоке
транспортной сети и потоке ми- 2 1 1
нимальной стоимости
4. Сети Петри Анализ сетей Петри. Задачи дос-
2 1 1
тижимости и сохраняемости
5. Элементы математи- Нормальные дизъюнктивные и
ческой логики и теории конъюнктивные формы. Законы и 2 1 1
автоматов тождества алгебры логики
Окончание табл. 1.2
1 2 3 4 5
10
